注重模型思想解決數(shù)學(xué)問題
——以《積相等（二）》一課為例

湯雷萍

模型思想是《數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》中十個核心詞之一，是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。在教學(xué)中怎樣讓學(xué)生經(jīng)歷模型思想的建立過程？怎樣讓學(xué)生學(xué)會用模型思想解決現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出的數(shù)學(xué)問題？這是這節(jié)課需要思考的核心問題。因此在教學(xué)設(shè)計中緊緊圍繞模型思想創(chuàng)設(shè)教學(xué)環(huán)節(jié)，將常見的工程問題、單價問題、速度問題緊緊與幾何模型相關(guān)聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生尋找具體情境中的數(shù)量關(guān)系，并通過與幾何模型建立聯(lián)系，體會并逐步建立模型思想。

【教學(xué)過程】

一、借助幾何圖形找模型

師：（出示1個正方形）老師變個魔術(shù)，（變成2個正方形）它們的大小是一樣的。現(xiàn)在我把①號正方形平均分成3份，②號正方形平均分成4份，你能根據(jù)圖寫出一個等量關(guān)系式嗎？

師：你們能看懂這個等量關(guān)系式嗎？誰能來解釋一下？

生：長方形乘3就是①號正方形，三角形乘4就是②號正方形，①號和②號是相等的，所以這個等式成立。

師：假如①號正方形中1個長方形表示8，則②號正方形中1個三角形表示多少？

生：先算出①號正方形，3×8=24，②號正方形和①號正方形一樣大，所以24÷4=6。（板書：3×8=24，24÷4=6）

師：利用剛才的等量關(guān)系，老師這樣寫能理解嗎？

（板書：8×3=△×4）

生：可以。1個△=8×3÷4=6。

【設(shè)計意圖：本節(jié)課的重點是讓學(xué)生能借助幾何圖形來建立積相等的數(shù)學(xué)模型，理解積相等關(guān)系，進而解決生活中的一類數(shù)學(xué)問題。教學(xué)先讓學(xué)生從兩個相等的正方形中尋找等量關(guān)系，寫出積相等的式子，再有意識地利用積相等關(guān)系去解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題。幾何直觀是解決問題強有力的工具之一，從幾何圖形的關(guān)系中引入，為學(xué)生解決問題提供表象和方法的支撐?！?/p>

二、探究問題，進一步建立模型思想

1.合作學(xué)習(xí)。

師：這節(jié)課我們繼續(xù)用積相等的知識來解決生活中的數(shù)學(xué)問題，請看問題，根據(jù)題目意思寫出等量關(guān)系式，再列式解答。

（1）出示題目：加工一批零件，師傅每天加工28個，3天可以完成。如果讓徒弟單獨加工需要4天才能完成，徒弟每天加工多少個零件？

（2）集中反饋學(xué)生的作業(yè)。

師：請先觀察這幾個等式，你同意嗎？你認為最能體現(xiàn)題目意思的是哪些等量關(guān)系式？

生：我不同意第②種方法，雖然這個數(shù)量關(guān)系公式是對的，但是沒有最佳體現(xiàn)題目意思，這也不是一個等量關(guān)系式。

生：我同意第③種方法，他用圖表示出了師傅3天做的總量=徒弟4天做的總量。

生：我同意第①種方法，師傅3天做的就等于徒弟4天做的，和第③種方法一樣。

生：我認為第④種方法也很好，和第①種方法意思相同。

師：也就是說，其實方法①③④要表達的意思是一樣的，那選一個關(guān)系式的話，我們選——

生：第④種方法，積相等的關(guān)系式。

【設(shè)計意圖：讓學(xué)生在具體情境中尋找并表征等量關(guān)系，在比較中得出積相等關(guān)系式，逐步滲透模型思想?！?/p>

師：（板書：師傅每天加工的×3天=徒弟每天加工的×4天）這又是一個積相等的關(guān)系式。請觀察，與剛才圖形中得到的積相等關(guān)系式比較，有什么聯(lián)系？

生：師傅每天加工的就相當于①號正方形中的1份，3天就是3份，而徒弟每天加工的則是②號正方形中的1份，4天就是4份。他們加工的總量是相等的。

生：（指著黑板板書說）①號正方形中的1個長方形就相當于師傅每天加工的28個，3個長方形就是3天；②號正方形中的1個三角形就相當于徒弟每天加工的數(shù)量，4個三角形就是4天，師傅和徒弟的總量是相等的。

【設(shè)計意圖：結(jié)合具體情境問題，把等量關(guān)系式與幾何圖形中的等量關(guān)系式進行對比，尋求關(guān)聯(lián)，溝通代數(shù)表達式和幾何模型，豐富學(xué)生對積相等的關(guān)系理解，并積累數(shù)量關(guān)系分析的經(jīng)驗和工具，有利于促進學(xué)生對數(shù)量關(guān)系的概括和推理。】

2.自主學(xué)習(xí)。

師：積相等的知識可以解決很多問題。先補充問題，再寫出等量關(guān)系式，最后解決問題。

出示：一筆錢可以買單價50元的A商品12件，B商品單價是60元，__________？

生：我找到等量關(guān)系式是：A商品單價×12件=B商品單價×（），它們的總價相等。所以先求總價，再除以單價就等于數(shù)量。

師：我們又得到了一個新的等量關(guān)系式，［板書：A商品單價×12件=B商品單價×（數(shù)量）］那么這個等量關(guān)系式跟剛才的幾何圖形中的等量關(guān)系有聯(lián)系嗎？

【設(shè)計意圖：學(xué)會學(xué)習(xí)就是學(xué)會遷移與應(yīng)用?；谥皩W(xué)習(xí)中掌握的知識和積累的經(jīng)驗，學(xué)生能比較容易地補充所求的問題，并且順利寫出數(shù)量關(guān)系的等式。學(xué)生能正確地補充問題，說明已掌握數(shù)量之間的積相等關(guān)系，能夠在水平變化的情境中進行識別和應(yīng)用?！?/p>

三、拓展練習(xí)，鞏固模型思想

1.自主編題：從杭州東站到上海虹橋機場，小汽車的速度是84千米/時，中巴車的速度是56千米/時，小汽車需要行駛2小時，中巴車需要行駛3小時。

學(xué)習(xí)要求：（1）根據(jù)提供的信息，把其中一個信息變成問題，編一道題目。（2）先寫等量關(guān)系，再解答。

2.尋求聯(lián)系：結(jié)合幾何圖形，說說有什么聯(lián)系？

【設(shè)計意圖：自主編題對數(shù)量關(guān)系的分析要求進一步提高，特別地，在不同的問題情境中講述相同數(shù)量關(guān)系的故事，需要一定的抽象能力。讓學(xué)生根據(jù)速度×?xí)r間=路程這個數(shù)量關(guān)系，路程一定，則可以得出“小汽車速度×2小時=中巴車速度×3小時”這個等量關(guān)系式，只要已知其中三個信息，則可以求出另一個信息。把講述不同故事的應(yīng)用問題與幾何圖形建立聯(lián)系，充分利用幾何直觀理解數(shù)學(xué)模型。】

3.結(jié)合板書，回顧：有人說，今天我們做了四道題目，有人說，其實我們只做了一道題。對此，你能說說自己的想法嗎？

（學(xué)生觀察思考后很快發(fā)現(xiàn)工程問題、單價問題和路程問題這三道題都可以和幾何圖形題聯(lián)系起來，都用了積相等的知識）

【設(shè)計意圖：歸納、概括出一類問題的統(tǒng)一模型，突顯積相等的模型，強化學(xué)生的模型思想。幾何直觀在模型思想的建立中發(fā)揮了獨特的作用?！?/p>