在變與不變中探求數(shù)學(xué)的本質(zhì)

楊珍珍

【摘要】通過分析和探究2020年高考數(shù)學(xué)預(yù)測(cè)卷中第21題及其變式以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)方法探索、發(fā)現(xiàn)并嘗試解決新的問題;啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考，數(shù)學(xué)壓軸題的變式過程可以讓學(xué)生打破固有的思維，學(xué)會(huì)舉一反三，有利于培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立探索和自主創(chuàng)新的意識(shí)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合 ? 舉一反三 ? 創(chuàng)新意識(shí) ? 核心素養(yǎng)

【中圖分類號(hào)】G633.6【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A【文章編號(hào)】1992-7711（2020）28-133-01

下面筆者將以一道函數(shù)題為例，對(duì)其解法及變式進(jìn)行探究，希望對(duì)高三學(xué)子有所裨益。

1.試題浮現(xiàn)

1.1 ?題目

已知函數(shù)f（x）=m+x2ex-a.

（1）當(dāng)m=0時(shí)，求f（x）的極值;

（2）若對(duì)?m∈[0，1]，總存在唯一實(shí)數(shù)x∈[-1，1]使得m+x2ex-a=0成立，求a的取值范圍.

1.2 ?問題分析

本文采用了一題多變的研究方法，旨在培養(yǎng)學(xué)生多思多問的習(xí)慣，以增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的探究和感悟能力，讓學(xué)生在枯燥的數(shù)學(xué)的解題過程中體驗(yàn)其中“變與不變”的美，進(jìn)一步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

1.3 ?解法研究

數(shù)學(xué)的思想和方法是數(shù)學(xué)的靈魂，大部分復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題都可以轉(zhuǎn)化成幾個(gè)基礎(chǔ)性的問題.本題屬于高考函數(shù)壓軸題的常規(guī)題型，考法穩(wěn)中有變，第一問考查函數(shù)單調(diào)性的求法，考法常規(guī)，思路清晰，方法固定，可以通過求導(dǎo)討論函數(shù)的單調(diào)性及利用函數(shù)極值的定義進(jìn)行求解; 其中第二問是常規(guī)的考查參數(shù)范圍的問題，不過該題目跟往常的考法略有不同，它由通?？挤ㄖ械膯我磺笕我庑曰蛘叽嬖谛詥栴}升級(jí)成同時(shí)求存在性和任意性的問題。

（1）解：當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=x2ex-a，則f'（x）=x2ex+2xex=x（x+2）ex故f（x）在（-2，0）上單調(diào)遞減，在（-∞，-2），（0，+∞）上單調(diào)遞增。f（x）極大值=f（-2）=m+4e-2-a;f（x）極小值=f（0）=m-a .

第（1）問屬于函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題的常規(guī)題型，不過在計(jì)算過程中發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生混淆了極值和極值點(diǎn)的概念，錯(cuò)把求極值寫成求極值點(diǎn)，于是本題把求極值改成求極值點(diǎn)就可以成為一道變式題，同學(xué)們下去完成。

（2）對(duì)?m∈[0，1]，有f（x）=x2ex-a與g（x）=-m在x∈[-1，1]上有唯一的交點(diǎn)，f（x）在[-1，0）上單調(diào)遞減，在（0，1]上單調(diào)遞增。

又f（-1）=e-1-a; f（1）=e-a; 且g（x）=-m∈[-1，0].

故 ? ?f（-1）<-1 即 ? e-1-a<-1 ， 因此a∈（e-1+1，e]

f（1）≥0 ? ? ? ? ?e-a≥0

1.3.1 變式一

若對(duì)?m∈[0，1]總存在x∈[-1，1]使得m+x2ex-a=0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解： 令f（x）=x2ex-a，g（x）=-m

對(duì)?m∈[0，1]有f（x）=x2ex-a在x∈[-1，1]上的值域包含g（x）=-m的值域。

故 ? f（x）min≤-1即 ? -a≤-1， 因此a∈[1，e]

f（x）max≥0 ? ? ? ? ?e-a≥0

把條件中的存在唯一性改編成存在性就成為變式一了，我們可以把方程轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)存在交點(diǎn)的問題，然后仿照例題，可利用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行求解.在做題的過程中讓學(xué)生體會(huì)其中的差異，并鼓勵(lì)學(xué)生做大膽的嘗試，看可不可以對(duì)該例題題目再次進(jìn)行改編呢？在老師的鼓勵(lì)和引導(dǎo)下，同學(xué)給出了如下的變式。

1.3.2 變式二

若對(duì)?m∈[0，1]與?x∈[-1，1]都有m+x2ex-a=0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解： ?令f（x）=x2ex-a，g（x）=-m

故 ? f（x）min=-1 ?即 ?-a=-1， 因此a∈?

f（x）max=0 ? ? ? ? ?e-a=0

通過該變式，我們發(fā)現(xiàn)把變式一中的存在性改成任意性，解答就會(huì)發(fā)生一些變化，由值域的包含關(guān)系變成值域相等，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性就可以給出解答，那同學(xué)們我們能不能想想可不可以變換別的條件，使得該題有新的變式，我們可以大膽嘗試，看能不能把相等關(guān)系改編一下使之成為不等式呢？

學(xué)生努力思考，大膽探索，給出如下的變式：

1.3.3變式三

若對(duì)?m∈[0，1]與x∈[-1，1]任意都有f（x）<0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解： 設(shè)h（x）=x2ex-a，g（x）=-m∈[-1，0]

則對(duì)任意x∈[-1，1]都有x2ex-a<-1成立，

故h（x）max=h（1）=e-a即e-a<-1， 因此a∈（e+1，+∞）

在變式三中，我們把條件中的方程改編成了不等式，該題仍是一個(gè)雙變量的恒成立問題，通過轉(zhuǎn)化成最值問題來求解a的范圍，那我們思考一下，能不能再做一些大膽的嘗試，可否把題目中的雙任意變量進(jìn)行一下改編呢？學(xué)生突破思維定勢(shì)，大膽思考，嘗試做出如下的變式：

1.3.4變式四

若?m∈[0，1]對(duì)總存在x∈[-1，1]使得f（x）<0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解： 設(shè)h（x）=x2ex-a，g（x）=-m∈[-1，0]

則存在x∈[-1，1]使得x2ex-a<-1成立，

故h（x）min=h（-1）=e-1-a<-1， 因此a∈（e-1+1，+∞）

大家還可以繼續(xù)變式把f（x）<0改成f（x）>0，這樣就又有兩道新的變式題目，解法與上述變式幾乎一致，大家下去自己整理作答。

2.題目拓展及變式

2.1 題目（選自2020屆高考質(zhì)量預(yù)測(cè)卷）

已知函數(shù)f（x）=ln（x2+1），g（x）=（ ? ?）x-m，若對(duì)任意x1∈[0，3]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

2.2 解答略。

2.2.1變式一

若對(duì)任意x1∈[0，3]及x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

2.2.2變式二

若存在x1∈[0，3]，對(duì)任意x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

2.2.3變式三

若存在x1∈[0，3]與x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

2.2.4變式四

若對(duì)任意x1∈[0，3]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≤g（x2），求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

以上四種變式表面看各有不同，但究其本質(zhì)都是一樣的，都是把任意存在型問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值再進(jìn)行解的，都是利用了導(dǎo)數(shù)的工具。

3. 教學(xué)思考

本文我們用探索的眼光、發(fā)散的思維多方面地對(duì)高考中常見的函數(shù)壓軸題型及其變式進(jìn)行挖掘和研究，有助于提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生透過數(shù)學(xué)的表面看其本質(zhì)的能力，引領(lǐng)學(xué)生突破定勢(shì)思維，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)壓軸題中“變與不變”的美，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]高和平.中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)[J].教學(xué)與管理，2004（3）：67.