利用logoup 3D繪圖軟件突破簡單多面體外接球問題

林朝冰

【摘要】數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)之一，創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境是素養(yǎng)導(dǎo)向下高考數(shù)學(xué)的重要考查方式，簡單多面體外接球問題是立體幾何中的難點(diǎn)和重要的考點(diǎn)。事實(shí)上，2019年高考數(shù)學(xué)全國卷已經(jīng)充分體現(xiàn)了對核心素養(yǎng)和情境化的考查，2019年高考數(shù)學(xué)全國Ⅲ卷的第16題就設(shè)置了一個(gè)3D打印的情境。logoup 3D繪圖軟件可以簡單形象地畫出球及各種多面體的3D圖形，能生動形象地再現(xiàn)球與簡單多面體的空間位置，并能通過3D打印機(jī)將模型打印出來。利用logoup 3D繪圖軟件繪制簡單多面體及其外接球并通過3D打印機(jī)將繪制的模型打印出來，能達(dá)到三個(gè)目的，一是培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng);二是為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一個(gè)真實(shí)的情境，在情境學(xué)習(xí)過程中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得到了培養(yǎng);三是使簡單多面體外接球問題這個(gè)學(xué)習(xí)難點(diǎn)得以突破。筆者在教學(xué)過程中做了一些嘗試，意在拋磚引玉，供大家參考。

【關(guān)鍵詞】核心素養(yǎng);外接球;logoup 3D繪圖;創(chuàng)設(shè)情境

簡單多面體外接球問題是立體幾何中的難點(diǎn)和重要的考點(diǎn)，此類問題的關(guān)鍵是確定球心的位置進(jìn)而求出球的半徑。這類問題之所以成為學(xué)生的難點(diǎn)，主要是因?yàn)閷W(xué)生在頭腦中沒有形成清晰的空間形象，無法想象出球與簡單多面體的空間位置。logoup 3D繪圖軟件可以簡單形象地畫出球及各種多面體的3D圖形，能生動形象地再現(xiàn)球與簡單多面體的空間位置，并能通過3D打印機(jī)將模型打印出來。

著名的學(xué)習(xí)金字塔告訴我們“做中學(xué)”或“實(shí)際演練”是主動學(xué)習(xí)的一種，學(xué)習(xí)效率可達(dá)到75%，學(xué)生在信息技術(shù)課中已經(jīng)學(xué)習(xí)了logoup 3D繪圖軟件的使用，動手繪出簡單多面體及其外接球，能有效幫助學(xué)生形成清晰的球與簡單多面體的空間位置的空間形象，從而突破本問題的難點(diǎn)。

一、簡單多面體外接球相關(guān)結(jié)論的推導(dǎo)

二、繪制直棱柱及其外接球

1.繪制邊長為100的正方體及其外接球

將學(xué)生分為6個(gè)小組，讓每個(gè)學(xué)生獨(dú)立自主繪制2分鐘，然后小組交流3分鐘。

教師：同學(xué)們在繪制過程中遇到了什么困難？后來又是怎么解決的？

學(xué)生：繪制正方體后，光標(biāo)位于正方體下底面的中心處，繪制球時(shí)，球心位于光標(biāo)處，也就是說球心位于正方體的下底面的中心，所以必須移動光標(biāo)，光標(biāo)的位置和球的半徑是解決本問題的關(guān)鍵。

成果分享：

logouo 3D繪圖代碼：

1 color red

2 cube 100，100，100

3 up 50

4 t=50*sqrt（3）

5 color lime

6 ball t

設(shè)計(jì)意圖：直觀地感受了球心與正方體中心的空間位置，進(jìn)一步鞏固了正方體外接球的半徑與正方體邊長之間的關(guān)系。

2.繪制邊長為100的正方體及其內(nèi)切球

將1.1的問題改為繪制內(nèi)切球，學(xué)生很快得出解決方案，只須將第6行改為ball 50即可，這時(shí)有學(xué)生提出繪制的圖形不像！教師適時(shí)引導(dǎo)哪里不像？如何修改才會更像？經(jīng)過小組討論很快學(xué)生得出修改方案，先繪制球再繪制正方體。

成果分享：

logouo 3D繪圖代碼：

1 color red

2 cube 100，100，100

3 up 50

4 color lime

5 ball 50

設(shè)計(jì)意圖：體會到了用logouo 3D繪圖的次序。

3.繪制長、寬、高分別為100、80、60的長方體及其外接球

要求：小組合作繪圖方案，并分享成果。

教師：繪圖次序是怎樣的？

學(xué)生：先畫長方體，再定球心，后求半徑。

教師：球心位置如何確定？

學(xué)生：將光標(biāo)上移30。

教師：球的半徑怎么求？能用數(shù)學(xué)式子表述出來嗎？

學(xué)生：設(shè)長方體的長、寬、高分別為a、b、c則球的半徑為：

成果分享：

logouo 3D繪圖代碼：

1 COLOR red

2 CUBE 100，80，60

3 up 30

4 COLOR lime

5 t=0.5*sqrt（pow（100，2）+pow（80，2）+pow（60，2））

6 BALL t

設(shè)計(jì)意圖：直觀地感受了球心與長方體中心的空間位置，進(jìn)一步鞏固了長方體外接球的半徑與正方體邊長之間的關(guān)系。

4.繪制底面邊長為30、高為30的正六棱柱及其外接球

要求：小組合作繪圖方案，并分享成果。

教師：請分享繪制過程中遇到的問題及解決方案。

學(xué)生：不能直接插入正六棱柱，只能先畫好正六邊形再拉伸，而且畫正六邊形時(shí)，軟件設(shè)定的變量是邊數(shù)和外接圓半徑，需要將邊長換算成半徑。

教師：如何換算？

學(xué)生：正六邊形的邊長等于外接圓的半徑。

教師：球心位置如何確定？

學(xué)生：將光標(biāo)下移15。

教師：前面的例子都是光標(biāo)上移，為什么這個(gè)例了是下稱？

學(xué)生：畫好正六棱柱后光標(biāo)位于上底面中心。

教師：球的半徑怎么求？能用數(shù)學(xué)式子表述出來嗎？

學(xué)生：設(shè)正六棱柱的底面邊長為a，高為h，則正六棱柱的底面外接圓半徑r=a，所以球的半徑為：R。

成果分享：

logouo 3D繪圖代碼：

教師：球心位置如何確定？

學(xué)生：底面中心向上拉伸到33處。

成果分享：

1 NGON 4，56.5685425

2 COLORRGB（255，0，0）

3 FILL

4 BODY

5 SCALE 0

6 UP 100

7 DONE

8 UP-66

9 COLOR gray

10 BALL 66

設(shè)計(jì)意圖：體會如何確定正棱錐外接球心的位置及求外接球半徑的方法。

四、拓展：繪制圓錐及其內(nèi)切球

1.相關(guān)結(jié)論的推導(dǎo)

定理2 已知球O是底面半徑為r，高為h的圓錐的內(nèi)切球，則球O的半徑為

2.繪制底面半徑為30，高為40的圓錐及其內(nèi)切球

教師：內(nèi)切球的半徑怎么求？

教師：球心位置如何確定？

學(xué)生：底面中心向上拉伸到15處。

成果分享：

1 COLOR red

2 CONE 30，40

3 UP 15

4 COLOR blue

5 BALL 15

設(shè)計(jì)意圖：體會如何確定圓錐外接球心的位置及求外接球半徑的方法。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017年版）明確指出：“學(xué)科核心素養(yǎng)是育人價(jià)值的集中體現(xiàn).是學(xué)生通過學(xué)科學(xué)習(xí)而逐步形成的正確價(jià)值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力。數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中休現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的。數(shù)學(xué)學(xué)科核心養(yǎng)素包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析?！?/p>

教育部考試中心任子朝先生在《從能力立意到素養(yǎng)導(dǎo)向》一文中指出：“素養(yǎng)導(dǎo)向的高考命題注重情境化試題的考查。情境活動指能夠表現(xiàn)出學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的情境活動，是學(xué)科素養(yǎng)的載體，情境包指現(xiàn)實(shí)的生活實(shí)踐情境活動與學(xué)術(shù)探究情境活動。在考查過程要理論結(jié)合實(shí)踐，特別是結(jié)合生產(chǎn)、生活實(shí)際設(shè)計(jì)試題，采用源于社會、源于生活的真實(shí)的情境，考查學(xué)生分析和解決具有實(shí)際意義的問題的能力?！?/p>

事實(shí)上，2019年高考數(shù)學(xué)全國卷已經(jīng)充分體現(xiàn)了對核心素養(yǎng)和情境化的考查，2019年高考數(shù)學(xué)全國Ⅲ卷的第16題就設(shè)置了一個(gè)3D打印的情境。

利用logoup 3D繪圖軟件繪制簡單多面體及其外接球并通過3D打印機(jī)將繪制的模型打印出來，能達(dá)到三個(gè)目的，一是培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng);二是為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一個(gè)真實(shí)的情境，在情境學(xué)習(xí)過程中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得到了培養(yǎng);三是使簡單多面體外接球問題這個(gè)學(xué)習(xí)難點(diǎn)得以突破。

當(dāng)前，信息技術(shù)飛速發(fā)展，利用3D打印等先進(jìn)的信息技術(shù)輔助數(shù)學(xué)教學(xué)，是數(shù)學(xué)教學(xué)改革的發(fā)展方向。

參考文獻(xiàn)：

[1]教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）.

[2]任子朝.從能力立意到素養(yǎng)導(dǎo)向[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2018，13.