分期付款模型及其應用舉例

申鄭

摘要：分期付款是生活中常見的消費方式，通過分析建立分期付款的數(shù)學模型，然后使用matlab計算分期付款的月利率。本文給出了分期付款模型在生活情景中的應用，探討了分期付款的提前還款公式，最后給出了在利率一定情形下的“個性化”分期付款還款方案。

關鍵詞：分期付款;利率;提前還款;“個性化”還款方案

中圖分類號：F830.5;O122? ?文獻標識碼：A

分期付款是一種常見的消費方式，大到買房、買車，小到購買手機、筆記本電腦，都可以進行分期付款。使用分期付款是要付出“代價”的，這個“代價”就是使用分期付款所要支付的利息，而利息的大小又是相對的（依賴于分期付款的本金），所以我們通常使用利率來衡量一筆分期付款“代價”的大小。

分期付款能減少了一次性付款的壓力，再加上“互聯(lián)網(wǎng)+金融”的迅猛發(fā)展，各種分期消費的APP層出不窮，分期付款消費市場發(fā)展速度很快，但魚龍混雜，良莠不齊。消費者對于各類分期付款的套路諸如“無息貸款”、“零首付”、“月費率”等名詞的概念混淆不清，導致消費者辦完分期付款之后依然不清楚這筆分期付款的利率是多少，所以我們建立分期付款的數(shù)學模型，再利用matlab等數(shù)學軟件求解分期付款的利率。

1、分期付款背景

利率分單利和復利。假設你有1萬元長期不用，到銀行存5年定期，年利率為4.75%，到期后得到的本金加利息為元，這樣計算的利息稱為單利。如果想靈活一點取用，存1年定期，年利率為3%，并申報若到期不取則自動轉存，那么一年后的本息和為元，扔按年利率3%再存一年，若如此共存5年，得到的本息和為元，這樣計算的利息稱為復利，俗稱“利滾利”。上述按照復利算出的結果比單利還少，是因為年利率不同造成的。如果用同一利率計算，存期為，那么單位本金按照單利計算的本息是，而按照復利計算的本息是，顯然后者大于前者。目前銀行的“零存整取”業(yè)務是按單利計算的，而各類商業(yè)貸款如房貸、車貸、裝修貸等通常按照復利計算，所以下文中涉及到的利率都按復利計算。

利率根據(jù)計量的期限標準不同，有年利率、月利率、日利率之分。一般來說，它們的換算關系如下：

年利率=月利率*12=日利率*365.

在日常生活中，顧客與商家進行分期付款時會達成一份協(xié)議，這個協(xié)議通常會約定顧客還款的時間和金額。設是顧客達成分期付款協(xié)議的日期也是借款日期，是約定的還款期數(shù)，是約定的還款日期，由于分期付款往往是每月定期還款一次，所以距離借款日期的時間為個月，是還款日時的還款金額（單位：元）。還款日期向量和還款金額向量在分期付款協(xié)議好之后就確定下來了。

生活中的分期付款多數(shù)都是定額定期分期付款，即相鄰兩個還款日和之間相差一個月、任意兩個還款日的還款金額相等，也有一部分是不定額分期付款。

2、建立分期付款模型

首先考慮最簡單的分期付款模型，即還款期數(shù).假設月利率為，借款一個月之后一次性把貸款結清，若還款金額為元錢，則借款本金是多少？答案是元。若是借款三個月之后一次性把貸款結清且還款金額為元錢，則借款本金元。一般地，在月利率為的情況下，借款個月之后一次性把貸款結清，若還款金額為元錢，則有借款本金.

其次考慮還款期數(shù)的分期付款。假設月利率為，借款一個月和三個月時需要分別還款元錢，則借款本金是多少。這種情況可以看做是兩個還款期數(shù)的分期付款之和，于是有：

3、分期付款情景應用

案例一：某汽車4S店為顧客提供“無息貸款”以幫助客戶購車。具體操作如下：客戶在支付車款首付之后剩余6萬元分期付款，期限為36個月，每月還款金額為60000元÷36=1666.67元，但辦理此項分期付款需要事先支付“金融服務費”11000元，則該“無息貸款”的年利率是多少？

案例二：某銀行為客戶裝修房子提供“裝修貸”。具體操作如下：假設貸款10萬元，貸款期限為36個月，每月基本還款額為10萬元÷36=2777.78元，又該分期付款的“月費率”為0.31%，即每月還需要支付10萬元×0.31%=310元，所以每月還款金額為3087.78元，則該“裝修貸”的年利率是多少。

在案例二中，貸款本金元，，元，根據(jù)模型使用matlab的fsolve函數(shù)計算得出該分期付款的月利率約為0.58%，相應的年利率為6.96%，

案例三：某金融機構提供貸款服務，某客戶貸款23萬元，分36期每月定期償還，“先息后本”還款：前35期每月還款3720元，第36期償還本金23萬元，請問這筆分期付款的年利率是多少。這是一個不定額定期分期付款的案例，月利率應該滿足如下方程：

利用matlab中的fsolve函數(shù)求解得出月利率為0.0158，相應的年利率為18.96%。

4、提前還款問題

分期付款公式的一個重要應用就是“提前還款”。例如消費者提出在第期提前還款（），是原定的還款期數(shù)。這意味著第1期到第期都是正常履約的，設在第期提前還款需要支付的金額為元。雖然消費者選擇了提前還款，但是分期付款的月利率不能因提前還款而改變，所以根據(jù)分期付款公式，有

在現(xiàn)實生活中當消費者提出要“提前還款”時，商家一般會要求消費者按之前的約定一次性支付剩余的款項，即在第期提前還款（）共需要支付元，消費者往往會認為這樣的計算方式“沒什么問題”，實際上并非如此。

上述不等式的成立意味著消費者多支付了錢，這部分錢自然是被商家賺走了。

5、分期付款的“個性化”還款方案

分期付款模型的另一個重要應用是商家可以在相同的借款總額、相同的還款期數(shù)和相同利率的情況下向顧客提供分期付款的“個性化”還款方案?？蛻艨梢栽诳傔€款期數(shù)為的分期付款方案中，任意選擇期，這期的還款金額可以由顧客“個性化”的決定還多少，剩下的一期由商家來決定。那么在相同的借款總額、相同的還款期數(shù)和相同利率的情況下，商家可以根據(jù)分期付款公式來計算剩下的一期客戶應該還款的金額。這樣得到的“個性化”分期付款方案可以保證客戶在“利率尺度”上是公平的。即使“利率尺度”一樣，不同的分期付款方案的利息一般而言是不一樣的。

方案一是我們生活中的“等額本息”還款方式，方案二是我們生活中的“等額本金”還款方式，方案三是我們生活中的“先息后本”還款方式，方案四是一個“個性化”的分期付款還款方案。以上四種還款方案在“利率尺度”下是無差別的，因為它們的具有相同的月利率，但是它們的還款總額并不相同。

6、結語

我們生活中遇到的分期付款大多數(shù)都是定額定期分期付款，結合分期付款公式，利用數(shù)學軟件解方程可以很快得出分期付款的利率。本文給出了分期付款模型在實際生活中應用的案例，并進一步探討了分期付款中“提前還款”的情形，給出了提前還款的計算公式。最后討論了在利率一定情形下的“個性化”分期付款還款方案。