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    關于半對偶模的弱Ding-投射模

    2020-11-05 06:19:56何東林
    關鍵詞:內(nèi)射模投射模同態(tài)

    何東林, 樊 亮

    (隴南師范高等??茖W校數(shù)信學院, 甘肅 隴南 742500)

    引 言

    Gorenstein同調(diào)理論是相對同調(diào)代數(shù)的研究熱點之一,許多學者先后對其進行了研究和推廣。特別地,Holm和J?rgensen[1]在交換Noether環(huán)上引入了C-Gorenstein投射模和C-Gorenstein內(nèi)射模的概念,并研究了與其相關的投射模類。White[2]進一步討論了一般交換環(huán)上的C-Gorenstein投射模和C-Gorenstein內(nèi)射模,并稱之為GC-Gorenstein投射模和GC-Gorenstein內(nèi)射模。Gillespie[3]介紹了Ding-投射模和Ding-內(nèi)射模。Ding-投射模與強Gorenstein平坦模[4]是一致的,而Ding-內(nèi)射模與Gorenstein FP-內(nèi)射模是一致的。為了研究Ding-投射模和Ding-內(nèi)射模的可數(shù)部分及相關的投射和內(nèi)射模類,Zhang等[5]引入了DC-投射模和DC-內(nèi)射模。f-投射模[7]是投射模的一個重要推廣,每個投射模都是f-投射模,每個f-投射模都是平坦模,但反之不真。C-Gorenstein投射模與C-投射模[8]密切相關,DC-投射模與C-平坦模[8]密切相關。Mao[9]引入的關于半對偶模C的C-f-投射模是介于C-投射模與C-平坦模之間的一類模。因而,可考慮與C-f-投射模密切相關的模類。本文主要研究關于半對偶模C的弱Ding-投射模(即弱DC-投射模),并討論弱DC-投射模與DC-投射模及C-Gorenstein投射模之間的關系,以及弱DC-投射模的若干性質(zhì)和等價刻畫。

    1 定義和引理

    引理2[9]設M是R-模,則

    (2)M是C-f-投射模當且僅當HomR(C,M)是f-投射模。

    其中Pi(i∈Ζ)是投射R-模,使得M?Coker(P1→P0)。用wDPC(R)表示所有弱DC-投射模組成的類。

    引理3以下說法成立:

    (1)DPC(R)?wDPC(R)?GPC(R)。

    (2)當R是Noether環(huán)時,弱DC-投射模與DC-投射模一致,從而DPC(R)=wDPC(R)。

    引理4[8]設0→X′→X→X″→0是R-模正合列。若X′和X″是C-投射模,則該正合列可裂且X也是C-投射模。

    2 主要結(jié)果

    定理1設M是R-模,則以下條件等價:

    (1)M是弱DC-投射模。

    (1)

    …→P1→P0→M→0,

    (2)

    (3)

    0→HomR(M,Q)→HomR(P0,Q)→HomR(P1,Q)→…

    (4)

    其中Pi(i<0)是投射R-模。不妨取M的投射分解

    …→P1→P0→M→0,

    (5)

    其中Pi(i∈Ζ)是投射R-模,使得M?Coker(P1→P0)。因此M是弱DC-投射模。

    定理2設M是弱DC-投射模,如果存在正合列

    定理3設P是有限生成投射模且M是弱DC-投射模,則HomR(P,M)是弱DC-投射模。

    (6)

    其中Pi(i∈Ζ)是投射R-模,使得M?Coker?1。因為P是有限生成投射模,所以用函子HomR(P,-)作用于序列(6)后仍正合,即序列

    正合,且HomR(P,M)?Coker(HomR(P,?1))。因為P是有限生成投射模且R為交換環(huán),根據(jù)文獻[14]中命題20.10可得,對任意整數(shù)i<0,有同構

    由文獻[15]中P14stability中第6條可得,HomR(P,Pi)(i∈Ζ)是投射模。從而有正合列

    (7)

    綜上所述,HomR(P,M)是弱DC-投射模。

    證明證明過程與定理3對偶。

    定理5設M是任意R-模,則存在正合列…→W1→W0→M→0,其中Wi(i≥0)是弱DC-投射模。

    證明設M是任意R-模,由文獻[6]中命題1.8可得,M具有DC-投射分解,即存在正合列

    …→W1→W0→M→0

    其中Wi(i≥0)是DC-投射模。又由引理3知,DPC(R)?wDPC(R),所以Wi(i≥0)是弱DC-投射模。

    定理6弱DC-投射模類wDPC(R)關于任意擴張封閉。

    圖1 正合交換圖

    定理7弱DC-投射模類wDPC(R)關于任意滿同態(tài)的核封閉。

    證明由定理1和Ext函子的性質(zhì)可證。

    定理8弱DC-投射模類wDPC(R)關于任意滿同態(tài)的核封閉。

    定理9弱DC-投射模類wDPC(R)是投射可解的且關于任意直和因子封閉。

    證明由引理3及文獻[6]中命題1.8知,wDPC(R)包含所有投射模。根據(jù)定理6和定理8可得,wDPC(R)關于任意擴張和滿同態(tài)的核封閉。從而弱DC-投射模類wDPC(R)是投射可解的。又因為wDPC(R)關于任意直和封閉,由文獻[16]中命題1.4可得,wDPC(R)關于任意直和因子封閉。

    3 結(jié)束語

    利用環(huán)模理論和同調(diào)代數(shù)的方法,討論了弱DC-投射模與DC-投射模及C-Gorenstein投射模之間的關系。研究了弱DC-投射模的若干性質(zhì)和等價刻畫。結(jié)果表明:所有弱DC-投射R-模組成的類是投射可解的且關于任意直和因子封閉。從而補充了Gorenstein同調(diào)代數(shù)中的相關理論,并進一步完善了對Gorenstein模類及其維數(shù)后續(xù)問題的研究,具有一定的理論價值。

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