高速列車半主動懸掛系統(tǒng)的振動及主動控制

趙艷影， 黃小衛(wèi)

(南昌航空大學飛行器工程學院， 南昌 330063)

在中國鐵路高速化的背景下，列車運行速度不斷提高。隨著列車的提速，車輛的振動性能不斷惡化。目前對高速列車減振技術的研究主要集中在車輛系統(tǒng)動力學、半主動懸掛系統(tǒng)控制律、半主動懸掛系統(tǒng)減振器三個方面。對車輛系統(tǒng)動力學的研究主要集中研究非線性輪軌接觸[1]、動力學分岔[2]、蛇形動力學行為[3]、動力學仿真模型[4]、懸掛系統(tǒng)參數(shù)設計等[5]幾個方面。現(xiàn)代車輛正朝著安全、舒適的方向發(fā)展，因軌道不平順導致的車體振動引起了學者們的關注，懸掛系統(tǒng)智能化解決了傳統(tǒng)被動懸掛存在的舒適性和穩(wěn)定性不能兼顧的問題。主動懸掛系統(tǒng)是在懸掛系統(tǒng)中加入受控作動器，以抑制車體的振動[6]。雖然主動懸掛性能最優(yōu)，但是也存在內(nèi)部結(jié)構復雜、成本高、耗能高等問題，尤其重要的是不能控制在懸掛失效時的穩(wěn)定性，這些缺陷導致其在實際列車上應用不多。針對主動懸掛系統(tǒng)的缺點，半主動懸掛因其結(jié)構大大簡化以及控制效果良好等優(yōu)勢應運而出[7]。時間滯后，簡稱時滯，是系統(tǒng)中存在的時間延遲現(xiàn)象，所有的控制系統(tǒng)中不可避免地存在時滯現(xiàn)象[8]，它可以在信號的測量、采集、傳遞等過程中，也可以存在于目標的反應過程中。針對半主動懸掛系統(tǒng)中的時滯問題，目前得到的一般結(jié)論是：時滯對控制系統(tǒng)具有顯著的惡化影響[9]，從而提出了時滯研究的必要性[10]。這種惡化影響主要體現(xiàn)在時滯對車輛運行平穩(wěn)性[11]、蛇形運動穩(wěn)定性和隨機振動響應[12]等，針對車輛系統(tǒng)動力學性能的仿真[13]研究也證實了時滯是半主動懸掛系統(tǒng)的不利因素。采用合理的控制律進行時滯補償或時滯消除的方法，可以減小時滯對系統(tǒng)的影響，一般都能夠使得控制系統(tǒng)得到明顯改善。然而，研究也發(fā)現(xiàn)，時滯對車輛懸掛系統(tǒng)動力學行為的影響不是一成不變的，在某些時滯的區(qū)間內(nèi)，時滯的存在能夠改善懸掛系統(tǒng)的性能[14]，通過對控制參數(shù)進行優(yōu)化，能夠有效降低車身加速度[15]，從而提供了利用時滯的可能。本文及文獻[16]對兩自由度高速列車半主動懸掛系統(tǒng)的垂向振動進行研究，考慮了二系懸掛中的剛度三次非線性，重點討論時滯反饋控制對車體振幅的影響規(guī)律，從而能夠利用時滯改善懸掛系統(tǒng)的振動特性。

1 懸掛系統(tǒng)的控制微分方程

圖1是高速列車半主動懸掛系統(tǒng)垂向振動的動力學模型。

圖1 高速列車半主動懸掛系統(tǒng)垂向振動模型Fig.1 Vertical vibration model of semi-active suspension system of high-speed train

ks[yb(t)-yc(t)]-δ[yb(t)-yc(t)]3=0

(1)

kp[y0(t)-yb(t)]+ks[yb(t)-yc(t)]+

δ[yb(t)-yc(t)]3=0

(2)

式中：yb和yc分別表示轉(zhuǎn)向架和車體的位移；y0表示軌道不平順激勵，將其簡化為簡諧外激勵的形式：y0=Fcos(Ωt)，F(xiàn)為外激勵振幅，Ω為外激勵頻率。當fs=0時，反饋控制項消失，振動系統(tǒng)退化為非線性的被動控制系統(tǒng)。當τ=0時，時滯反饋控制項消失，振動系統(tǒng)退化為非線性主動無時滯反饋控制系統(tǒng)。

高速列車懸掛系統(tǒng)的物理參數(shù)參照CRH5選取，如表1所示。

表1 懸掛系統(tǒng)物理參數(shù)

2 線性系統(tǒng)的幅頻及減振特性

首先，不考慮非線性因素，分析線性系統(tǒng)的振動特性。圖2分別給出了線性被動減振系統(tǒng)(即fs=0，τ=0，δ=0)，在不存在阻尼和存在阻尼兩種情況下垂向振動的幅頻響應曲線，其中外激勵振幅選擇為F=40 mm。

圖2 車體的幅頻響應曲線Fig.2 Amplitude-frequency response curves of vehicle body

從圖2可以看出，當懸掛系統(tǒng)存在阻尼時，二階模態(tài)頻率ω2=6.39 rad/s對應的車體振幅峰值基本消失，只有一階模態(tài)頻率ω1=2.24 rad/s對應的車體振幅最大，振動最惡劣，振幅最大值可達0.19 m。

下面考慮在外激勵頻率趨近系統(tǒng)一階振動模態(tài)頻率時線性時滯反饋控制的減振特性，得到的車體振幅隨反饋增益系數(shù)和時滯變化如圖3所示。

圖3 反饋增益系數(shù)和時滯對車體振幅的影響Fig.3 Effects of gain and time delay on amplitude of vehicle body

由圖3可以看出，車體振幅A受到反饋增益系數(shù)和時滯兩個控制參數(shù)的影響，對于某一特定的時滯參數(shù)，反饋增益系數(shù)fs=-7 506.18 (N·s)/m時車體的振幅最小，因此可選定反饋增益系數(shù)為fs=-7 506.18 (N·s)/m。反饋增益系數(shù)確定之后，可以在某些時滯區(qū)間選擇時滯參數(shù)達到抑制車體振幅的目的，但同時要對系統(tǒng)進行穩(wěn)定性分析，保證系統(tǒng)在穩(wěn)定的狀態(tài)下工作，在此對線性時滯反饋控制系統(tǒng)不做詳細介紹。下面考慮非線性系統(tǒng)及時滯反饋控制的效果。

3 非線性系統(tǒng)的近似多尺度法

對非線性時滯反饋控制系統(tǒng)，采用多尺度方法結(jié)合模態(tài)設解的方法進行分析。首先，將式(1)、式(2)寫成矩陣的形式為

(3)

將式(3)的解設為模態(tài)解的形式y(tǒng)c=q1+q2，yb=r1q1+r2q2，即：

(4)

式(4)為(yc,yb)與(q1,q2)兩組坐標之間的變換關系，其中坐標變換矩陣設為u，其轉(zhuǎn)置為uT。

(5)

將式(4)代入式(3)，再將式(3)左乘矩陣uT得：

(6)

(7)

為方便采用多尺度方法進行攝動分析，將各量標注如下：mc=m1，mb=m2，ks=k1，kp=k2，cs=εc1，cp=εc2，δ=εδ，fs=εfs，fs=εfs。則式(7)可寫為

δ(1-r1)(q1+q2-r1q1-r2q2)3]

(8)

εr2k2fcos(Ωt)-ε[c1-r1c1-r2c1+

δ(1-r2)(q1+q2-r1q1-r2q2)3]

(9)

采用多尺度法對系統(tǒng)動力學方程進行攝動分析，求解式(8)、式(9)的二階近似解，將解的形式表示為

(10)

式(10)中：時間尺度Tr為新引入的自變量，Tr=εrt，r=0,1,2,…，偏導算子為

(11)

(12)

(13)

(14)

將式(10)～式(14)代入到式(8)、式(9)中，并比較ε同次冪，得到：

ε0:

(15)

(16)

ε1:

r1r2(c1+c2)]D0q21-[(1-r1)fs(D0q11τ+

D0q21τ)+δ(1-r1)(q11+q21-r1q11-

r2q21)3]+r1k2fcos(Ωt)

(17)

[c1-2r2c1+r1r2(c1+c2)]D0q21-

[(1-r2)fs(D0q11τ+D0q21τ)+δ(1-r2)

(q11+q21-r1q11-r2q21)3]+r2k2fcos(Ωt)

(18)

ε0:

(19)

(20)

ε1:

[c1-r1c1-r2c1+r1r2(c1+c2)]D0q21-

[(1-r1)fs(D0q11τ+D0q21τ)+δ(1-r1)×

(q11+q21-r1q11-r2q21)3]+r1k2fcos(Ωt)}

(21)

[c1-2r2c1+r1r2(c1+c2)]D0q21-

[(1-r2)fs(D0q11τ+D0q21τ)+δ(1-r2)×

(q11+q21-r1q11-r2q21)3]+r2k2fcos(Ωt)}

(22)

設微分方程組的解為

q11=A(T1)eiω1T0+cc

q21=B(T1)eiω2T0+cc

(23)

式中:A和B是未知的函數(shù)；cc代表其前面各項的共軛。外激勵項和時滯項可以表示為

(24)

(25)

將式(24)、式(25)代入到式(21)、式(22)中得：

K3e3iω1T0+K4e3iω2T0+K5eiT0(-2ω1+ω2)+

K6eiT0(2ω1+ω2)+K7eiT0(-ω1+2ω2)+

K8eiT0(ω1+2ω2)+K9eiω1(T0-τ)+

K10eiω2(T0-τ)+K11eiΩT0]+cc

(26)

K14e3iω1T0+K15e3iω2T0+K16eiT0(-2ω1+ω2)+

K17eiT0(2ω1+ω2)+K18eiT0(-ω1+2ω2)+

K19eiT0(ω1+2ω2)+K20eiω1(T0-τ)+

K21eiω2(T0-τ)+K22eiΩT0]+cc

(27)

4 非線性系統(tǒng)平衡解線性系統(tǒng)的幅頻及減振特性

由系統(tǒng)幅頻曲線可以看出，車體的一階模態(tài)振幅最大。下面研究外激勵頻率趨近系統(tǒng)的一階模態(tài)頻率時振動系統(tǒng)的平衡解。為此，引進及分別表示外主共振解諧參數(shù)和1∶3內(nèi)共振解諧參數(shù)為

(28)

式(26)、式(27)可寫成如下形式：

K3e3iω1T0+K4e3i(3ω1+εσ2)T0+

K5eiT0(ω1+εσ2)+K6eiT0(5ω1+εσ2)+

K7eiT0(5ω1+2εσ2)+K8eiT0(7ω1+2εσ2)+

K9eiω1(T0-τ)+K10ei(3ω1+εσ2)(T0-τ)+

K11ei(ω1+εσ1)T0}+cc

(29)

K14ei(ω2-εσ2)T0+K15e3iω2T0+

(30)

得到式(29)、式(30)的可解性條件，并化簡得到：

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

式中：φ1=θ2-3θ1+σ2T1，φ2=σ1T1-θ1。

為了確定對應的穩(wěn)態(tài)運動的定常解振幅和相位，即在a′=b′=φ′1=φ′1-3φ′2=0時的平衡解，以判斷平衡解的穩(wěn)定性，首先將式(33)～式(36)轉(zhuǎn)化到直角坐標系下：為此，設：s1=acosφ2，d1=asinφ2，s2=bcos(φ1-3φ2)，d2=bsin(φ1-3φ2)，則式(33)～式(36)變?yōu)?/p>

(37)

(38)

s′2=b′cos(φ1-3φ2)-b(φ′1-3φ′2)×

(39)

d′2=b′sin(φ1-3φ2)+b(φ′1-3φ′2)×

(40)

5 非線性系統(tǒng)的時滯反饋控制

車體的位移形式可以近似表達為

yc=q1+q2=q11+q21+ε(q12+q22)+

ε2(q13+q23)+…≈q11+q21≈

acos[ω1T0+θ1(T1)]+

bcos[ω2T0+θ2(T1)]=y1+y2

(41)

式(41)中：y1=acos[ω1T0+θ1(T1)]，y2=bcos[ω2T0+θ2(T1)]。

圖4 車體的幅頻響應曲線aFig.4 Amplitude-frequency response curves a of vehicle body

從圖4、圖5可以看出，當外激勵在主共振點右側(cè)(即εσ1>0.5)，振動系統(tǒng)的幅頻響應曲線出現(xiàn)了多解現(xiàn)象，對應某一個確定的外激勵頻率有三個解支，其中上下兩條曲線是穩(wěn)定的，中間的曲線是不穩(wěn)定的。根據(jù)非線性系統(tǒng)的特性很容易判斷，當振動系統(tǒng)的初始條件較小時，系統(tǒng)對應振幅較小的解支；當振動系統(tǒng)的初始條件較大時，系統(tǒng)對應振幅較大的解支。而且容易觀察到，振幅a的量級要遠遠大于振幅b的量級，因此對于主動控制系統(tǒng)，重點討論采用時滯反饋控制振動系統(tǒng)在主共振點及其附近對振幅a的控制效果。以外激勵頻率分別在εσ1=-0.2 rad/s、εσ1=0和εσ1=0.2 rad/s三點為例進行研究。圖6是時滯系統(tǒng)的車體振幅隨時滯量的變化曲線，根據(jù)以上分析，反饋增益系數(shù)選擇為fs=-7 506.18 (N·s)/m。

從圖6可以看出，振幅a隨著時滯量的變化呈現(xiàn)周期性的變化趨勢，有波峰和波谷，這說明時滯對振動系統(tǒng)的振幅有調(diào)節(jié)作用。理論上存在某些時滯區(qū)間，在這些區(qū)間內(nèi)振動系統(tǒng)的振幅有明顯的減小，可以在這些時滯的減振區(qū)間內(nèi)調(diào)節(jié)時滯量，以達到抑制車體振幅的目的。然而在某些時滯區(qū)間內(nèi)，由于時滯量的出現(xiàn)導致了系統(tǒng)出現(xiàn)不穩(wěn)定，系統(tǒng)的振動將更加惡劣，在實際工作中應避免將時滯調(diào)節(jié)到不穩(wěn)定區(qū)間內(nèi)。

圖5 車體的幅頻響應曲線bFig.5 Amplitude-frequency response curves b of vehicle body

圖6 車體的振幅-時滯響應曲線Fig.6 Amplitude-delay response curves of vehicle body

6 數(shù)值模擬

圖7 車體時間歷程響應曲線Fig.7 Time history response curves of vehicle body

從圖7中車體位移的時間歷程響應曲線可以看出，圖7(a)為被動系統(tǒng)，振幅約為0.19 m。圖7(b)為采用時滯反饋控制，且時滯量為零時的情況，可以看出系統(tǒng)的振幅增大了，振幅約為0.24 m，說明采用無時滯的反饋控制系統(tǒng)的振幅反而增大了。圖7(c)為在時滯減振區(qū)間內(nèi)的選擇的時滯量，當時滯量選擇為τ=0.8 s時，振幅減小了，約為0.17 m，說明時滯反饋有抑制系統(tǒng)振幅的作用。圖7(d)為在時滯減振區(qū)間內(nèi)的選擇的一個最佳時滯量，當時滯量選擇為τ=1.35 s時，振幅減小到最小值，約為0.16 m，說明時滯量的合理選擇能夠達到最好的減振狀態(tài)。實際上時滯量的最佳減振點不是唯一的，當選擇為τ=4.16 s也能到達最佳減振效果。

7 結(jié)論

對兩自由度高速列車半主動懸掛系統(tǒng)的垂向振動進行研究，考慮了二系懸掛中的剛度三次非線性。通過利用設模態(tài)解、方程解耦、多尺度等方法對振動方程進行求解，得到了系統(tǒng)的二次近似解析解，分析了系統(tǒng)在主外共振和1∶3內(nèi)共振同時存在時的動力學行為。采用時滯反饋控制系統(tǒng)的振動，分別對線性和非線性時滯減振性能進行了分析，得到的主要結(jié)論如下：

(1)所用到的物理參數(shù)都是有實際量綱的參數(shù)，在此基礎上對懸掛系統(tǒng)進行的分析和計算都是有實際物理意義的，對工程實際有重要參考價值。

(2)對線性被動控制系統(tǒng)，得到了振動系統(tǒng)的幅頻響應曲線，由于二階模態(tài)的振幅遠遠低于一階模態(tài)的振幅，重點研究了當外激勵頻率趨近一階模態(tài)頻率和1∶3內(nèi)共振的同時存在時采用時滯反饋控制系統(tǒng)的振動。

(3)對線性時滯反饋控制系統(tǒng)，得到了車體振幅相對反饋增益系數(shù)和時滯變化的圖形，找到了最佳的反饋增益系數(shù)。針對所有的時滯，當反饋增益系數(shù)取得該值時車體的振幅最小。

(4)對非線性時滯反饋控制系統(tǒng)，得到了車體振幅隨著時滯量變化的響應曲線，得到了時滯的減振區(qū)間，在該區(qū)間內(nèi)選擇時滯量能夠達到抑制車體振幅的目的。并且存在一些時滯的最佳值，當時滯選擇該數(shù)值時車體的振動能夠抑制到最小。

(5)時滯是可以利用的控制參數(shù)，合理地利用時滯能夠達到抑制系統(tǒng)振動的目的；同時時滯也是導致系統(tǒng)不穩(wěn)定的因素，在某些時滯區(qū)間能夠?qū)е孪到y(tǒng)失去穩(wěn)定導致破壞。

(6)數(shù)值模擬結(jié)果和解析結(jié)果吻合，證明了結(jié)果的正確性和可靠性。