例談高考數(shù)學(xué)中的三類“陷阱”

康宗仁

[摘? 要] 縱觀歷年高考數(shù)學(xué)試題，不難發(fā)現(xiàn)一些看似簡(jiǎn)單的試題背后，都存在著一些不易察覺(jué)的“陷阱”，倘若學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)掌握得不夠牢固，或是審題不嚴(yán)謹(jǐn)，又或是思維定式，就會(huì)落入命題者的“陷阱”之中，造成或多或少的失分. 文章筆者主要對(duì)高考中經(jīng)常出現(xiàn)的“陷阱”加以分類和剖析，以期幫助學(xué)生繞過(guò)“陷阱”順利解題.

[關(guān)鍵詞] 試題;命題者;陷阱;剖析

一些學(xué)生在一些大型考試中常常有這樣的體驗(yàn)：考試時(shí)感覺(jué)試卷難度不大，沾沾自喜，但一旦分?jǐn)?shù)出來(lái)卻是大跌眼鏡. 什么原因造成了這樣的局面呢？事實(shí)上，隨著新課程改革的不斷深入，高考試題中出現(xiàn)了不少“陷阱題”，它們既展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，又考查了學(xué)生的審題能力和思維能力，學(xué)生稍有不慎就會(huì)落入命題者的“陷阱”中，造成失分的局面. 盡管試題中的“陷阱”在具體考試中的表現(xiàn)形式“千姿百態(tài)”，但若認(rèn)真分析則會(huì)發(fā)現(xiàn)其不外乎以下幾種形式. 下面筆者將通過(guò)典型例題對(duì)高考中常出現(xiàn)的“陷阱”加以分類和剖析，以期幫助學(xué)生繞過(guò)“陷阱”順利解題.

知識(shí)類“陷阱”

從認(rèn)知角度著手，知識(shí)類“陷阱”不容忽視，命題者設(shè)置此類“陷阱”的主要目的在于考查學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況，誘發(fā)和暴露學(xué)生認(rèn)知中的一些錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)和片面觀點(diǎn)，從而逐步轉(zhuǎn)化為正確的、完善的、科學(xué)的概念和方法. 由于數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容豐富，其設(shè)置形式也多樣，比較常見(jiàn)的是：針對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)模糊不清設(shè)置“陷阱”，針對(duì)忽視隱含條件設(shè)置“陷阱”，針對(duì)一些數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用設(shè)置“陷阱”等.

1. 基礎(chǔ)知識(shí)模糊不清

概念是解題的基石，也是思維的基礎(chǔ). 數(shù)學(xué)中的一些概念、定理、公式和法則等都具有抽象性，不少學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)往往會(huì)忽略其中的隱含條件、關(guān)鍵詞語(yǔ)、限制條件等，從而導(dǎo)致理解性的偏差. 命題者往往會(huì)有意識(shí)地針對(duì)學(xué)生的理解性偏差設(shè)置“陷阱”，誘導(dǎo)學(xué)生犯錯(cuò). 因此，只有真正理解和掌握基礎(chǔ)知識(shí)，理清其內(nèi)涵和外延，才能不落入“陷阱”之中.

例1：設(shè){an}為首項(xiàng)是1的正項(xiàng)數(shù)列，且（n+1）a■-na■+an+1an=0（n∈N），試寫出{an}的通項(xiàng)公式.

錯(cuò)解：由（n+1）a■-na■+an+1an=0，可得（an+1+an）[（n+1）an+1-nan]=0. 而{an}為正項(xiàng)數(shù)列，則an+1+an>0，從而（n+1）an+1-nan=0，所以■=■. 所以{an}是首項(xiàng)為1、公比為■的等比數(shù)列，所以an=■■.

剖析：學(xué)生在對(duì)概念或公式理解不清時(shí)，往往會(huì)作出想當(dāng)然的判斷，錯(cuò)誤隨之產(chǎn)生. 以上錯(cuò)解主要源于從■=■推導(dǎo)得出{an}為等比數(shù)列. 本質(zhì)上，由■=q可以得出{an}為等比數(shù)列，但這里的q必定是一個(gè)非零常數(shù)，此處的顯然不是，所以上述解析錯(cuò)誤.

2. 忽視隱含條件

通常我們將一些數(shù)學(xué)命題的題設(shè)、已知條件或欲求結(jié)論中可能含有的一些信息，或是解題中所得結(jié)論中隱含的一些關(guān)系稱為“隱含條件”. 解題的過(guò)程中，一些學(xué)生無(wú)法透過(guò)試題的表象看到題目本質(zhì)，易忽視試題中的一些隱含條件，掉入“陷阱”，導(dǎo)致解題出錯(cuò). 因此，在解題的過(guò)程中，需深入挖掘隱含條件，捕捉解題的“蛛絲馬跡”，完善正確的解題路徑.

例2：已知3sin2α+2sin2β=2sinα，試求出S=sin2α+sin2β的最大值和最小值.

錯(cuò)解：據(jù)3sin2α+2sin2β=2sinα，可得sin2β=■. 代入S=sin2α+sin2β，可得S=sin2α+sin2β=-■sin2α+sinα=-■·（sinα-1）2+■. 所以，當(dāng)sinα=1時(shí)，S取到最大值■;當(dāng)sinα=-1時(shí)，S取到最小值 -■.

剖析：在解決本題時(shí)，不少學(xué)生易忽視隱含條件sinα的范圍. 據(jù)2sin2β=2sinα-3sin2α≥0，可得0≤sinα≤■，由此無(wú)法取到sinα=±1. 而當(dāng)sinα=■時(shí)，S有最大值■;當(dāng)sinα=0時(shí)，S有最小值0.

思維類“陷阱”

從思維角度來(lái)看，思維類“陷阱”不容小覷，命題者設(shè)計(jì)此類“陷阱”主要是考查學(xué)生的思維能力，充分暴露學(xué)生思維中的薄弱點(diǎn)，使其逐步養(yǎng)成全面、嚴(yán)謹(jǐn)、有序、靈活變通的思維習(xí)慣. 此類“陷阱”的設(shè)置形式主要有以下幾種：

1. 片面性思考

不少學(xué)生在解題時(shí)習(xí)慣性地從已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，根據(jù)題目的某些局部特征，不深思熟慮就草草下筆，由于負(fù)遷移而落入命題者的“陷阱”. 因此，只有全面準(zhǔn)確地分析試題，并透徹把握解題思路，才能從“陷阱”中解脫出來(lái)，正確解題.

例3：已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且公差d≠0，其中a■，a■，a■，...，a■恰好為等比數(shù)列，若k1=1，k2=5，k3=17，試求出k1+k2+k3+…+kn的值.

錯(cuò)解：據(jù)題意不難得出a1，a5，a17恰好為該等比數(shù)列的前三項(xiàng)，則有a■=a1·a17，所以有（a1+4d）2=a1（a1+16d）（d≠0），解得a1=2d. 所以該數(shù)列的前三項(xiàng)為2d，6d，18d，公比為3，所以a■=2d·3k-1. 又因?yàn)閍■=a1+（kn-1）d=（kn+1）d，所以2d·3k-1=（kn+1）d，所以3k-1=■（kn+1）.

剖析：片面性思考是學(xué)生常犯的錯(cuò)誤，稍有不慎就掉入了“陷阱”之中. 上述解答中a■是等差數(shù)列的第kn項(xiàng)，且為等比數(shù)列a■，a■，a■，...，a■中的第n項(xiàng)，得出a■=2d·3k-1是錯(cuò)誤的，出錯(cuò)根源在于沒(méi)有完整分析題目中所給出的條件.

2. 思維定式

思維定式實(shí)際上就是一種慣性思維，其影響具有雙重性，積極的思維定式可以讓人專注，當(dāng)與實(shí)際情境吻合時(shí)，可以幫助學(xué)生快速解題;而消極的思維定式卻影響人的全面思維，嚴(yán)重束縛創(chuàng)造性思維的發(fā)展. 從學(xué)生的固定思維模式去設(shè)置“陷阱”是命題者最擅長(zhǎng)的技能，使得學(xué)生“想當(dāng)然”地解題，造成錯(cuò)誤. 因此，只有深入試題內(nèi)部，仔細(xì)觀察試題的本質(zhì)，才能防止掉入“陷阱”之中.

例4：設(shè)Sn，Tn分別為等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和，若對(duì)于一切n∈N*，都有■=■，試求出■的值.

錯(cuò)解：據(jù)題意，可設(shè)Sn=k（7n+1），Tn=k（4n+27）（k為常數(shù)），所以an=Sn-Sn-1=7k，bn=Tn-Tn-1=4k，所以■=■.

剖析：本題中，學(xué)生顯然是受到思維定式的束縛，一看到■=■，直接聯(lián)想到Sn=k（7n+1），Tn=k（4n+27）. 事實(shí)上，這正是本題的“陷阱”. 本題可設(shè)Sn=kn（7n+1），Tn=kn（4n+27）（k為常數(shù)），或是利用等差中項(xiàng)求解.

心理類“陷阱”

從認(rèn)識(shí)論角度來(lái)看，心理類“陷阱”也是隨處可見(jiàn)的. 數(shù)學(xué)解題除去扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和較強(qiáng)的數(shù)學(xué)思維能力，良好的心理素質(zhì)也是不可或缺的. 命題者設(shè)置此類“陷阱”主要是為了考查學(xué)生的心理素質(zhì)，杜絕因心理障礙而產(chǎn)生的各種錯(cuò)誤. 此類“陷阱”的設(shè)置主要有以下幾種：

1. 審題不清

一些學(xué)生在解題的過(guò)程中缺乏十足的信心、堅(jiān)強(qiáng)的意志和鉆研的精神，往往會(huì)急于求成、盲目下筆. 數(shù)學(xué)解題除去扎實(shí)的基本知識(shí)和較強(qiáng)的思維能力，還需要良好的心理素質(zhì)，否則即便是再深厚的知識(shí)技能，也有可能因?yàn)閷忣}不清而落入“陷阱”，產(chǎn)生錯(cuò)誤. 因此，教師需積極鼓勵(lì)和正確引導(dǎo)，幫助學(xué)生養(yǎng)成仔細(xì)審題的習(xí)慣.

例5：已知x≥4，試求出f（x）=■的最小值.

錯(cuò)解：f（x）=■+■. 因?yàn)閤≥4，所以x-2≥2，所以有f（x）=■+■≥2■=1.

剖析：以上解析中，在審題解答的過(guò)程中存在著這樣的問(wèn)題：當(dāng)且僅當(dāng)■=■時(shí)，即x=3時(shí)，f（x）能取到最小值1. 然而x=3并不在x≥4這個(gè)范圍之內(nèi)，則f（x）無(wú)法取到最小值1. 此處應(yīng)令t=x-2（t≥2），可得g（t）=■t+■在[2，+∞）上單調(diào)遞增，當(dāng)t=2時(shí)，即x=4時(shí)，f（x）取到最小值■.

2. 應(yīng)用能力薄弱

在學(xué)習(xí)中，一些學(xué)生被動(dòng)接受知識(shí)，學(xué)習(xí)體驗(yàn)不深，只會(huì)機(jī)械運(yùn)用知識(shí)，題目稍加變化就思維卡殼，從而極易落入命題者溫柔的“陷阱”之中. 針對(duì)這一現(xiàn)象，我們需關(guān)注到學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生知識(shí)的應(yīng)用能力.

例6：小紅將一枚均勻硬幣拋擲100次，出現(xiàn)50次正面朝上的可能性較大嗎？

錯(cuò)解：據(jù)每次出現(xiàn)正面或反面的概率都是■，可以判斷拋擲100次出現(xiàn)50次正面朝上的概率也接近■，由此判斷發(fā)生這一事件的可能性較大.

剖析：將一枚均勻硬幣拋擲100次，即重復(fù)完成100次實(shí)驗(yàn)，每次都有可能出現(xiàn)正面、反面兩種結(jié)果，出現(xiàn)正面的概率為■. 據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，事件A發(fā)生k次的概率公式，可得P100（50）=C■■■≈0.08，可見(jiàn)發(fā)生這一事件的可能性很小.

總之，陷阱題的出現(xiàn)，不僅是為了培養(yǎng)學(xué)生的審題能力，更是幫助學(xué)生找尋到知識(shí)漏洞和思維漏洞. 只要學(xué)生深度領(lǐng)悟基本概念的內(nèi)涵和外延，良好地駕馭知識(shí)，周密地思維，沉著應(yīng)對(duì)試題，就能揭開(kāi)“陷阱”的面紗，在高考中交一份完美的答卷.