“數(shù)形結(jié)合”探秘絕對(duì)值

文張文珠

著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休?！睂?duì)絕對(duì)值的探究過(guò)程，“數(shù)軸”充當(dāng)了橋梁的作用。絕對(duì)值借助數(shù)軸來(lái)表達(dá)，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中“數(shù)形結(jié)合”的思想精髓。接下來(lái)，讓我們開(kāi)始一場(chǎng)絕對(duì)值的探秘之旅。

一、整裝待發(fā)——理解絕對(duì)值的幾何意義

數(shù)軸上表示一個(gè)數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，叫做這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值。

“數(shù)a 的絕對(duì)值”記作 ||a ，幾何意義為數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離。

例1如圖1，| |-3 的幾何意義為數(shù)軸上表示-3的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離。

圖1

二、腳踏實(shí)地——探秘任務(wù)一：兩數(shù)差的絕對(duì)值

“兩數(shù)差的絕對(duì)值”記作|a - b|（a、b是常數(shù)），幾何意義為數(shù)軸上表示數(shù)a 和數(shù)b 的兩個(gè)點(diǎn)之間的距離。

例2如圖2，|5- 2| 表示5 與2 的差的絕對(duì)值，實(shí)際上可以理解為5與2兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；由計(jì)算可得|5- 2|=3；由數(shù)軸可得5 與2 兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離是3，所以|5- 2 |=3。

圖2

如圖3，|5+2|即|5-（-2）|，表示5 與-2的差的絕對(duì)值，實(shí)際上可以理解為5 與-2 兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離。由計(jì)算可得|5+ 2 |=7；由數(shù)軸可得5 與-2 兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離是7，所以|5+2|=7。

圖3

經(jīng)驗(yàn)升級(jí)：用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示“兩數(shù)差的絕對(duì)值”，兩數(shù)之間要用運(yùn)算符號(hào)“-”號(hào)連接，若遇到兩數(shù)之間用“+”號(hào)連接，需要轉(zhuǎn)化為“-”號(hào)。

三、登高望遠(yuǎn)——探秘任務(wù)二：兩距離之和的最小值

“兩距離之和”記作|x-a|+|x-b（|x 是未知數(shù)，a、b 是常數(shù)），可以理解為數(shù)軸上表示x 的點(diǎn)（動(dòng)點(diǎn)）分別與表示a、b 的點(diǎn)（定點(diǎn)）之間的距離之和。

例3求|x+1|+|x-5|的最小值。

【解析】原式寫(xiě)成兩數(shù)差的絕對(duì)值為|x-（-1）|+|x-5 |，可以理解為數(shù)軸上表示x的點(diǎn)（動(dòng)點(diǎn)）分別與表示-1、5 的點(diǎn)（定點(diǎn)）之間的距離之和。因?yàn)閤 的不確定性，可以利用數(shù)軸畫(huà)出表示-1、5 的兩個(gè)定點(diǎn)，然后分類討論如下：

1.表示數(shù)x 的點(diǎn)在表示-1 的點(diǎn)左側(cè)，兩距離長(zhǎng)如圖4所示：

圖4

2.表示數(shù)x 的點(diǎn)在表示-1 和5 的兩點(diǎn)之間（包括兩點(diǎn)），兩距離長(zhǎng)如圖5所示：

圖5

3.表示數(shù)x 的點(diǎn)在表示5 的點(diǎn)右側(cè)，兩距離長(zhǎng)如圖6所示：

圖6

由圖可知，當(dāng)數(shù)軸上表示數(shù)x 的點(diǎn)位于表示數(shù)-1 和5（包括-1 和5）兩點(diǎn)之間時(shí)，|x+1 |+|x - 5 |取得最小值，最小值就是表示數(shù)-1和5 兩點(diǎn)之間的距離（|-1）- 5 |=6（見(jiàn)“探秘任務(wù)一”所得結(jié)論）。所以|x + 1 |+|x - 5 |的最小值是6。

經(jīng)驗(yàn)升級(jí)：求兩距離之和的最小值，首先將原式寫(xiě)成兩數(shù)差的絕對(duì)值；其次理解式子的幾何意義，借助數(shù)軸畫(huà)出定點(diǎn)；最后利用數(shù)形結(jié)合對(duì)動(dòng)點(diǎn)的不同位置分類討論，得出最短距離和即為所求最小值。

四、手摘星辰——探秘任務(wù)三：多個(gè)距離之和最小值

“多個(gè)距離之和”記作|x - a1|+|x - a2|+…+|x -an（|x 是未知數(shù)，a1、a2、……、an是常數(shù)），可以理解為數(shù)軸上表示x 的點(diǎn)（動(dòng)點(diǎn)）分別與表示a1、a2、……、an的點(diǎn)（定點(diǎn)）之間的距離之和。

例4求|x - 1 |+|x + 2 |+|x - 3 |的最小值。

【解析】原式寫(xiě)成兩數(shù)差的絕對(duì)值為|x - 1 |+|x -（-2）|+|x - 3 |，可以理解為數(shù)軸上表示x的點(diǎn)（動(dòng)點(diǎn)）分別與表示1、-2、3的點(diǎn)（定點(diǎn)）之間的距離之和。如圖7，因?yàn)閤 的不確定性，可以利用數(shù)軸畫(huà)出表示1、-2、3 的三個(gè)定點(diǎn)，然后分類討論，可得：當(dāng)x=1 時(shí)，|x - 1|+|x + 2 |+|x - 3 |的最小值是5。

圖7

例5求|x- 1 |+|x + 2 |+|x - 3 |+|x + 4 |的最小值。

【解析】數(shù)形結(jié)合分類討論后，如圖8 從數(shù)軸上可以看出最小值就是表示數(shù)-2和1兩點(diǎn)之間的距離與表示數(shù)-4和3兩點(diǎn)之間的距離之和，記作|-2 - 1 |+|-4 - 3 |=10。所以，當(dāng)x 在-2 與1 之間（包括-2 和1）時(shí)，|x - 1 |+|x + 2 |+|x - 3 |+|x + 4 |的最小值是10。

圖8

經(jīng)驗(yàn)升級(jí)：若數(shù)軸上有奇數(shù)個(gè)定點(diǎn)，則當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在最中間的定點(diǎn)時(shí)，原式有最小值，再借助數(shù)軸求出最小值；若數(shù)軸上有偶數(shù)個(gè)定點(diǎn)，則當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在最中間兩個(gè)定點(diǎn)之間（包括這兩點(diǎn)）時(shí)，原式有最小值，再借助數(shù)軸求出最小值。

在這場(chǎng)絕對(duì)值的探秘之旅過(guò)程中，“數(shù)軸”功不可沒(méi)，它帶領(lǐng)我們把一個(gè)非常抽象的問(wèn)題進(jìn)行了直觀展示，幫助我們理解了“絕對(duì)值”的本質(zhì)，數(shù)形結(jié)合貫穿于整個(gè)探秘之旅中。絕對(duì)值的探秘之旅告一段落，前方還有更加精彩的數(shù)學(xué)世界等著同學(xué)們?nèi)ヌ剿鳌?/p>