讓學生離“π”更近一些
——《圓的周長》教學思考和實踐

浙江省余姚市黃家埠鎮(zhèn)中心小學 陳建國

圓是小學生第一次接觸的曲線圖形，其周長計算教學也自然成為教學難點。同時，圓周率概念相對抽象，雖然可以運用“π”來進行計劃，但學生要真正理解“π”則存在較大難度。為了讓學生理解“π”的本質(zhì)，在“圓的周長”中，首先利用正六邊形和正方形的周長，推理猜測圓的周長與直徑的比值，讓學生在無形中接近“π”；在實踐操作中計算圓的周長與直徑的比值，感受圓周率的近似值，并在圓周率的歷史發(fā)展中全面認識“π”；同時，還要指導學生就直徑、半徑與周長的變化規(guī)律進行觀察與分析，感受、體驗周長與直徑的比值是一個固定值，感悟“π”的特點；最后在鋼琴曲與圖集中，欣賞“π”與藝術的融合之美。讓學生在這些過程中，一步步接近這個看不見、摸不著的“π”。

一、推理猜測中接近“π”

猜想是展開數(shù)學思維過程的重要方法。直接猜測圓的周長與直徑的關系缺少了理論依據(jù)，為了引導學生合理展開猜想，借助正方形和正六邊形兩個圖形的周長與直徑的關系，合理地推理，大膽地猜想是解決問題的 源泉。

【片段一】

師：圓的周長與直徑究竟有什么關系呢？老師請了正方形來助場。

師：你知道了什么？

生：正方形的周長就是4d。

生：圓的周長比正方形的周長小。

生：圓的周長不到4d。

生：圓的周長與直徑的比值肯定不到4。

師：這合理的推理真出色。

（板書：圓的周長/直徑＜4）

師：正方形讓我們對圓的認識更近了一步，老師還要請出一個圖形。（師出示正六邊形）你知道了什么？

生：六邊形的周長要比圓的周長大。

師：正六邊形的周長與直徑d 有什么關系呢？

生：正六邊形是直徑的3 倍。

師：為什么？

生：每個三角形都是等邊三角形，因為它的頂角是60°，兩邊是圓的半徑，那么六邊形每條邊都是圓的半徑，所以周長是直徑的3 倍。

師：那么圓的周長與直徑是幾倍關系了嗎？

生：我覺得是3 倍多。（板書：3 ＜ 圓的周長/直徑＜4＝ ）

在推理過程中先將正方形的周長與圓的直徑進行結合，再將兩者的周長進行對比分析，順勢將圓的周長與直徑的比與“4 倍”進行結合分析。在研究的方法上，教師引導學生掌握了學習方法，也明確了探究思路，為進一步利用正六邊形進行研究做好準備。由于有了正方形輔助比較的經(jīng)驗，在正六邊形與圓的周長的比較過程中，學生就很快將正六邊形的周長與圓的直徑聯(lián)系起來，再將圓的周長與六邊形的周長比較，由此建立圓的周長與直徑的聯(lián)系，進一步得到了圓的周長與直徑的比值范圍。

二、實踐驗證中認識“π”

實踐出真知，學生在觀察、實驗的基礎上，在教師的引導下通過猜測、計算、推理、驗證等活動完成對“π”的初步理解。但動手操作必會出現(xiàn)誤差，以及“π”無限不循環(huán)的特點，最后要用相關資料介紹“π”。為了讓學生對“π”有更深刻的了解，利用多媒體，以時間軸的形式將圓周率的發(fā)展歷史展示出來，讓學生在動手實踐和歷史驗證中認識“π”。

【片段二】

（每個學具袋里裝三個不同大小的圓，一條軟尺，一根線，每組圓的大小隨機，共4 種圓）

表一

實驗要求（完成活動一）：

①同桌合作，用你喜歡的方法測量出圓的周長（精確到0.1），將直徑和周長填入表格（見表一）。

②用計算器計算出周長和直徑的比值，得數(shù)保留兩位小數(shù)。

③觀察表格，你發(fā)現(xiàn)了什么？記錄在“我的發(fā)現(xiàn)”一欄中（見表一）。

【片段三】

師：祝賀大家，你們剛剛做了一個數(shù)學家們曾做過的實驗，你們得出的結論和數(shù)學家一樣。實際上，這是一個固定的數(shù)，叫做圓周率。我們一起來看看圓周率的發(fā)展歷史。（播放一段視頻）

正因為有之前的推理以及幫助，引導學生明確了比值范圍，教師則可以在具體細致的指導下，學生的操作可行性變得更高了，商與3.14 越接近，就越有說服力，讓學生的結論離那個雖在眼前卻又抓不準的“π”更近一步，也對“3 倍多一些”中的一些有較深刻、較準確的把握。最后，利用微視頻的形式呈現(xiàn)圓周率的發(fā)展史，清晰直觀地把知識的形成過程呈現(xiàn)給學生。實踐操作、歷史驗證，讓學生在圓周率的發(fā)展歷史中離“π”更近了一步。

三、觀察比較中感悟“π”

學生已掌握圓的周長計算方法，但記住周長公式并不是唯一目的，更重要的是理解周長公式的本質(zhì)，理解半徑、直徑與周長的關系和變化規(guī)律。教師要指導、鼓勵利用既有素材進行對比性觀察與分析，使之能夠在思維沖突過程中，不斷進行正誤的甄別，理解該知識體系的本質(zhì)屬性，促使學生能夠自主發(fā)現(xiàn)該知識體系的數(shù)學規(guī)律，為培養(yǎng)、提高學生的數(shù)學思維奠定基礎。

【片段四】

師：這個圓的周長與直徑的比值應該是幾？

（根據(jù)學生的回答，擦除表格中第四列中的數(shù)據(jù)，改成3.14）

師：（擦除“周長”一列數(shù)據(jù)）你能算出準確的周長嗎？怎么算？

生：直徑乘“π”（3.14）。

師：正確！同學們，你們再自己計算一個每個圓的周長是多少？（記錄數(shù)據(jù)）

師：觀察、分析表格中數(shù)據(jù)（第二列和第三列），看看周長、直徑都有怎樣的變化規(guī)律？

生：直徑由2cm 變成4cm，增長兩倍……直徑增加幾倍，周長也會隨之增加相同的倍數(shù)。

生：直徑由8cm 變成2cm 縮小到它的1/4，周長也縮小到它的 1/4。

生：直徑擴大到它的若干倍，周長也擴大到它的相同倍數(shù)。

師：同學們，你們分析一下第一列半徑和第二列周長有什么聯(lián)系呢？

生：當半徑擴大到它的若干倍，周長也擴大到它的相同倍數(shù)。

師：為什么周長與直徑（半徑）會有這種變化規(guī)律呢？

生：周長與直徑的比值不變，即一個因數(shù)不變時，另一個因數(shù)增加多少倍，周長（即積）也會隨之增加相同的倍數(shù)。

教師在教學中應始終圍繞“周長與直徑的比值”進行分析、討論，使學生能夠明確該比值是一個固定值；教師通過多次擦除（或更改）數(shù)據(jù)，引導學生觀察、比較、分析等一系列教學實踐活動，則會逐步讓學生感悟、理解“π”的本質(zhì)特點。教師通過反復比較數(shù)據(jù)變化規(guī)律，既能夠發(fā)揮出畫龍點睛的作用，還能夠突破本節(jié)教學難點——周長/直徑是一個固定值。最終，提高學生對圓周率、周長計算公式的理解與應用能力。

四、藝術融合中欣賞“π”

無論是數(shù)學還是藝術都是一種創(chuàng)造性的活動并且包含了對于美的直接追求。教師應引導學生能夠自主地將數(shù)學與藝術進行自主結合，以提高學生數(shù)學藝術審美能力。

這是一組將圓周率（π）轉(zhuǎn)化成圓形彩虹藝術品的驚艷圖集。在圓周率鋼琴曲與圖集中，原來看似枯燥乏味的數(shù)學，簡單的一個圓周率，卻可以和藝術完美地融合在一起。在優(yōu)美的鋼琴聲中聆聽這個無限不循環(huán)小數(shù)的韻律，在艷麗繽紛的圖集中感受它的絕世之美。數(shù)學之美與藝術之美交織在一起，看似看不見、摸不到的圓周率，卻以獨特的形式展現(xiàn)出來，讓學生越來越接近“π”。

總之，“π”既是人類智慧的結晶，又是數(shù)學學科中真、善、美的集合體，對此，教師應該抓住教學重點，突破教學難點，幫助學生認識到數(shù)學學科的魅力和數(shù)學世界的奧妙！