初中數(shù)學思想方法教學探究

曾黃淑芳

(福建省漳州市漳州三中 363000)

在培養(yǎng)和提高人的思維能力方面，數(shù)學有著其他學科所不可替代的獨特作用，而真正使學生終身受益的是數(shù)學思想方法，這也是我們要探究數(shù)學思想方法教學的價值所在.

一、初中常見的數(shù)學思想方法

1.整體代入的思想方法

有些問題用常規(guī)的思路，從局部求解不僅復(fù)雜而且還難于解決，要是換個角度從整體思考，反而會使問題化復(fù)雜為簡單，化難為易.所以運用整體思想解題可以優(yōu)化解題思路，簡便解題過程，提高解題的效率.

例1(運用整體代入的思想)已知x2+3x-2=0，求2x3+6x2-4x的值.

分析由x2+3x-2=0得x2+3x=2，所以2x3+6x2-4x=2x(x2+3x-2)=2x(2-2)=0.

本題利用因式分解將式子變形后，再把整式x2+3x看成一個整體，將它的值代入變形后的式子中即可.

2.函數(shù)和方程思想方法

用變化的觀點去描述和分析實際問題中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)模型，再進一步運用函數(shù)的概念和性質(zhì)使問題得以解決，這就是函數(shù)思想.與這種思想方法相銜接的還有方程和不等式等知識.

例2(運用函數(shù)和方程思想)某商場銷售一批茶樹菇，經(jīng)理按市場價格10元千克收購了2000千克茶樹菇存放入冷庫中.據(jù)調(diào)查近期茶樹菇市場價格每天將上漲0.5元/千克，但平均每天有6千克的茶樹菇會壞掉，且存放每天需要付340元費用，保存天數(shù)不能超過120天.

(1)若該商場要獲得22500元的利潤，要存放幾天后出售？

(2)求獲得的最大利潤.

分析(1)設(shè)存放x天后出售，依題意得

方程(2000-6x)(10+0.5x)-2000×10-340x=22500，解得x1=150(舍去),x2=50.

(2)設(shè)存放x天后出售，出售可獲得利潤w元， 則

w=(2000-6x)(10+0.5x)-2000×10-340x=-3(x-100)2+30000.

所以，當x=100時，w最大值=30000元.

本題是二次函數(shù)在銷售問題方面的應(yīng)用，解決這類型問題的思路通常是先建立二次函數(shù)的數(shù)學模型，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)來求最大(或最小)利潤.

3.分類討論的思想

在研究數(shù)學問題時，當條件或結(jié)論不確定時，我們應(yīng)該對研究對象按某個標準進行分類研究，得出每一類的結(jié)論，從而得到整個問題的結(jié)論.例如我們在中考的壓軸題中常遇到的等腰三角形存在性問題，就要根據(jù)所給的條件按角或按邊進行分類討論；還有中考壓軸題中常見的二次函數(shù)的純函數(shù)問題就經(jīng)常要以對稱軸為基準來進行分類討論.值得注意的是，分類必須服從如下規(guī)則：(1)在同一次分類時，標準必須同一；(2)分類必須不重復(fù)且不遺漏.

例3(運用分類討論的思想)已知拋物線y=x2+(2m-1)x-2m(-y=ax2+bx+c

(1)若拋物線過點(0，-3)，試求拋物線的頂點坐標和對稱軸；

(2)試證明：拋物線與直線l必有兩個交點；

(3)若拋物線經(jīng)過點(x0，-4)，且對于任意實數(shù)x，不等式x2+(2m-1)x-2m≥-4都成立； 當k-2≤x≤k時，函數(shù)的最小值為2k+1,求直線的解析式.

分析(1)拋物線：y=x2+2x-3=(x+1)2-4，頂點(-1，-4)，對稱軸為：直線x=-1.

(2)拋物線：y=x2+(2m-1)x-2m,

直線：y=(k-1)x+2m-k+2.

x2+(2m-k)x-4m+k-2=0

Δ=(2m-k)2-4(-4m+k-2)= (2m-k)2+16m-4k+8

=(2m-k)2+4(2m-k)+8m+4

=(2m-k+2)2+8m+4.

∵m>-y=ax2+bx+c， (2m-k+2)2≥0,

∴Δ>0，拋物線與直線l必有兩個交點.

(3)依題意可知y最小值=-4

即：y=ax2+bx+c=-4，m=y=ax2+bx+c或m=-y=ax2+bx+c

∵-y=ax2+bx+c

①當k≤-1時，拋物線在k-2≤x≤k上，y隨x增大而減小.此時y最小值=k2+2k-3,∴k2+2k-3=2k+1,解得：k1=2>-1(舍去)，k2=-2.

②當k-2<-1

③當k-2≥-1，即k≥1時，拋物線在k-2≤x≤k上，y=ax2+bx+c隨x的增大而增大，此時y最小值=(k-2)2+2(k-2)-3,(k-2)2+2(k-2)-3=2k+1，解得：k1=2+2y=ax2+bx+c，k2=2-2y=ax2+bx+c<1 (舍去).

綜上所述，直線y=ax2+bx+c：y=-3x+7或y=(1+2y=ax2+bx+c)x+3+2y=ax2+bx+c.

本題的第三步就是以拋物線的對稱軸為基準來進行分類討論，“分類討論”的問題在各地中考試題的壓軸題中十分常見，因為這類試題不僅考查了學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，更考查了學生思維的深刻性、發(fā)散性以及嚴密性等，對中等的學生來講有一定的難度，因此具有選拔性.

4.數(shù)形結(jié)合的思想

數(shù)以形而直觀，形以數(shù)而入微.在數(shù)學解題中，應(yīng)該教會學生以數(shù)構(gòu)形，以形思數(shù)，這樣不僅可以使抽象的問題變得直觀、易理解，同時也能使課堂更加的形象生動，從而進一步激發(fā)了學生的學習興趣，對培養(yǎng)學生思維的形象性與廣闊性有很大的幫助.

例4(運用數(shù)形結(jié)合的思想)如圖為拋物線y=ax2+bx+c的圖象，判斷正確是____.

①a+b+c<0

②a-b+c<0

③2a+b>0

④b2-4ac>0

5.轉(zhuǎn)化(化歸)的思想方法

所謂(化歸)轉(zhuǎn)化的思想是指在研究數(shù)學問題時，將未解決的問題化歸轉(zhuǎn)化為已解決的問題，進而使問題得到解決的一種解題策略.化歸與轉(zhuǎn)化的原則是：將抽象的問題轉(zhuǎn)化為直觀的問題；將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題；以及一般性的問題和特殊的問題的互化.

例如，老師可以由特殊情況“全等三角形對應(yīng)線段相等”這一性質(zhì)進行合情推理到相似三角形的性質(zhì)，這也體現(xiàn)了由特殊向一般轉(zhuǎn)化的思想，這樣學生在學習時會更容易接受.

二、如何在數(shù)學教學中滲透數(shù)學思想方法

數(shù)學思想方法教學主要采用滲透的方法，教者有意，學者無心，教學中應(yīng)有的放矢地結(jié)合典型例題進行引導(dǎo)滲透，并結(jié)合類似練習加以強化和鞏固.讓學生對數(shù)學思想方法的感悟達到由淺入深，循序漸進，使學生逐步掌握并自覺地進行運用.

1.把握教材的思想體系，納入教學目標

教師在平時的教學中一定要認真研究大綱，吃透教材，把掌握數(shù)學思想方法納入我們的教學目標當中，精心設(shè)計到教案中去，在備課時要考慮如何結(jié)合教材內(nèi)容進行滲透.例如在解直角三角形的教學中，我們常會添加的一條輔助線是作三角形的高，這樣可以把一般的三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，再利用勾股定理和三角函數(shù)知識來求解，這當中滲透了由一般到特殊轉(zhuǎn)化的思想方法，這往往是解題的一個突破口.

2.反復(fù)再現(xiàn)，逐漸強化

首先是從模仿開始，學生通過模仿例題以及相同類型習題的解答，實際上就是讓學生機械地運用數(shù)學思想方法.遷移不可能經(jīng)歷一兩次就能實現(xiàn)，需要不斷的重現(xiàn)，反復(fù)的強化，才能讓學生有深刻的認識.只有當學生能自主地將它用于新的情境、觸類旁通的時候，才說明學生已掌握了這一數(shù)學本質(zhì)、數(shù)學規(guī)律.

數(shù)學在社會科學各領(lǐng)域都有非常廣泛和重要的應(yīng)用，學習數(shù)學不只是知識的學習，更重要的是方法的學習.只有加強數(shù)學思想方法的教學，才能適應(yīng)課程改革的需求.