基于擴(kuò)展有限元法的表面裂紋平板拉伸極限載荷研究

孫國棟， 劉宇杰， 康國政

(西南交通大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院， 成都 610031)

引 言

裂紋導(dǎo)致的工程構(gòu)件失效，在現(xiàn)代工業(yè)結(jié)構(gòu)和機(jī)械中屢屢發(fā)生。對于含裂紋的工程構(gòu)件進(jìn)行斷裂力學(xué)評定對于結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)和安全評估是非常重要的。自20世紀(jì)50年代以來，以線彈性斷裂力學(xué)和彈塑性斷裂力學(xué)為代表的斷裂力學(xué)理論和方法得到了迅速發(fā)展和應(yīng)用。然而，大多數(shù)的經(jīng)典斷裂力學(xué)理論和成熟的設(shè)計(jì)規(guī)范都是基于二維斷裂理論的。對于斷裂韌性、裂紋擴(kuò)展速率等材料斷裂特性的標(biāo)準(zhǔn)測試也多基于二維穿透型裂紋來開展試驗(yàn)的。通常在裂紋擴(kuò)展問題的斷裂分析中，判斷裂紋進(jìn)入臨界失穩(wěn)斷裂狀態(tài)的方法是當(dāng)裂紋尖端附近的應(yīng)力強(qiáng)度因子值K等于材料試驗(yàn)測得的斷裂韌性KIC時(shí)，認(rèn)為裂紋將要失穩(wěn)擴(kuò)展。Coppe等[1]在計(jì)算裂紋體的剩余壽命時(shí)，判斷停止計(jì)算的臨界裂紋尺寸是工程上給定的一個(gè)希望修復(fù)的裂紋尺寸，同時(shí)也指出了一般使用材料的斷裂韌性來計(jì)算臨界裂紋尺寸。楊海賓等[2]在計(jì)算車體的剩余壽命時(shí)，判斷計(jì)算停止的條件是應(yīng)力強(qiáng)度因子值等于材料的斷裂韌性值，即根據(jù)施加載荷的大小和裂紋擴(kuò)展到某一長度時(shí)計(jì)算出的應(yīng)力強(qiáng)度因子值等于臨界應(yīng)力強(qiáng)度因子值時(shí)停止計(jì)算剩余壽命。高云等[3]在計(jì)算裂紋體的剩余壽命時(shí)，停止計(jì)算裂紋擴(kuò)展的條件也是某一裂紋長度計(jì)算出的應(yīng)力強(qiáng)度因子值達(dá)到材料斷裂韌性時(shí)，裂紋停止擴(kuò)展。由于幾何和受力的復(fù)雜性，大部分實(shí)際裂紋問題的裂紋尖端附近的應(yīng)力場是三維應(yīng)力場。Yuan和Brocks[4]的研究表明，三維應(yīng)力下的約束情況對材料的斷裂行為有顯著的影響。在國內(nèi)，郭萬林院士課題組[5-7]開展了大量的應(yīng)力約束條件下的三維裂紋斷裂研究，建立了雙參數(shù)K-Tz或J-Tz模型，取得了良好的效果。由于斷裂問題的復(fù)雜性，大量的斷裂問題研究還是必須借助有限元分析來開展。最早由美國西北大學(xué)的Belytschko和Black[8-9]提出的擴(kuò)展有限元方法(Extended Finite Element Method, XFEM)是在標(biāo)準(zhǔn)有限元框架下，在不連續(xù)的間斷區(qū)域引入新的能夠反映間斷特性的的位移函數(shù)。擴(kuò)展有限元方法在處理裂紋問題時(shí)，能夠避免繁瑣的裂紋網(wǎng)格重劃分，在相對較為粗糙的裂尖網(wǎng)格下獲得比較精確的數(shù)值解。因此擴(kuò)展有限元方法在裂紋擴(kuò)展、動(dòng)態(tài)斷裂等方面得到越來越多的應(yīng)用。大量學(xué)者[10-12]基于擴(kuò)展有限元方法開展了大量的斷裂問題研究，取得了良好的效果。

目前利用XFEM開展的斷裂問題模擬，多集中于裂紋擴(kuò)展分析[13-15]，應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算[16-17]等方面，對于結(jié)構(gòu)失穩(wěn)斷裂時(shí)極限載荷方面的研究還較少。本文首先對車鉤鑄造E級鋼CT試樣開展了斷裂韌性試驗(yàn)，獲得了材料的斷裂韌性。然后基于擴(kuò)展有限元方法，建立三維模型對CT試樣在試驗(yàn)中的裂紋擴(kuò)展過程進(jìn)行了模擬，通過與試驗(yàn)獲得的載荷-裂紋張開位移曲線的對比，驗(yàn)證數(shù)值模擬的合理性。進(jìn)而對帶有橢圓形表面裂紋的不同厚度的平板的斷裂行為進(jìn)行了模擬，獲得了不同情況下帶表面裂紋平板的拉伸極限載荷，并與通常利用材料斷裂韌性來確定的拉伸極限載荷進(jìn)行了對比研究。

1 擴(kuò)展有限元法

擴(kuò)展有限元法是在傳統(tǒng)有限元方法的基礎(chǔ)上進(jìn)行重要改進(jìn)而提出的方法，核心思想是在常規(guī)有限元位移函數(shù)的基礎(chǔ)上，引入一些加強(qiáng)函數(shù)以反映間斷問題的不連續(xù)性。間斷問題分為強(qiáng)間斷(位移不連續(xù))和弱間斷(位移導(dǎo)數(shù)不連續(xù))兩種，在擴(kuò)展有限元中要采用不同形式的加強(qiáng)函數(shù)。

在使用擴(kuò)展有限元法分析裂紋問題時(shí)，由于裂紋兩側(cè)位移被間斷，所以要選用處理強(qiáng)間斷問題的加強(qiáng)函數(shù)，在擴(kuò)展有限元中經(jīng)過加強(qiáng)的位移模式表示為[8]：

(1)

圖1所示為對裂紋尖端附近的一層節(jié)點(diǎn)進(jìn)行加強(qiáng)時(shí)的節(jié)點(diǎn)分布，其中“○”表示裂紋尖端所處單元的節(jié)點(diǎn)，“□”表示裂紋貫穿單元的節(jié)點(diǎn)，其余均為常規(guī)節(jié)點(diǎn)(圖中沒有標(biāo)出)。

圖1 XFEM中節(jié)點(diǎn)分布

式(1)中等號右邊：第一項(xiàng)代表沒有被裂紋影響到的單元區(qū)域，和傳統(tǒng)有限元方法的形函數(shù)完全一致；第二項(xiàng)代表被裂紋貫穿的單元區(qū)域；第三項(xiàng)代表裂紋尖端所處的單元區(qū)域，其中，α=1,2,3,4，裂紋尖端漸進(jìn)位移場的附加函數(shù)φα(x)的具體表達(dá)形式為[9]：

(2)

式(2)中：(r,θ)表示裂尖的極坐標(biāo)系，r為節(jié)點(diǎn)到裂尖的距離，θ表示節(jié)點(diǎn)和裂尖之間連線的角度，裂尖切線方向θ為0°。

2 車鉤鑄造E級鋼斷裂韌性試驗(yàn)及模擬

2.1斷裂韌性試驗(yàn)

根據(jù)GB/T 21143-2014《金屬材料準(zhǔn)靜態(tài)斷裂韌度的統(tǒng)一試驗(yàn)方法》，采用如圖2所示的帶有側(cè)槽的CT試樣進(jìn)行斷裂韌性試驗(yàn)。在進(jìn)行斷裂韌性試驗(yàn)前，在低載荷下進(jìn)行了疲勞預(yù)制裂紋，保證裂紋前緣的尖銳，疲勞預(yù)制裂紋時(shí)的裂紋擴(kuò)展量約為2 mm。在疲勞預(yù)制裂紋完成后以0.01 mm/s的位移速率控制加載直至斷裂，得到如圖3所示的載荷-裂紋張開位移曲線。對試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，若用K因子來表征該材料的斷裂韌性值，其大小為5045 MPa*mm1/2。

圖2 帶有側(cè)槽的CT試樣幾何尺寸

圖3 斷裂韌性試驗(yàn)中的載荷-裂紋張開位移曲線寸

2.2擴(kuò)展有限元模擬

在ABAQUS軟件中根據(jù)圖2所示的CT試樣尺寸建立如圖4所示的有限元模型。試驗(yàn)中通過穿過上下兩個(gè)孔的銷釘施加位移載荷，建立了兩個(gè)設(shè)置為剛體的圓棒狀的銷釘，建立兩個(gè)參考點(diǎn)分別和兩個(gè)銷釘耦合，以便施加位移載荷和獲取載荷數(shù)據(jù)，銷釘表面和CT試件圓孔之間設(shè)置面面接觸，使其接觸時(shí)可以滑動(dòng)，使有限元模擬更加接近試驗(yàn)時(shí)的真實(shí)情況。

圖4 CT試樣的有限元模型

在材料屬性中設(shè)置彈性模量為206915 MPa，泊松比為0.3，屈服強(qiáng)度值為640 MPa，抗拉強(qiáng)度值為805 MPa，這些材料參數(shù)均通過對圓棒試樣的拉伸試驗(yàn)獲得。裂紋設(shè)置為XFEM裂紋類型，裂紋的長度設(shè)置為疲勞預(yù)制裂紋后的長度30 mm，裂紋面和CT試件之間設(shè)置為切向無接觸，法向硬接觸的接觸屬性。損傷演化采取最大主應(yīng)力準(zhǔn)則，最大主應(yīng)力設(shè)置為805 MPa，即為材料的抗拉強(qiáng)度值，裂紋擴(kuò)展所需能量設(shè)置為1220 N/m。網(wǎng)格劃分采用C3D8H單元，在裂紋附近采用結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，在孔周圍采用自由網(wǎng)格，并在裂紋附近進(jìn)行網(wǎng)格加密。加載邊界條件設(shè)置為在上端參考點(diǎn)RP-3上施加位移載荷，下參考點(diǎn)RP-1固定。待計(jì)算完畢后提取加載點(diǎn)的載荷和缺口處的位移，形成載荷-裂紋張開位移曲線和試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對比。擴(kuò)展有限元模擬得到的載荷-裂紋張開位移曲線和試驗(yàn)結(jié)果對比如圖5所示。

圖5 CT試樣有限元模擬結(jié)果

從圖5可以看出，有限元模擬得到的軸向載荷-裂紋張開位移曲線和試驗(yàn)曲線的趨勢一致，有限元模擬曲線略高于試驗(yàn)曲線。原因可能在于，在有限元模擬中下參考點(diǎn)RP-1采用了固定約束，而在實(shí)際中，由于試驗(yàn)機(jī)夾具不可能是無限大，與加載銷釘關(guān)聯(lián)的下參考點(diǎn)并不能保持完全固定。因此模擬曲線的剛度比試驗(yàn)曲線略高。從最大載荷的數(shù)值上看，有限元模擬的最大載荷為65.154 kN，試驗(yàn)中最大載荷為63.112 kN，兩者僅相差3.1%，由此驗(yàn)證了本文有限元模擬的準(zhǔn)確性。

3 受拉伸的帶表面裂紋平板的擴(kuò)展有限元模擬

3.1有限元模型與計(jì)算流程

在ABAQUS中建立如圖6所示的平板有限元模型，初始裂紋形狀設(shè)置為半橢圓表面裂紋，位于平板側(cè)邊中部。平板的厚度(B)分別為：2 mm，4 mm，8 mm，16 mm，32 mm，64 mm，寬度62.5 mm,高60 mm。裂紋尺寸為2a/B=0.5,c/a=0.6，其中2a代表裂紋長度，c代表裂紋深度。在平板的上下頂面施加位移，對帶表面裂紋的平板受到拉伸載荷作用時(shí)的斷裂行為進(jìn)行模擬。在裂紋擴(kuò)展區(qū)域?qū)W(wǎng)格進(jìn)行加密，單元類型設(shè)置為C3D8H。在平板上下表面外，分別設(shè)置兩個(gè)參考點(diǎn)和上下表面的全部節(jié)點(diǎn)進(jìn)行耦合，在兩個(gè)參考點(diǎn)上施加與裂紋面垂直方向的位移載荷，在后處理結(jié)果中提取參考點(diǎn)的載荷-位移曲線。材料參數(shù)與裂紋屬性設(shè)置與2.2節(jié)中設(shè)置一致。

圖6 帶表面裂紋的平板的有限元模型

在ABAQUS軟件的后處理模塊中，可以輸出每一分析步對應(yīng)的裂紋尺寸和拉伸載荷值，直接得到裂紋擴(kuò)展過程中的載荷-位移曲線，并得到最大極限載荷。但是并不能動(dòng)態(tài)輸出應(yīng)力強(qiáng)度因子K的數(shù)值。為獲得應(yīng)力強(qiáng)度因子K達(dá)到材料斷裂韌性時(shí)對應(yīng)的極限載荷，還需要進(jìn)行靜態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算。在進(jìn)行靜態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算時(shí)，將裂紋設(shè)置為不能擴(kuò)展，并在結(jié)果文件中輸出對應(yīng)裂紋的K因子值，每一次計(jì)算只能得到固定裂紋尺寸的應(yīng)力強(qiáng)度因子的值。為得到應(yīng)力強(qiáng)度因子隨裂紋尺寸的變化，就需建立不同裂紋尺寸的幾何模型來得到相應(yīng)的應(yīng)力強(qiáng)度因子。當(dāng)計(jì)算出的K因子達(dá)到試驗(yàn)獲得的材料斷裂韌性時(shí)，輸出此時(shí)的載荷，并與按照擴(kuò)展有限元能量準(zhǔn)則計(jì)算出的擴(kuò)展過程中的最大載荷進(jìn)行對比。

3.2模擬結(jié)果與討論

圖7給出了擴(kuò)展有限元模擬得到的厚度為16 mm的帶表面裂紋平板的載荷-位移曲線，這里的位移選取為上下表面參考點(diǎn)的相對位移。整個(gè)曲線大致可分為三個(gè)階段：第一階段，當(dāng)位移較小時(shí)，載荷和位移之間幾乎呈線性關(guān)系，載荷和位移成比例增大；第二階段，載荷隨位移緩慢增加，裂紋穩(wěn)定擴(kuò)展；第三階段，載荷隨位移的增大而下降，進(jìn)入裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展階段，直至完全斷裂。 在圖7給出的16 mm厚平板的擴(kuò)展有限元模擬載荷-位移曲線中，最大載荷為779.96 kN。在常規(guī)有限元計(jì)算中，帶裂紋結(jié)構(gòu)能承受的最大載荷使用強(qiáng)度因子準(zhǔn)則來確定, 即將裂紋尖端最大應(yīng)力強(qiáng)度因子K達(dá)到斷裂韌性KIC時(shí)對應(yīng)的載荷作為結(jié)構(gòu)能承受的最大載荷值。若采用強(qiáng)度因子準(zhǔn)則，對于本節(jié)計(jì)算的16 mm厚帶表面裂紋平板能承受的最大載荷為599.21 kN，這比用擴(kuò)展有限元法的能量準(zhǔn)則計(jì)算出的最大載荷要低23.2%。這說明按照傳統(tǒng)的平面斷裂準(zhǔn)則得到的極限載荷比按照三維裂紋準(zhǔn)則得到的極限載荷要低，采用傳統(tǒng)的平面斷裂準(zhǔn)則在三維裂紋情況下偏保守。

圖7 16 mm帶裂紋平板載荷-位移曲線計(jì)算結(jié)果

在ABAQUS擴(kuò)展有限元模塊中可以輸出場變量PHILSM(Signed distance function to describe the crack surface)來描述裂紋面。圖8給出了裂紋擴(kuò)展過程中的PHILSM的變化，圖中藍(lán)色部分表示裂紋面。圖8(a)為初始裂紋形狀，圖8(b)為裂紋沿深度擴(kuò)展1 mm之后的裂紋形狀，裂紋沿寬度也同樣擴(kuò)展了1 mm，圖8(c)為裂紋沿深度擴(kuò)展2 mm之后的裂紋形狀，此時(shí)裂紋沿寬度方向擴(kuò)展不足2 mm，圖8(d)為裂紋沿深度擴(kuò)展3 mm之后的裂紋形狀，也是計(jì)算KIC時(shí)的裂紋尺寸，因?yàn)榱鸭y形狀不是十分規(guī)則，計(jì)算KIC時(shí)將其近似為一個(gè)規(guī)則圓弧進(jìn)行計(jì)算。圖8(e)～圖8(j)分別為裂紋沿深度擴(kuò)展4 mm，6 mm，8 mm，10 mm，12 mm，14 mm時(shí)的裂紋形狀。這些圖中可見，裂紋在深度方向上的擴(kuò)展量是大大高于寬度方向上的擴(kuò)展量。隨著裂紋的擴(kuò)展，表面裂紋逐步加深加寬，最終穿透厚度方向成為穿透型裂紋。

圖8 裂紋形狀變化

為了討論厚度對包含表面裂紋平板極限載荷的影響，本文計(jì)算了平板的厚度(B)分別為：2 mm，4 mm，8 mm，16 mm，32 mm，64 mm，寬度為62.5 mm，高為60 mm，裂紋尺寸為2a/B=0.5,c/a=0.6，共6種厚度情況下含表面裂紋平板的拉伸裂紋擴(kuò)展情況。圖9給出了6種厚度下帶表面裂紋平板在拉伸情況下的載荷-位移曲線。

圖9 不同厚度平板的載荷-位移曲線

從載荷-位移曲線的變化趨勢上看，厚度影響不大，不同厚度帶表面裂紋平板的載荷-位移曲線的趨勢基本一致，呈現(xiàn)前述的三階段的特點(diǎn)。隨著厚度的增加，帶表面裂紋平板的極限載荷在增加，同時(shí)達(dá)到極限載荷時(shí)對應(yīng)的臨界位移在降低。這表明隨著平板厚度的增加，斷裂模式從韌性斷裂向脆性斷裂轉(zhuǎn)變。

表1給出了不同平板厚度的情況下，分別用擴(kuò)展有限元能量準(zhǔn)則得到的極限載荷和用常規(guī)應(yīng)力強(qiáng)度因子準(zhǔn)則得到的極限載荷。

表1XFEM求得極限載荷值和KIC對應(yīng)極限載荷值對比

由表1可見，按照傳統(tǒng)的KIC平面斷裂準(zhǔn)則計(jì)算得到的極限載荷在三維裂紋情況下偏保守。兩種方法計(jì)算得到的極限載荷之間的差異隨著板厚度的增加而增大。

為了進(jìn)一步揭示平板厚度對極限載荷的影響，對當(dāng)裂紋前緣應(yīng)力強(qiáng)度因子達(dá)到KIC時(shí)裂紋前緣的塑性區(qū)情況進(jìn)行了分析。圖10給出了在計(jì)算KIC的有限元模型中提取裂紋前緣等效塑性應(yīng)變(PEEQ)云圖。

圖10 應(yīng)力強(qiáng)度因子達(dá)到KIC時(shí)的塑性區(qū)

從圖10可以看出，在平板厚度較小時(shí)，塑性區(qū)的面積比較大，隨著平板厚度的增加，裂紋前緣的塑性區(qū)逐步減小。在平板厚度較小時(shí)(如2 mm厚，4 mm厚)，裂紋前緣附近均發(fā)生塑性變形，這與穿透型裂紋達(dá)到臨界擴(kuò)展時(shí)塑性區(qū)的分布相似，故兩種方法計(jì)算出的極限載荷更加接近。而在厚板的情況下，由于有較強(qiáng)的約束，導(dǎo)致應(yīng)力強(qiáng)度因子達(dá)到KIC時(shí)，裂紋尖端塑性區(qū)很小，這與達(dá)到臨界擴(kuò)展時(shí)裂尖塑性區(qū)比較大的狀態(tài)有較大區(qū)別，故按照KIC計(jì)算出的極限載荷比擴(kuò)展有限元計(jì)算的結(jié)果要低很多。

4 結(jié) 論

(1)利用ABAQUS的擴(kuò)展有限元模塊，設(shè)置合理參數(shù)對車鉤E級鑄鋼CT試樣的斷裂行為進(jìn)行較為準(zhǔn)確的模擬，得出載荷-裂紋張開位移曲線和試驗(yàn)結(jié)果吻合得很好。

(2)對不同厚度的帶表面裂紋平板拉伸情況下的斷裂行為模擬發(fā)現(xiàn)，按照材料斷裂韌性KIC計(jì)算出的極限載荷在三維裂紋情況下偏保守。材料斷裂韌性對應(yīng)的最大載荷和擴(kuò)展有限元方法計(jì)算得出的最大載荷值之間的差異隨著板厚度的增加而增大。在計(jì)算表面裂紋厚板的斷裂極限載荷時(shí)必須考慮裂紋的三維約束效應(yīng)。