彈/箭艙段殼體動力學(xué)等效建模及模態(tài)分析

張瑞陽，楊 軍，王蓉暉，韓 飛，2

(1.中國航天科技集團(tuán)有限公司四院四十一所 燃燒、熱結(jié)構(gòu)與內(nèi)流場重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710025；2.西安交通大學(xué)，西安 710049)

0 引言

模態(tài)仿真是指導(dǎo)火箭、導(dǎo)彈系統(tǒng)研制的重要環(huán)節(jié)，可以為氣動、控制、地面發(fā)射裝置等多個(gè)分系統(tǒng)開展相關(guān)設(shè)計(jì)時(shí)提供不可或缺的參數(shù)。對于結(jié)構(gòu)系統(tǒng)而言，能夠?yàn)橹T多結(jié)構(gòu)力學(xué)分支提供必要的輸入?yún)?shù)，包括結(jié)構(gòu)共振的規(guī)避、靜/動載荷的劃分、諧響應(yīng)分析、振動與沖擊分析等；對于系統(tǒng)總體而言，模態(tài)分析則是地面振動沖擊環(huán)境預(yù)示及振動條件制定所必須的中間過程；對于地面發(fā)射系統(tǒng)，模態(tài)仿真是開展彈/箭離軌運(yùn)動與擾動精細(xì)化仿真計(jì)算的必要環(huán)節(jié)；此外，模態(tài)仿真還是開展氣動彈性問題研究以及伺服彈性問題研究的重要輸入。

目前，國內(nèi)外諸多學(xué)者在火箭結(jié)構(gòu)動力學(xué)建模與模態(tài)仿真方面做了大量研究[1-4]。梁魯?shù)萚5]建立了CZ-3A運(yùn)載火箭三維有限元模型進(jìn)行動力學(xué)特性分析，并進(jìn)行了相應(yīng)的模態(tài)試驗(yàn)，仿真結(jié)果與模態(tài)試驗(yàn)一致性良好；孫海文等[6]通過建立某火箭有限元模型，采用Lanczos方法進(jìn)行模態(tài)分析，獲取全箭滿載和空載狀態(tài)下低階彎曲模態(tài)數(shù)據(jù)，并完成了模態(tài)試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)和試驗(yàn)。上述研究方法大多是基于三維有限元方法完成的，其中箭上包含了各類儀器設(shè)備、結(jié)構(gòu)件等成百上千個(gè)零部件，包括所有零部件的簡化、等效建模、網(wǎng)格劃分、接觸的正確識別與定義等過程比較復(fù)雜，前處理工作異常繁瑣。王勇等[7]應(yīng)用梁單元模型，將箭體質(zhì)量分布在各節(jié)點(diǎn)處，建立集中質(zhì)量單元，節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)之間用無質(zhì)量的梁單元連接，可以準(zhǔn)確反映火箭整體動特性，與試驗(yàn)結(jié)果有較好的一致性；李為等[8]將艙段簡化平面梁模型，采用編程軟件組裝總體剛度矩陣和總體質(zhì)量矩陣，計(jì)算了艙段的模態(tài)頻率與振型。上述研究雖然將火箭艙段結(jié)構(gòu)等效為梁模型，但均未跳出有限元的范疇，無法反映模型細(xì)節(jié)。

基于上述學(xué)者研究成果，為能夠進(jìn)一步反映模型細(xì)節(jié)與提高計(jì)算效率，本文從薄壁圓柱殼出發(fā)，提出圓柱殼-等效梁模型，將其應(yīng)用于多段耦合梁結(jié)構(gòu)中，完成了對艙段殼結(jié)構(gòu)振動特性分析參數(shù)化建模。以有限元方法為參考，與本文方法對比分析，驗(yàn)證不同邊界條件、幾何參數(shù)下的仿真精度，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究艙段連接位置及螺栓規(guī)格、數(shù)目對彈、箭結(jié)構(gòu)低階模態(tài)的影響規(guī)律。

1 理論模型

1.1 等效梁模型

薄壁圓柱殼是箭體主要結(jié)構(gòu)形式，箭體由多個(gè)殼體艙段連接而成，整體殼結(jié)構(gòu)符合梁模型基本要求，其低階模態(tài)主要以彎曲為主。因工程中比較關(guān)注彈/箭結(jié)構(gòu)低階彎曲模態(tài)，在方案論證階段可將其簡化為梁模型，轉(zhuǎn)化為求解梁的低階模態(tài)問題。本文以兩端簡支圓柱殼為例進(jìn)行等效簡化。

根據(jù)薄殼理論，在滿足一定長徑比條件下，若薄壁圓柱殼為兩端簡支邊界條件，圓柱殼整體彎曲振動頻率表達(dá)式為[9]

(1)

(2)

式中a1、a2、a3為中間參數(shù)，可由邊界條件求得。

經(jīng)典梁彎曲理論中，兩端簡支梁的彎曲頻率表達(dá)式為[10]

(3)

式中Ib、Ab分別為等效梁模型的截面慣性矩和橫截面積。

對比分析梁和圓柱殼彎曲振動頻率的解析表達(dá)式，若直接利用梁彎曲振動方法在求解圓柱殼彎曲頻率，因未考慮轉(zhuǎn)動慣量和剪切變形影響，會導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果偏高。因此，在保證梁模型與圓柱殼結(jié)構(gòu)參數(shù)的同時(shí)，需充分考慮轉(zhuǎn)動慣量與剪切變形的影響，對等效梁模型得到的彎曲頻率進(jìn)行修正[11]，即

(4)

(5)

同理，也可對兩端自由，一端固支、一端自由等邊界條件下圓柱殼進(jìn)行等效。

1.2 多段耦合梁模型

彈/箭多艙段連接結(jié)構(gòu)可簡化為多段梁耦合模型進(jìn)行分析。如圖1所示為多段梁耦合結(jié)構(gòu)，假設(shè)耦合截面之間無剛度損失。各段梁的抗彎剛度分別為E1I1、E2I2、…、EnIn；長度和橫截面積分別為l1、l2、…、ln和A1、A2、…、An；密度分別為ρ1、ρ2、…、ρn。

圖1 多段耦合梁模型

若多段梁兩端與耦合處均為自由邊界，根據(jù)邊界條件和連續(xù)性條件可以得到4n×4n個(gè)邊界方程。

設(shè)各段梁的位移函數(shù)為[11]

wi(x)=Wisinμix+Xicosμix+Yisinhμix+

Zicoshμix，i=1，2，…

(6)

式中μi=(ω2ρiAi/EiIi)1/4；Wi、Xi、Yi、Zi為常系數(shù)。

第1段梁左端邊界方程為

(7)

第n段梁右端邊界方程為

(8)

第1～n段梁耦合處的邊界方程為

(9)

將式(6)代入式(7)～式(9)得

Ba=0

(10)

式中a為Wi、Xi、Yi、Zi組成的向量；B為4n×4n階系數(shù)矩陣。

向量a表達(dá)如下：

a=[a1a2…an]T

(11)

向量a中各個(gè)元素為各段梁位移函數(shù)的系數(shù)：

ai=[WiXiYiZi]，i=1，2，…，n

(12)

要使Wi、Xi、Yi、Zi有解，則B的行列式等于零，即

|B|=0

(13)

上式也是耦合梁的頻率方程，通過求解上式得到梁各階振動彎曲頻率ωi。將ωi代入式(10)求出各段梁位移函數(shù)的系數(shù)，即可得到耦合梁模態(tài)振型。

1.3 艙段對接結(jié)構(gòu)等效建模

圖2為火箭典型艙段對接結(jié)構(gòu)截面示意圖，通常由于加工精度和螺栓預(yù)緊力等因素的影響，艙段對接面并非剛性連接，僅在螺栓附近近似剛性連接，因此可以采用以下方法進(jìn)行等效建模[12]。

忽略定位螺栓與對接螺栓的尺寸差異，忽略定位銷，去除艙段對接中的所有緊固件，并根據(jù)對接螺栓數(shù)目，通過若干圓圈區(qū)域?qū)用孢M(jìn)行劃分，如圖2所示。圓圈區(qū)域以對接螺栓對應(yīng)通孔為中心，以8～10倍對接螺栓半徑作為圓圈區(qū)域半徑。在有限元模型中，僅將相鄰艙段在圓圈內(nèi)的對接區(qū)域進(jìn)行綁定固連。

結(jié)合對接結(jié)構(gòu)等效建模方法，對艙段對接面抗彎剛度進(jìn)行等效。圖2中，根據(jù)螺栓數(shù)目，確定所有圓圈區(qū)域面積對應(yīng)圓周角占整個(gè)圓周角的比例，求得艙段對接面實(shí)際抗彎剛度。具體計(jì)算方法：

圖2 艙段對接結(jié)構(gòu)示意圖

(14)

2 方法驗(yàn)證

多段耦合梁模型是基于剛性連接假設(shè)條件下得出的，彈/箭結(jié)構(gòu)由于對接螺栓的存在，對接面存在剛度損失，可通過式(14)計(jì)算對接面等效抗彎剛度。以有限元方法為參考，驗(yàn)證本文方法的準(zhǔn)確性和適用性。

若一薄壁圓柱殼長度L=7.5 m，半徑R=0.2 m，厚度t=4 mm，密度ρ=7850 kg/m3，楊氏模量E=2.0×1011Pa，泊松比υ=0.3。

2.1 邊界條件適用性驗(yàn)證

等效梁模型是基于兩端簡支圓柱殼進(jìn)行等效求得，為進(jìn)一步驗(yàn)證其適用于不同邊界條件，對典型邊界條件下進(jìn)行仿真分析，仿真結(jié)果如表1、表2所示(文中僅給出兩端自由圓柱殼模態(tài)振型比對)。

表1 兩端自由圓柱殼模態(tài)振型

由表1可見，圓柱殼兩端自由邊界條件下兩種方法的模態(tài)振型基本一致；表2仿真結(jié)果顯示，兩種方法模態(tài)彎曲頻率最大相對誤差不超過3%，適用于不同典型邊界條件，體現(xiàn)出本文方法是行之有效的，且滿足工程精度要求。

表2 圓柱殼模態(tài)頻率仿真結(jié)果

2.2 幾何參數(shù)適用性驗(yàn)證

保持圓柱殼材料參數(shù)與結(jié)構(gòu)參數(shù)中的厚度、半徑相同，通過改變軸向長度，探索等效梁模型對長徑比的適用范圍，因工程中比較關(guān)注殼體低階模態(tài)，文中僅給出前兩階模態(tài)彎曲頻率相對誤差與長徑比的關(guān)系。

仿真得到前兩階彎曲頻率相對誤差與長徑比的關(guān)系如圖3所示。圖中隨著長徑比的增加，前兩階彎曲頻率相對誤差逐漸減小并趨于平穩(wěn)，此時(shí)精度達(dá)到最大；長徑比很小時(shí)，圓柱殼低階模態(tài)主要為呼吸模態(tài)，誤差較大。當(dāng)長徑比大于10時(shí)，等效梁模型模態(tài)分析相對誤差可以保持在2%左右，能夠保證良好的精度。

圖3 前兩階彎曲頻率相對誤差與長徑比關(guān)系曲線

2.3 艙段對接結(jié)構(gòu)等效方法驗(yàn)證

基于上述邊界條件、幾何參數(shù)適用性驗(yàn)證得出：在滿足一定長徑比條件下，梁模型適用于求解薄殼結(jié)構(gòu)的模態(tài)彎曲特性?？紤]到艙段對接結(jié)構(gòu)在對接面處的剛度損失，需對其等效方法進(jìn)行進(jìn)一步驗(yàn)證。若一艙段對接結(jié)構(gòu)，兩艙段材料均為結(jié)構(gòu)鋼，長度l1=l2=4 m，直徑d1=d2=0.4 m，厚度t=0.004 m，仿真結(jié)果如表3所示。

表3數(shù)據(jù)表明，文中所述艙段對接結(jié)構(gòu)等效方法仿真結(jié)果與有限元結(jié)果具有良好的一致性，其最大相對誤差不超過2%，不僅彰顯了艙段等效方法的有效性，同時(shí)還可利用此方法求解彈/箭復(fù)雜艙段對接結(jié)構(gòu)。

表3 艙段模態(tài)仿真結(jié)果

2.4 仿真精度驗(yàn)證

若某型號運(yùn)載器箭體由5個(gè)艙段對接而成，艙段外徑均為0.4 m，每個(gè)對接面使用4×M14螺栓進(jìn)行連接，箭體兩端處于自由邊界，各艙段具體參數(shù)見表4。

表4 箭體各艙段參數(shù)

根據(jù)上述箭體各艙段參數(shù)建立艙段連接結(jié)構(gòu)的耦合梁模型與有限元模型，其中有限元模型包含5個(gè)實(shí)體子結(jié)構(gòu)、2712個(gè)接觸單元，52 025個(gè)實(shí)體單元，節(jié)點(diǎn)總數(shù)為107 344。仿真計(jì)算得到其前三階模態(tài)頻率如表5所示。

仿真結(jié)果表明，表5中兩種方法仿真結(jié)果基本相同，且前三階模態(tài)彎曲頻率相對誤差大致在2%左右，精度相對較高，滿足工程中實(shí)際需要；其次，本文方法的優(yōu)勢還體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

表5 艙段模態(tài)仿真結(jié)果

(1)從矩陣規(guī)模來看，在忽略模型細(xì)節(jié)、局部簡化的前提下，有限元模型總體剛度矩陣規(guī)模依舊是模型頻率方程矩陣的103倍左右，若充分考慮模型細(xì)節(jié)進(jìn)行精細(xì)化研究，有限元方法對計(jì)算機(jī)要求較高，相比之下本文方法計(jì)算成本較低、效率較高。

(2)時(shí)間方面，結(jié)合同系列產(chǎn)品模態(tài)測試結(jié)果，根據(jù)本文方法所得相關(guān)結(jié)論，如全箭長度、艙段連接位置、數(shù)目、連接形式等對于全箭模態(tài)的影響規(guī)律的定量分析結(jié)果，可快速完成新研型號的模態(tài)預(yù)示。

3 參數(shù)分析

考慮到艙段對接面所處位置、螺栓數(shù)目對整體結(jié)構(gòu)固有特性的影響，基于本文方法與有限元法開展參數(shù)影響規(guī)律研究。選取艙段直徑d=0.4 m，厚度t=4 mm，材料為結(jié)構(gòu)鋼，建立有限元與等效梁模型，對不同參數(shù)開展影響規(guī)律研究。

3.1 艙段對接面位置對模態(tài)分析的影響

選取艙段總長度l=8 m，其他參數(shù)相同條件下，將艙段對接面沿軸向方向分別設(shè)置在不同位置，可以得到艙段對接面所處不同位置時(shí)對彈/箭結(jié)構(gòu)固有頻率的影響規(guī)律，如圖4所示。

由圖4(a)～(c)可看出，彈/箭結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率對艙段連接位置比較敏感，隨艙段連接位置變化而變化，圖中顯示本文方法與有限元方法得到的規(guī)律曲線基本一致，在艙段連接位置相同情況下，兩種方法的相對誤差不超過1%，誤差原因?yàn)樵谕茖?dǎo)式(14)的過程中，略去了其中的高階項(xiàng)；圖4(d)中，對比前三階模態(tài)頻率變化規(guī)律，隨著艙段連接位置的變化，各階彎曲頻率均出現(xiàn)不同程度的下降，其中模態(tài)位移最大處對艙段對接面位置最敏感，導(dǎo)致各階彎曲頻率下降最大，在彈/箭結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中艙段連接位置應(yīng)盡量與這些位置錯(cuò)開或增強(qiáng)對接面抗彎剛度。

(a)First order bending mode (b)Second order bending mode

3.2 螺栓規(guī)格、數(shù)目對模態(tài)分析的影響

根據(jù)3.1節(jié)選取軸向中點(diǎn)處作為艙段對接面位置，由于一階模態(tài)頻率在此處比較敏感，二階模態(tài)頻率基本無變化，通過改變螺栓參數(shù)將參數(shù)影響規(guī)律反映到一階模態(tài)頻率變化上。保證其他參數(shù)不變的情況下，改變螺栓規(guī)格、數(shù)目得到一階模態(tài)頻率變化曲線，如圖5所示。圖5顯示，在螺栓規(guī)格相同的條件下，隨著螺栓數(shù)目的增大，固有頻率也隨之增大；在螺栓數(shù)目相同條件下，隨著螺栓規(guī)格的增大，固有頻率也隨之增大。參照式(14)，隨著螺栓數(shù)目、規(guī)格的增大，艙段對接面趨于剛性連接規(guī)律相符；反之，螺栓數(shù)目越少，艙段對接面剛度則越小，模態(tài)頻率降幅也越大，模態(tài)頻率最大降幅達(dá)到8%以上。因此，參考艙段對接面位置，連接剛度等多方面因素確定螺栓規(guī)格與數(shù)目對火箭整體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)具有重要意義。

圖5 模態(tài)頻率隨螺栓參數(shù)的變化

4 結(jié)論

針對有限元方法在系列化火箭產(chǎn)品模態(tài)仿真中計(jì)算效率較低的問題，本文提出了等效梁模型計(jì)算方法，并與有限元方法進(jìn)行了對比，驗(yàn)證了其有效性，并呈現(xiàn)出以下優(yōu)勢：相比于三維有限元繁瑣的前處理工作，本文方法能夠在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)過程中快速實(shí)現(xiàn)參數(shù)地更改；在精度相當(dāng)?shù)臈l件下，能夠迅速完成模態(tài)預(yù)示；可以快速完成相關(guān)參數(shù)對全箭模態(tài)的影響規(guī)律的定量分析。與此同時(shí)，在上述基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究了艙段對接結(jié)構(gòu)相關(guān)參數(shù)對結(jié)構(gòu)低階模態(tài)的影響。主要得出結(jié)論如下：

(1)本文方法特別適用于同系列型號方案論證階段，對于大長徑比艙段殼體結(jié)構(gòu)，適用于典型邊界條件，且相對誤差可以保證在2%左右，模態(tài)仿真精度較高，工程適用性強(qiáng)。

(2)箭體結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率對艙段連接位置比較敏感，隨著位置的變化而變化。其中，模態(tài)頻率變化最大位置對應(yīng)振型位移最大處。因此，在彈/箭結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，艙段連接位置應(yīng)盡量與這些位置錯(cuò)開。

(3)在艙段對接螺栓規(guī)格相同的條件下，隨著螺栓數(shù)目的減小，模態(tài)頻率隨之減??；在螺栓數(shù)目相同條件下，隨著螺栓規(guī)格的減小，模態(tài)頻率隨之減小。螺栓參數(shù)變化反映在剛度上，即彈/箭結(jié)構(gòu)隨著連接剛度降低模態(tài)頻率也隨之降低。