應(yīng)用型人才培養(yǎng)模式下數(shù)學(xué)分析教學(xué)的探索與實踐

尚旭東 夏慧明

摘 要 本文在加強高等教育應(yīng)用型人才培養(yǎng)模式的背景下，著重介紹了“數(shù)學(xué)分析”教學(xué)模式改革中的一些具體實踐：（1）重視教學(xué)手段的運用，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣;（2）重視逆向思維模式的運用，提高學(xué)生邏輯思維的靈活性;（3）融入數(shù)學(xué)建模的思想，增強學(xué)生解決生活實際問題的能力;（4）加強線上線下教學(xué)的融合，提高教學(xué)質(zhì)量。

關(guān)鍵詞 應(yīng)用型人才 數(shù)學(xué)分析教學(xué) 人才培養(yǎng)

中圖分類號：G424 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A ? ?DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2020.09.043

Abstract Under the background of strengthening the training mode of applied talents in higher education， this paper mainly introduces some specific practices in the teaching mode reform of mathematical analysis： （1） attaching importance to the application of teaching means to cultivate students' interest in learning; （2） attaching importance to the application of reverse thinking mode to improve the flexibility of students' logical thinking; （3） integrating the idea of mathematical modeling to enhance students' understanding （4） strengthen the integration of online and offline teaching and improve the teaching quality.

Keywords applied talents; mathematical analysis teaching; talent training

隨著我國經(jīng)濟的快速發(fā)展及高等教育自身改革的進一步深入，應(yīng)用型人才的培養(yǎng)及培養(yǎng)質(zhì)量越來越受到國家教育部門的重視?！吨袊逃F(xiàn)代化2035》中明確指出，要加大應(yīng)用型、復(fù)合型、技能型人才培養(yǎng)比重。南京師范大學(xué)泰州學(xué)院作為一所應(yīng)用型本科大學(xué)，已將提升應(yīng)用型人才培養(yǎng)質(zhì)量的措施貫徹到了平時的教學(xué)過程中。數(shù)學(xué)分析是高等院校數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課，是學(xué)生學(xué)習(xí)實變函數(shù)、復(fù)變函數(shù)、概率論等后續(xù)課程的基礎(chǔ)，同時也是學(xué)生今后從事數(shù)學(xué)應(yīng)用和理論研究的理論基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)內(nèi)容多，內(nèi)容涵蓋實數(shù)理論、極限論、一元微積分、多元微積分及級數(shù)理論，學(xué)習(xí)時間跨度長，共三個學(xué)期二百五十六課時。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中普遍反映“難學(xué)”，難以把握數(shù)學(xué)分析的理論和思想方法。

他們覺得課堂上好像聽懂了，但課后作業(yè)不會做。主要有兩方面的原因，一是由于數(shù)學(xué)分析課程內(nèi)容多、難度大，使學(xué)生產(chǎn)生畏難情緒;二是教材上相關(guān)問題的實際應(yīng)用背景的介紹相對較少，會使學(xué)生體會不到所學(xué)數(shù)學(xué)理論的用處，進而影響了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。如何利用有限的學(xué)時，高效合理的開展數(shù)學(xué)分析教學(xué)活動，使得我們的教學(xué)更加符合我校的應(yīng)用型人才的培養(yǎng)目標，這是擺在我們面前的一個重要課題。我們結(jié)合多年的數(shù)學(xué)分析教學(xué)經(jīng)驗和本校學(xué)生的實際情況，在教學(xué)過程中從以下幾個方面進行探索與實踐。

1 注重運用適當?shù)慕虒W(xué)手段，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的興趣

偉大的物理學(xué)家愛因斯坦曾經(jīng)說過：“興趣是最好的老師”。一個人如果對某學(xué)科產(chǎn)生了濃厚的興趣，就會主動地、專心致志地去探究它、鉆研它。學(xué)習(xí)興趣不是天生的，它是在后天的學(xué)習(xí)過程中逐步形成的。教師的教學(xué)活動在培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣方面起著重要的作用。

加強數(shù)學(xué)問題研究背景的介紹，增強知識的趣味性。例如我們在學(xué)習(xí)定積分的定義時，可以給同學(xué)們講解課本上的定義的形成過程。首先柯西給出了關(guān)于定義在區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的定積分。如果函數(shù)在區(qū)間上具有有限個不連續(xù)的點，假設(shè)只有一個不連續(xù)點，柯西將積分定義為

其中假設(shè)所有的極限都存在。若有多個不連續(xù)點，可以類似的定義。然而，若函數(shù)在區(qū)間上具有無限多不連續(xù)點，柯西的積分定義就不再適用了。這時狄雷克雷提出可以用一種新的包容性更強的積分理論來處理，但他卻沒有在這方面提出過解決的思想，他只是給出了一個著名的函數(shù)例子，即我們課本上所說的狄雷克雷函數(shù)。1854年，黎曼在“大學(xué)執(zhí)教資格講演”這篇論文中，提出了如何理解？他假設(shè)函數(shù)在區(qū)間上是有界的，由此給出了我們教材上的定義。接著他還提出并解決了關(guān)鍵的問題：“在什么情況下函數(shù)可積，什么情況下函數(shù)不可積？”通過這一背景故事的介紹，可以拓寬學(xué)生的視野，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

采用合適的教學(xué)方法，促進學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)生提出問題、解決問題，采用靈活多變的教學(xué)方法，為學(xué)生創(chuàng)造思考的空間，擴展學(xué)生的思維，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)熱情。例如，在學(xué)習(xí)函數(shù)圖像的討論時，之前學(xué)生已經(jīng)掌握了函數(shù)的單調(diào)性，凹凸性及求解函數(shù)的極值等知識，教師可以先設(shè)置幾個簡單的函數(shù)，讓學(xué)生自己計算、作圖、觀察，最后總結(jié)出作圖的一般步驟，最后教師進行必要補充和分析需要注意的事項。在講解新知識時，可以運用類比的方法讓學(xué)生聯(lián)系所熟悉的知識，避免教學(xué)的平鋪直敘。例如，我們學(xué)習(xí)極限性質(zhì)時，可以先回憶收斂數(shù)列的性質(zhì)：唯一性、有界性、保號性、保不等式性、迫斂性及四則運算法則，那么函數(shù)極限是否也具有這些性質(zhì)？之間又有什么不同？如何證明？我們可以運用類比的方法，發(fā)現(xiàn)函數(shù)極限具有唯一性、局部有界性、局部保號性、保不等式性、迫斂性等。這樣可以調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，起到事半功倍的效果。

2 注重逆向思維的運用， 提高學(xué)生思維的靈活性

逆向思維是對司空見慣的似乎已成定論的事物或觀點反過來思考的一種思維方式。與常規(guī)思維不同，從問題的相反面深入地進行探索，其結(jié)果常常會令人大吃一驚，得到新的思想，新的認知。 在數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)中的分析法，就是典型的逆向思維。在解決一些數(shù)學(xué)問題時，順推得不到結(jié)果或者說很困難，我們可以考慮逆推，直接計算不好實現(xiàn)，我們可以考慮間接計算。在數(shù)學(xué)分析的課堂教學(xué)實踐中， 加強逆向思維的運用， 可以克服學(xué)生一些僵化的思維模式，促進他們思維的靈活性。

例如，收斂數(shù)列的保不等式性質(zhì)：設(shè)數(shù)列和均為收斂數(shù)列。若存在正數(shù)，使得當時有，則。我們在講完這個性質(zhì)以后，讓學(xué)生思考：若把條件換成嚴格不等式，結(jié)論是否也要跟著換成？讓學(xué)生思考并加以解決，成立要給出證明，不成立要舉出反例。通過學(xué)生們的熱烈討論，舉出了例子否定了此命題。通過該問題的研究討論，可以使學(xué)生精準的理解數(shù)學(xué)概念，更深刻的掌握數(shù)學(xué)中的定理，幫助學(xué)生多層面多角度觀察思考問題，培養(yǎng)其良好的思維品質(zhì)。

例如我們研究：設(shè)函數(shù)在開區(qū)間上連續(xù)，并且中的每一點都是的極值點，證明：函數(shù)在開區(qū)間上是常值函數(shù)。本問題若直接運用相關(guān)的定理或者知識證明，將無從入手，問題無法得到解決。但若采用反證法，間接論證的方法之一，問題將會得到輕松解決。

在平常的上課過程中，對于定理的證明，我們注重分析法的應(yīng)用;在定義概念的教學(xué)中，注意闡述定義的可逆性;加大一題多解的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生多角度全方位的思考問題。

3 注重數(shù)學(xué)建模思想的融入，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力

在解決實際應(yīng)用問題時，先對問題進行觀察、假設(shè)，將其轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學(xué)問題，然后建立數(shù)學(xué)模型，并對模型進行求解，最后根據(jù)結(jié)果去解釋實際問題。在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中，通過數(shù)學(xué)建模思想的融入，可以使學(xué)生的數(shù)學(xué)知識與應(yīng)用能力得到共同提高， 提高學(xué)生的創(chuàng)新能力，這是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用素質(zhì)的一條有效途徑。

數(shù)學(xué)概念中融入數(shù)學(xué)建模思想。在數(shù)學(xué)分析中的概念講授中，若直接將高度抽象的嚴密的數(shù)學(xué)概念用數(shù)學(xué)語言寫出來告訴給學(xué)生，這樣學(xué)生不能理解其意思，只是看到一些數(shù)學(xué)符號，會慢慢的失去對數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)興趣。如果能夠設(shè)置適當?shù)那榫常龑?dǎo)學(xué)生了解模型的構(gòu)建過程，逐步獲得對基本概念的直觀認識，進一步得到嚴格的數(shù)學(xué)概念，這樣效果更加顯著。例如，在講解定積分的定義時，我們可以討論變速直線運動的路程問題：設(shè)一物體沿著直線運動，其運動速度是時間的連續(xù)函數(shù)，求在一段時間內(nèi)該物體所走過的路程？我們知道，在勻速直線運動中，走過的路程等于速度與時間的乘積。但對于變速問題，我們以前所學(xué)知識已經(jīng)無法解決該問題。我們知道，速度是時間的連續(xù)函數(shù)，在很短的時間內(nèi)它的變化很小，時間間隔越小，速度的變化量就越小。因此我們可以將很短的時間間隔內(nèi)的變速直線運動近似看成勻速直線運動，來求路程的近似值，最后再取極限。這時，我們可以建立模型，引導(dǎo)學(xué)生分析解決，最后總結(jié)出定積分的定義。

課后作業(yè)中融入數(shù)學(xué)建模思想。以往我們的課后作業(yè)就是對定義、定理的直接應(yīng)用，主要是為了加強學(xué)生對于基本概念和理論的理解，但是缺少對于解決實際應(yīng)用問題的題目，這樣往往會讓學(xué)生感覺不到數(shù)學(xué)的用處，覺得數(shù)學(xué)無用。因此，我們注重在平時的課后作業(yè)中補充一些實際問題，引導(dǎo)學(xué)生進行分析，假設(shè)、建立數(shù)學(xué)模型，這樣不僅可以使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)建模的方法，又可以使學(xué)生深刻體會到數(shù)學(xué)在解決實際問題的重要作用，這為把我校的學(xué)生培養(yǎng)成為應(yīng)用型的人才提供了強有力的保證。例如在學(xué)完導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以后，我們補充布置一些邊際收益，最優(yōu)價格等相關(guān)模型應(yīng)用問題。讓學(xué)生通過訓(xùn)練發(fā)現(xiàn)自己對相關(guān)知識的掌握不足，進而激發(fā)他們的求知欲。

經(jīng)過幾年的教學(xué)實踐，我們在數(shù)學(xué)分析教學(xué)過程中不斷融合數(shù)學(xué)建模思想的方法收到了良好的效果。

4 注重線上線下教學(xué)融合，提升課堂教學(xué)質(zhì)量

“互聯(lián)網(wǎng)+”時代對全球的教育行業(yè)產(chǎn)生了深遠的影響，對我國的教育改革起到了推動作用。2018年6月，教育部在四川大學(xué)召開的新時代全國高等學(xué)校本科教育工作會議上，再次強調(diào)了持續(xù)推進現(xiàn)代信息技術(shù)與教育教學(xué)深度融合。這就要求我們廣大教師必須具有強烈的信息技術(shù)與課堂教學(xué)融合的意識。在這一背景下，我校的數(shù)學(xué)分析課程利用藍墨云班課進行線上線下混合式教學(xué)，將教學(xué)實踐分為課前學(xué)生自主學(xué)習(xí)、課堂老師集中講授、課后學(xué)生拓展學(xué)習(xí)三個階段，實現(xiàn)了從以“教”為中心向以“學(xué)”為中心的轉(zhuǎn)變，從對學(xué)生“知識傳授”為主向“能力培養(yǎng)”為主的轉(zhuǎn)變。通過幾年的實踐，取得了良好的教學(xué)效果。

課前自主學(xué)習(xí)，主要是教師提前備好教學(xué)資源，備好教學(xué)的重難點，提前設(shè)計好哪一部分內(nèi)容講解為主，哪一部分內(nèi)容討論為主。結(jié)合學(xué)生的知識水平和將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，安排好學(xué)生的自主學(xué)習(xí)任務(wù)，任務(wù)的布置上對不同層次的學(xué)生要有彈性要求，這樣既照顧到不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)。接下來通過藍墨云班推送給學(xué)生，給定充足的學(xué)習(xí)時間，同時創(chuàng)建測試和討論活動。教師通過云班課對學(xué)生的學(xué)習(xí)情況做到及時了解，及時掌握學(xué)生自主學(xué)習(xí)的實施情況，確定固定時間為學(xué)生答疑解惑。依據(jù)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的結(jié)果，及時改變、優(yōu)化課堂的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法。

課堂集中講授，主要是根據(jù)自主學(xué)習(xí)的開展情況，確定線下課堂授課內(nèi)容，給予針對性的講解。首先，對自主學(xué)習(xí)內(nèi)容進行總結(jié)，了解他們對知識的掌握是“真知”還是“假知”;接下來運用合適的教學(xué)手段，引領(lǐng)學(xué)生掌握理解知識難點，講解一定的例題，注意方法的多樣化;最后，選取一些經(jīng)典的題目讓學(xué)生在黑板上做，并進行適時分析和評論，提高學(xué)生的口語表達能力。

課后拓展學(xué)習(xí)，補充適量的課后作業(yè)，注重作業(yè)的多元化，既要有能鞏固和熟練基本概念和定理的作業(yè)題目，也要有可探索的題目，對于作業(yè)可以在云班里面讓大家互評，提高學(xué)生的參與度;發(fā)布一些與所學(xué)知識相關(guān)的解決應(yīng)用問題的視頻資料，開闊學(xué)生的視野，提高學(xué)生的應(yīng)用意識，鼓勵學(xué)生參加各類競賽及項目，例如：大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽、挑戰(zhàn)杯、大學(xué)生創(chuàng)新訓(xùn)練計劃等，提高學(xué)生運用所學(xué)知識解決問題的能力。

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