深度融合：基于GeoGebra的高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)

【摘要】實(shí)現(xiàn)技術(shù)與數(shù)學(xué)的深度融合，離不開(kāi)信息化教學(xué)環(huán)境的構(gòu)造、新型教與學(xué)方式的實(shí)現(xiàn)和傳統(tǒng)課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)的變革。以學(xué)科教學(xué)軟件GeoGebra為例，將技術(shù)真正融入概念形成、規(guī)則演繹、活動(dòng)探究、方法提煉等教學(xué)中，可以構(gòu)建出完全不一樣的數(shù)學(xué)教與學(xué)的新形態(tài)。

【關(guān)鍵詞】教學(xué)設(shè)計(jì);深度融合;教育技術(shù);GeoGebra

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號(hào)】1005-6009（2020）59-0024-04

【作者簡(jiǎn)介】張志勇，江蘇省常州市第五中學(xué)（江蘇常州，213001）教師，正高級(jí)教師，江蘇省教科研先進(jìn)教師，江蘇省“333高層次人才培養(yǎng)工程”培養(yǎng)對(duì)象。

隨著知識(shí)革新及技術(shù)創(chuàng)新，以大數(shù)據(jù)、“互聯(lián)網(wǎng)+”為背景的教育新時(shí)代已經(jīng)到來(lái)。對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)而言，教育技術(shù)已成為一種不可或缺的工具，“重視信息技術(shù)運(yùn)用，實(shí)現(xiàn)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合”是我們理應(yīng)深入探究的課題。實(shí)現(xiàn)技術(shù)與數(shù)學(xué)的深度融合，離不開(kāi)信息化教學(xué)環(huán)境的構(gòu)造、新型教與學(xué)方式的實(shí)現(xiàn)和傳統(tǒng)課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)的變革。本文以GeoGebra為軟件平臺(tái)，就概念生成、規(guī)則演繹等內(nèi)容談?wù)勅绾螌⒓夹g(shù)融入數(shù)學(xué)的教與學(xué)中，從而影響并推動(dòng)著傳統(tǒng)課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)的變革和數(shù)學(xué)教學(xué)新形態(tài)的構(gòu)建。

一、概念形成中的融合設(shè)計(jì)

概念是數(shù)學(xué)思維方式建構(gòu)或轉(zhuǎn)變的基石，一個(gè)概念的背后往往蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，分析、處理問(wèn)題的策略與方法。因此，對(duì)于數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，并不是僅僅能記住、說(shuō)出它的定義，認(rèn)識(shí)它的代表符號(hào)，而是要真正能夠把握它的本質(zhì)屬性。概念教學(xué)中，要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)新概念的必要性，同時(shí)凸顯概念的形成過(guò)程，讓學(xué)生在大量例證中歸納、概括、抽象出概念的關(guān)鍵屬性。

案例1：等比數(shù)列的概念教學(xué)。

等比數(shù)列教學(xué)可以從生活實(shí)例引入，并類比等差數(shù)列生成概念，通?？稍O(shè)計(jì)教學(xué)流程為“創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題→共性歸納，生成概念→自主探究，辨析概念→類比推理，拓展概念→問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，應(yīng)用概念”。融合視角下，在創(chuàng)設(shè)情境環(huán)節(jié)我們有更多的實(shí)例選擇，如謝爾賓斯基三角形迭代過(guò)程中每一層中點(diǎn)三角形的個(gè)數(shù)、邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)、面積均呈等比數(shù)列（如下頁(yè)圖1，公比分別為3、1/2、3/2、1/4），選取這樣新穎有趣的事例更易于激發(fā)學(xué)生的探究興趣，事實(shí)上謝爾賓斯基三角形“周長(zhǎng)無(wú)限面積趨于零”的特性也為后繼研究提供了很好的鋪墊。在辨析概念環(huán)節(jié)，如果僅僅從代數(shù)推演的角度解析等比數(shù)列的分類，往往很難讓學(xué)生見(jiàn)到全貌，而有了圖2所示的探索空間，當(dāng)學(xué)生對(duì)等比數(shù)列的增減性、擺動(dòng)性有了切身體會(huì)后，再?gòu)墓萹的角度進(jìn)行分類就水到渠成了，并且（指數(shù)）函數(shù)觀念也已蘊(yùn)涵其中。

概念形成需要從大量的實(shí)例和學(xué)習(xí)者的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，以歸納的思維方式獲得概念。于是融入技術(shù)元素，設(shè)計(jì)適于概念形成的學(xué)習(xí)情境并留給學(xué)生自主活動(dòng)的空間，當(dāng)是教學(xué)設(shè)計(jì)中應(yīng)該重點(diǎn)處理的環(huán)節(jié)。

二、規(guī)則演繹中的融合設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開(kāi)推理運(yùn)算，而公式法則、定理命題是運(yùn)算推理的重要根基，學(xué)生運(yùn)算出錯(cuò)、推理失敗多是因?yàn)楣?、定理理解不全的緣故。在常?guī)教學(xué)中，定理法則的教學(xué)采用更多的是“告訴演繹”思路，即展示規(guī)則（告訴）→推導(dǎo)驗(yàn)證（演繹）→變式應(yīng)用（操練）。技術(shù)融入后，可借助CAS系統(tǒng)（Computer Algebra System）增加“規(guī)則發(fā)現(xiàn)”環(huán)節(jié)，化單純的演繹為“歸納+演繹”，為我們的教學(xué)設(shè)計(jì)提供更多的選擇。

案例2：導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的“發(fā)現(xiàn)”教學(xué)。

以積的求導(dǎo)法則為例，在常規(guī)的教學(xué)流程中可增加下列環(huán)節(jié)：

（1）計(jì)算先行，感知規(guī)則。在GeoGebra的運(yùn)算區(qū)中，先計(jì)算一些具體函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，如y=x₂e_x、y=xsinx等，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到積的導(dǎo)數(shù)應(yīng)該是和的形式;

（2）歸納猜想，發(fā)現(xiàn)規(guī)則。進(jìn)一步的，在運(yùn)算區(qū)中進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究。如圖3，改變基本函數(shù)f（x）、g（x）的解析式，考察f（x）g（x）的導(dǎo)數(shù)的變化，從而明確和式的由來(lái)，得出結(jié)果“（f（x）·g（x））′=f′（x）·g（x）+f（x）·g′（x）”。

這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)其實(shí)是借助技術(shù)的力量實(shí)現(xiàn)教學(xué)流程倒置，將原來(lái)的記憶操練變更為歸納發(fā)現(xiàn)（導(dǎo)數(shù)運(yùn)算結(jié)果提前呈現(xiàn)給學(xué)生），在實(shí)現(xiàn)“向技術(shù)學(xué)數(shù)學(xué)”的同時(shí)，也創(chuàng)設(shè)了“再創(chuàng)造”數(shù)學(xué)的情境，讓學(xué)生有機(jī)會(huì)在經(jīng)歷“觀察現(xiàn)象→歸納猜想→證明猜想→應(yīng)用拓展”的過(guò)程中，實(shí)現(xiàn)更高抽象層次上的抽象探究。雖然完整的教學(xué)流程還需要有演繹推證規(guī)則、變式應(yīng)用操作（在練習(xí)過(guò)程中可將紙筆運(yùn)算結(jié)果與計(jì)算機(jī)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比對(duì)驗(yàn)證）環(huán)節(jié)，但有了技術(shù)的融入，我們?cè)诙ɡ矸▌t的教學(xué)中有了全新的設(shè)計(jì)選擇，完全可以做過(guò)去課堂中做不到的事情。事實(shí)上，技術(shù)本身也是數(shù)學(xué)，GeoGebra可以方便實(shí)現(xiàn)符號(hào)計(jì)算功能，能更好地與注重形式化、符號(hào)化的數(shù)學(xué)學(xué)科相匹配，滿足在計(jì)算機(jī)上推導(dǎo)數(shù)學(xué)公式的需求，如對(duì)表達(dá)式進(jìn)行因式分解、化簡(jiǎn)、微分、積分、解代數(shù)方程、求解常微分方程等;進(jìn)而滿足學(xué)生在更高抽象層次上進(jìn)行思考與探究，使形式化的符號(hào)也能成為學(xué)生高層次的數(shù)學(xué)認(rèn)知基礎(chǔ)。

三、活動(dòng)探究中的融合設(shè)計(jì)

只有經(jīng)歷豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才能積累足夠的原初經(jīng)驗(yàn)，于是應(yīng)用現(xiàn)代技術(shù)的動(dòng)態(tài)形象優(yōu)勢(shì)，可以創(chuàng)設(shè)生動(dòng)活潑、富有啟發(fā)性的情境，為學(xué)生理解概念創(chuàng)設(shè)背景，為學(xué)生探索規(guī)律啟發(fā)思路，為學(xué)生解決問(wèn)題提供直觀呈現(xiàn)的方式，從而優(yōu)化課堂教學(xué)，轉(zhuǎn)變教與學(xué)的方式。

案例3：圓錐曲線的包絡(luò)探究。

我們知道，圓錐曲線可以通過(guò)折紙的方式來(lái)呈現(xiàn)，但折紙操作過(guò)程費(fèi)時(shí)費(fèi)力，并且通過(guò)有限的幾條折痕“看出”輪廓（包絡(luò)線）也絕非易事，而這樣的麻煩事?lián)Q到技術(shù)環(huán)境中則可以輕松解決，從而讓學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲取圓錐曲線概念的原始經(jīng)驗(yàn)。如圖4，拖動(dòng)滑動(dòng)條n，隨著線段AC（C為圓B上的動(dòng)點(diǎn)）的中垂線條數(shù)的增多，包絡(luò)的呈現(xiàn)越發(fā)清晰，圓錐曲線便呈現(xiàn)在學(xué)生眼前;拖動(dòng)改變A、B的相對(duì)位置可發(fā)現(xiàn)更多的精彩，當(dāng)A點(diǎn)從圓B外運(yùn)動(dòng)到圓B內(nèi)時(shí)，包絡(luò)線由雙曲線變成了橢圓，這樣的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程恰好表明了圓錐曲線的內(nèi)在統(tǒng)一性;從外在的包絡(luò)現(xiàn)象到內(nèi)在的數(shù)學(xué)原理探尋，數(shù)學(xué)知識(shí)便找到了很好的落腳點(diǎn)。以雙曲線為例，取包絡(luò)上的任意一點(diǎn)P，IPA-PBI=IPC-PBI=BC（P為線段AC的垂直平分線上的點(diǎn)，從而PA=PC），從而P點(diǎn)的軌跡為以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線。從發(fā)現(xiàn)包絡(luò)的“驚詫”、動(dòng)態(tài)聯(lián)系的“美妙”到本質(zhì)探尋的“原來(lái)如此”，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義和價(jià)值在這樣的活動(dòng)設(shè)計(jì)中得到很好的彰顯。

四、方法提煉中的融合設(shè)計(jì)

學(xué)數(shù)學(xué)就要解數(shù)學(xué)題，通過(guò)解題可以幫助學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)概念、掌握數(shù)學(xué)方法進(jìn)而錘煉數(shù)學(xué)思維。從而數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)很重要的任務(wù)，就是教學(xué)生學(xué)習(xí)如何解數(shù)學(xué)題，教學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維。當(dāng)然數(shù)學(xué)題目類型的千差萬(wàn)別決定了解題方法的多樣性、復(fù)雜性，因此，探尋方法也就沒(méi)有固定的規(guī)律可循。應(yīng)用技術(shù)創(chuàng)設(shè)探究情境，可以讓學(xué)生有機(jī)會(huì)嘗試從不同的角度探究問(wèn)題的各個(gè)方面，在展示解題思路的探求過(guò)程中解構(gòu)解題策略的形成，思考“怎樣學(xué)會(huì)解題”，在問(wèn)題“源與流”的探尋中感悟“原來(lái)如此”的美妙。

案例4：導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題探求。

零點(diǎn)問(wèn)題是函數(shù)中的常見(jiàn)題型，應(yīng)用零點(diǎn)存在定理證明零點(diǎn)存在的關(guān)鍵在于“找點(diǎn)”（即構(gòu)造異號(hào)的函數(shù)值），如何“找點(diǎn)”成為教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。我們以簡(jiǎn)單問(wèn)題“已知關(guān)于x的方程m=lnx/x有兩解，求m的取值范圍?！睘槔?，設(shè)計(jì)探究流程如下：

（1）圖象輔助，分析趨勢(shì)。通過(guò)求導(dǎo)可以得

到f（x）=lnx/x的單調(diào)性（即在（0，e）上遞增、在（e，+∞）上遞減），繪制圖象（如圖5）則可以揭示漸近線的存在（x∈（e，+∞）時(shí)，隨著x的增大，函數(shù)f（x）的圖象始終在x軸上方且無(wú)限逼近x軸）;這樣結(jié)合圖象不難得出m∈（0，1/e）。

上述教學(xué)設(shè)計(jì)的實(shí)現(xiàn)離不開(kāi)技術(shù)的融入，我們通過(guò)圖象趨勢(shì)觀察（取勢(shì)）、放縮本質(zhì)思考（明道）達(dá)成優(yōu)化解題方案（優(yōu)術(shù)），事實(shí)上解題教學(xué)的價(jià)值和意義恰恰在于教會(huì)學(xué)生“怎樣應(yīng)用數(shù)學(xué)方法”“如何發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論”，而解題策略的獲取、解題觀點(diǎn)的提升、思維層次的優(yōu)化自然是教學(xué)設(shè)計(jì)中的重要考量。

隨著教育信息化2.0時(shí)代的到來(lái)，數(shù)學(xué)教育由主要強(qiáng)調(diào)紙筆計(jì)算向充分使用現(xiàn)代教育技術(shù)轉(zhuǎn)變已經(jīng)是歷史的必然。實(shí)現(xiàn)技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)的深度融合，要求我們?cè)谏钊肜斫馀c掌握技術(shù)的基礎(chǔ)上實(shí)施能有效變革課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)的創(chuàng)新教學(xué)模式，要在構(gòu)建互動(dòng)交流的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境的同時(shí)促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的提升。