例談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)

陳偉華

摘 要：數(shù)感是一種主動(dòng)地、自覺地理解數(shù)和運(yùn)用數(shù)的態(tài)度和意識(shí)，數(shù)感是人的一種基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。結(jié)合多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感做幾點(diǎn)淺析。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；數(shù)感培養(yǎng)；數(shù)學(xué)素養(yǎng)；數(shù)形結(jié)合

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在總體目標(biāo)中提出了要使學(xué)生“經(jīng)歷運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)和圖形描述現(xiàn)實(shí)世界的過程，建立數(shù)感和符號(hào)感，發(fā)展抽象思維”。標(biāo)準(zhǔn)明確地把數(shù)感作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容提出來，可見，理解數(shù)感、讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中建立數(shù)感是十分重要的。

數(shù)感是人對(duì)數(shù)與運(yùn)算的一般理解，這種理解可以幫助我們用靈活的方法做出數(shù)學(xué)判斷和為解決復(fù)雜的問題提出有用的策略。使學(xué)生具有應(yīng)有數(shù)字表示具體的數(shù)據(jù)和數(shù)量關(guān)系的能力；能夠判定不同的算術(shù)運(yùn)算，有能力進(jìn)行計(jì)算，并具有選擇適當(dāng)方法實(shí)施計(jì)算的經(jīng)驗(yàn)；能依據(jù)數(shù)據(jù)進(jìn)行推論，并對(duì)數(shù)據(jù)和推論的精確性進(jìn)行檢驗(yàn)?？梢?，數(shù)感是一種主動(dòng)地、自覺地理解數(shù)和運(yùn)用數(shù)的態(tài)度和能力，數(shù)感的培養(yǎng)有助于學(xué)生數(shù)學(xué)地理解和解釋現(xiàn)實(shí)問題；有利于學(xué)生提出問題和解決問題能力的提高；數(shù)感的建立是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志。

下面結(jié)合本人的教學(xué)實(shí)例，談?wù)勗诔踔袛?shù)學(xué)教學(xué)中如何加強(qiáng)學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)。

一、在數(shù)的概念教學(xué)中重視數(shù)感的培養(yǎng)

數(shù)的概念教學(xué)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，它與數(shù)感的建立密切相關(guān)。數(shù)概念本身是抽象的，只有讓學(xué)生在認(rèn)識(shí)數(shù)的過程中，更多地創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學(xué)生在現(xiàn)實(shí)背景下親身經(jīng)歷探索、猜想、發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證的過程，體驗(yàn)數(shù)系的擴(kuò)充過程，才能讓學(xué)生更具體、更深刻地理解數(shù)的概念，發(fā)展數(shù)感。

如：無理數(shù)■的教學(xué)是一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，大部分學(xué)生對(duì)這一抽象的數(shù)比較茫然。這節(jié)課的教學(xué)安排如果能夠充分地讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)系的擴(kuò)從、感受數(shù)學(xué)的逼近、引導(dǎo)學(xué)生嘗試描述和刻畫“■是怎樣的數(shù)？■有多大？”，就能很好地發(fā)展學(xué)生的數(shù)感。

在具體教學(xué)中，首先創(chuàng)設(shè)情境，可引導(dǎo)學(xué)生嘗試用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，從不同的角度描述■，比如：■是邊長為1的正方形的對(duì)角線長（如圖）；用刻度尺量，■大約等于1.4；在直角三角形中，斜邊大于直角邊，所以■大于1；三角形中兩邊之和大于第三邊，所以■小于2。通過以上情境的創(chuàng)設(shè)，學(xué)生對(duì)■這個(gè)新數(shù)有了初步的認(rèn)識(shí)。

其次探索■是有理數(shù)嗎？學(xué)生很容易認(rèn)識(shí)到■不是整數(shù)，因?yàn)?＜■＜2，而在1和2之間沒有整數(shù)。接下來■是1和2之間的一個(gè)分?jǐn)?shù)嗎？學(xué)生可能的思路是：先取1和2的中點(diǎn)數(shù)■，再取1和■的中點(diǎn)數(shù)■…將1和2之間的分?jǐn)?shù)按分母從

小到大排列，即■，■，■，■，■，■，■…根據(jù)這些分?jǐn)?shù)的規(guī)律，結(jié)果找不到一個(gè)分?jǐn)?shù)的平方等于2，從而認(rèn)同■不是分?jǐn)?shù)的結(jié)論。同時(shí)可引導(dǎo)學(xué)生閱讀書上編排的關(guān)于■不是分?jǐn)?shù)的論證的閱讀材料。通過以上引導(dǎo)學(xué)生思考、交流、指導(dǎo)，學(xué)生感知了■不是整數(shù)和分?jǐn)?shù)，即■不是有理數(shù)，是一個(gè)新數(shù)，學(xué)生經(jīng)歷了有理數(shù)到實(shí)數(shù)的又一次數(shù)的擴(kuò)從，在定性的基礎(chǔ)上，再定量研究，在原有基礎(chǔ)上學(xué)生對(duì)■有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，■＜■＜■，即1.4＜■＜1.5，同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生在此基礎(chǔ)上再精確地描述■，在充分的探索中感受逼近思想，發(fā)展數(shù)感。

二、在數(shù)的運(yùn)算中加強(qiáng)數(shù)感的培養(yǎng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出：“使學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際問題中建立數(shù)學(xué)模型、估計(jì)、求解、驗(yàn)證解的正確性與合理性的過程?！睂?duì)運(yùn)算方法的判斷、運(yùn)算結(jié)果的估計(jì)，都與學(xué)生的數(shù)感有密切的聯(lián)系。學(xué)生運(yùn)算是為了解決問題，而不是單純?yōu)榱擞?jì)算，一個(gè)問題可以通過不同的方法找到答案，一個(gè)算式也可以用不同的方式確定結(jié)果。用什么方式更合適，得到的結(jié)果是否合理，這與問題的實(shí)際背景有直接的關(guān)系。因此，在教學(xué)中結(jié)合具體問題選擇恰當(dāng)?shù)乃惴ǎ瑫?huì)增強(qiáng)對(duì)運(yùn)算實(shí)際意義的理解，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。

如：在教學(xué)“學(xué)校舉行環(huán)保知識(shí)競賽，規(guī)則如下：答對(duì)1題得4分，答錯(cuò)1題扣1分。小明在這次競賽中回答了10個(gè)問題，共得25分，小明答對(duì)了幾題？答錯(cuò)了幾題？”這是學(xué)生感興趣的實(shí)際問題，能激發(fā)學(xué)生的探索熱情，讓學(xué)生經(jīng)歷嘗試、猜想、驗(yàn)證的過程。學(xué)生解決這個(gè)問題的方法可能有：簡單的計(jì)算、枚舉、利用一元一次方程求解、用兩個(gè)未知量表達(dá)題意，用二元一次方程組求解等。

通過以上計(jì)算都可以解決這個(gè)問題，但找到答案的過程并非只有一種，而且這些方法之間有內(nèi)在的聯(lián)系。方程是解決實(shí)際問題的有效的數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生充分展開對(duì)一元一次方程、二元一次方程組的相關(guān)內(nèi)容的對(duì)比，從“一元”到“二元”，我們建立了新的數(shù)學(xué)模型；從“二元”到“一元”我們用轉(zhuǎn)化思想解決問題，從這些對(duì)比中進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)學(xué)習(xí)二元一次方程組的必要性和優(yōu)越性，領(lǐng)會(huì)不同知識(shí)和方法的特點(diǎn)和本質(zhì)。讓學(xué)生體會(huì)根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程并求解，并檢驗(yàn)所得結(jié)果是否符合實(shí)際意義，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。在枚舉法和方程的對(duì)比中，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)枚舉時(shí)可以根據(jù)共10個(gè)問題，共得25分，根據(jù)數(shù)感，舉例答對(duì)了7題，答錯(cuò)了3題，即二元一次方程x+y=10的非負(fù)整數(shù)解，同時(shí)檢驗(yàn)這組非負(fù)整數(shù)解是不是另一個(gè)方程4x-y=25的解，枚舉的過程實(shí)際上是根據(jù)問題中的等量關(guān)系，列舉出特殊解，如果學(xué)生有很好的數(shù)感，列舉的過程會(huì)更準(zhǔn)確和高效。學(xué)生在一題多解的過程中，在不同解法的對(duì)比中，會(huì)切實(shí)了解計(jì)算的意義和理解不同算法的內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)，

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。

三、數(shù)形結(jié)合培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法，數(shù)形結(jié)合思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動(dòng)化，變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感。

在有理數(shù)加法法則的教學(xué)活動(dòng)中，對(duì)等式（-5）+3=-2，學(xué)生的理解比較抽象，可以用“數(shù)形結(jié)合”探索有理數(shù)加法的幾何解釋（如圖）。由表示兩次連續(xù)運(yùn)動(dòng)（先向左移動(dòng)5個(gè)單位長度，再向右移動(dòng)3個(gè)單位長度）結(jié)果的點(diǎn)與原點(diǎn)的位置關(guān)系，確定兩數(shù)和的符號(hào)（為負(fù)）；由表示兩次連續(xù)運(yùn)動(dòng)結(jié)果的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，確定兩數(shù)和的絕對(duì)值（為2），得到（-5）+3=-2。

■

通過以上教學(xué)安排，目的是引導(dǎo)學(xué)生從“形”的角度探索兩個(gè)有理數(shù)相加的結(jié)果。學(xué)生通過用筆尖在數(shù)軸上兩次移動(dòng)，直觀地感受兩次連續(xù)運(yùn)動(dòng)中，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向與移動(dòng)距離對(duì)實(shí)際移動(dòng)結(jié)果產(chǎn)生的影響。同時(shí)，學(xué)生的思維主動(dòng)地實(shí)現(xiàn)了由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)換，有利于學(xué)生感受有理數(shù)加法法則的合理性，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。同樣，在教學(xué)有理數(shù)大小的比較、相反數(shù)、不等式組的解集、函數(shù)等問題時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生探索數(shù)、形及實(shí)際問題中蘊(yùn)含的關(guān)系和規(guī)律，掌握一些有效表示、處理和交流數(shù)量關(guān)系以及變化規(guī)律的工具，

在很好解決問題的同時(shí)，進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)感。

四、與符號(hào)、數(shù)學(xué)模型的建立結(jié)合起來，進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生的

數(shù)感

代數(shù)中用字母表示數(shù)，把人們關(guān)于數(shù)的知識(shí)上升到更一般化的水平，使得算術(shù)中關(guān)于數(shù)的理論有了一般化、普遍化的意義，是從算術(shù)的實(shí)質(zhì)向代數(shù)的抽象的一個(gè)飛躍。用符號(hào)表示數(shù)以及數(shù)學(xué)模型的建立，有利于學(xué)生更深入地理解數(shù)及數(shù)量關(guān)系，進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)感。

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感是初中數(shù)學(xué)教育的重要目標(biāo)之一，在實(shí)際教學(xué)中需要結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容有意識(shí)地設(shè)計(jì)安排教學(xué)過程，提供有助于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的情境、有利于發(fā)展學(xué)生數(shù)感的評(píng)價(jià)方式，以促進(jìn)學(xué)生數(shù)感的建立和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高。

（作者單位 江蘇省蘇州學(xué)府中學(xué)）

編輯 楊兆東