遞推數(shù)列的特征方程法探究

蔡軍軍

數(shù)列問(wèn)題在高考中有著非常重要的地位，其中數(shù)列求通項(xiàng)公式，通常作為各省市的高考?jí)狠S題出現(xiàn)。而遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式求解，往往令師生最為頭疼。那么，什么是遞推數(shù)列，包含哪些類(lèi)型.一般而言，數(shù)列求通項(xiàng)公式，都有哪些方法策略？下面，我對(duì)這幾方面做些研究、探索不足之處，敬請(qǐng)同行批評(píng)指正。

一、遞推數(shù)列的分類(lèi)

遞推數(shù)列，顧名思義是指可以通過(guò)遞推找出其規(guī)律的數(shù)列。用通俗的一句話(huà)來(lái)解釋“遞推”就是：知道他的過(guò)去，就知道他的現(xiàn)在.知道他的過(guò)去和現(xiàn)在，就知道他的將來(lái)。

根據(jù)遞推式不同，一般可將遞推數(shù)列分為以下4類(lèi)：

■

二、遞推數(shù)列的特征方程法引理

（一）一階線(xiàn)性遞推數(shù)列

引理1.已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=b，an+1=pan+q（p≠0且p≠1，p，q是常數(shù)），稱(chēng)方程x=px+q為數(shù)列{an}的特征方程，設(shè)特征方程的根為x0，則①當(dāng)x0=a1時(shí)，數(shù)列{an}為常數(shù)列；②當(dāng)x0≠a1時(shí)，數(shù)列{an-x0}是以p（p≠0）為公比的等比數(shù)列.

簡(jiǎn)證：設(shè)特征方程x=px+q，得根為x0=■，

又an+1=pan+q （1）x0=px0+q （2），由（1）-（2）得，an+1-x0=p（an-x0），

若a1=x0=■，則a1=a2=a3=……=an=■，即數(shù)列{an}為常數(shù)列；

若a1≠x0，則■=■=p（非零常數(shù)），即數(shù)列{an-x0}是以p為公比的等比數(shù)列，證畢。

（二）二階線(xiàn)性遞推數(shù)列

引理2.已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+2=pan+1+qan（p≠1，p，q是常數(shù)），a1=a，a2=b，稱(chēng)方程x2=px+q為數(shù)列{an}的特征方程，設(shè)特征方程的根為x1，x2。則①當(dāng)x1≠x2時(shí)，數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an=c1x1n+c2x2n，其中c1，c2由初始值決定；②當(dāng)x1=x2時(shí)，數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an=（c1+c2n）x1n，其中c1，c2由初始值決定。

簡(jiǎn)證：設(shè)特征方程x2=px+q有兩個(gè)根為x1，x2，則

x1+x2=px1·x2=-q，故由an+2=pan+1+qan得，an+2=（x1+x2）an+1-（x1·x2）an，

即an+2-x1an+1=x2（an+1-x1an）。所以，an-x1an-1=x2（an-1-x1an-2）

利用迭代得：

an-x1an-1=x2（an-1-x1an-2）所以an-x1an-1=x2n-2（a2-x1a1）

=x22（an-2-x1an-3） ■=■

=……

=x2n-2（a2-x1a1） 即■-■=■（a2-x1a1）

再次利用迭代得：

■=■+■（a2-x1a1）

=■+■（a2-x1a1）+■（a2-x1a1）

=……

=■+（a2-x1a1）（■+■+■+……+■）

若x1≠x2，則■=■+（a2-x1a1）■

整理得，an=■x1n+■x2n

設(shè)c1=■，c2=■，則an=c1x1n+c2x2n。

若x1=x2，則由■=■+（a2-x1a1）（■+■+■+……+■）得，

an=[（■+x1a1-a2）+（a2-x1a1）n]x1n

設(shè)c1=■+x1a1-a2，c2=a2-x1a1，an=（c1+c2n）x1n，證畢。

（三）一次分式遞推數(shù)列

引理3.已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+1=■（p，q，r，h∈R，且ph≠qr，r≠0，a1≠-■），則稱(chēng)方程x=■為數(shù)列{an}的特征方程，設(shè)特征方程的根為x1，x2。則①當(dāng)x1≠x2且x1≠a1時(shí)，則數(shù)列{■}為等比數(shù)列.②當(dāng)x1=x2時(shí)，若a1=x1，則數(shù)列{an}為常數(shù)列；若a1≠x1，則數(shù)列{■}為等差數(shù)列。

簡(jiǎn)證：設(shè)特征方程x=■有兩個(gè)根為x1，x2，

特征方程整理為rx2+（h-p）x-q=0，故x1+x2=■x1x2=-■

當(dāng)x1≠x2且x1≠a1時(shí)，不妨設(shè)■=k■（其中k為待定系數(shù)）

由■=k■，解得：an+1=■

與an+1=■比較可得：

x1-kx2=p，（k-1）x1x2=q，1-k=r，kx1-x2=h

上面四個(gè)等式再結(jié)合x(chóng)1+x2=■x1x2=-■進(jìn)行驗(yàn)證，得出結(jié)論是正確的。

所以■=k■是存在的，并且k=1-r。

所以，當(dāng)x1≠x2且x1≠a1時(shí)，則數(shù)列{■}為等比數(shù)列得證。

同理易證當(dāng)x1=x2時(shí)，若a1=x1，則數(shù)列{an}為常數(shù)列；

若a1≠x1，則數(shù)列{■}為等差數(shù)列.

（四）二元一階線(xiàn)性遞推數(shù)列

引理4.已知數(shù)列{an}，{bn}滿(mǎn)足an+1=pan+qbnbn+1=ran+hbn，則數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式求解，可轉(zhuǎn)化為二階線(xiàn)性遞推數(shù)列來(lái)進(jìn)行通項(xiàng)公式的求解。

簡(jiǎn)證：由于an+2=pan+1+qbn+1

=pan+1+q（ran+hbn）

=pan+1+q（ran+h■）

=（p+h）an+1+（qr-hp）an

同理，bn+2=（p+h）bn+1+（qr-hp）bn

所以，二元一階線(xiàn)性遞推數(shù)列可轉(zhuǎn)化為二階線(xiàn)性遞推數(shù)列解決。

三、遞推數(shù)列在高考中的考查

遞推數(shù)列綜合性試題，頻繁出現(xiàn)在高考?jí)狠S題的位置。譬如下面幾道數(shù)列高考題，可用特征方程解答：

題目1.（2008年廣東文）設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1，a2=2，an=■（an-1+2an-2）（n=3，4，…）。數(shù)列{bn}滿(mǎn)足b1=1，bn（n=2，3，…）是非零整數(shù)，且對(duì)任意的正整數(shù)m和自然數(shù)k，都有-1≤bm+bm+1+…+bm+k≤1。

（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；

（2）記cn=nanbn（b=1，2，…），求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn。

解：（1）問(wèn)中，二階線(xiàn)性遞推數(shù)列{an}通項(xiàng)公式的求解：

數(shù)列{an}的特征方程為x2-■x-■=0，解得特征根x1=1，x2=-■，

故可設(shè)an=c1x1n+c2x2n=c1+c2（-■）n

再由a1=1，a2=2代入得1=c1-■c22=c1+■c2，

所以c1=■，c2=■。

所以an=■+■（-■）n。

題目2.（2009年陜西文）已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足，a1=1，a2=2，an+2=■，n∈N*。

（1）令bn=an+1-an，證明：{bn}是等比數(shù)列；

（2）求{an}的通項(xiàng)公式。

解：（2）問(wèn)中，二階線(xiàn)性遞推數(shù)列{an}通項(xiàng)公式的求解：

數(shù)列{an}的特征方程為x2=■，

解得特征根x1=1，x2=-■

故可設(shè)an=c1x1n+c2x2n=c1+c2（-■）n

再由a1=1，a2=2代入得1=c1-■c22=c1+■c2，

所以c1=■，c2=■。

所以an=■+■（-■）n。

題目3.（2008年陜西理）已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=■，an+1=■，n=1，2，…。

（1）求{an}的通項(xiàng)公式；

（2）證明：對(duì)任意的x>0，an≥■-■（■-x），n=1，2，…；

（3）證明：a1+a2+…+an>■。

解：（1）問(wèn)中，一次分式遞推數(shù)列{an}通項(xiàng)公式的求解：

數(shù)列{an}的特征方程為x=■，

解得特征根x1=1，x2=0，

所以數(shù)列{■}為等比數(shù)列。

再由a1=■，a2=■解得：等比數(shù)列{■}的首項(xiàng)是-■，公比是■，

所以■=-■·■，從而解出an=■。

題目4.（2009年江西理）各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}，a1=a，a2=b，且對(duì)滿(mǎn)足m+n=p+q的正整數(shù)m，n，p，q，都有■=■。

（1）當(dāng)a=■，b=■時(shí)，求通項(xiàng)an；

（2）證明：對(duì)任意a，存在與a有關(guān)的常數(shù)λ，使得對(duì)于每個(gè)正整數(shù)a，都有■≤an≤λ。

解：（1）由■=■得

■=■將a1=■，a2=■代入化簡(jiǎn)得an=■。

所以數(shù)列{an}為一次分式遞推數(shù)列，

其特征方程為x=■，

求解出特征根是x1=1，x2=-1，

故數(shù)列{■}為等比數(shù)列。

再由a1=■，a2=■，得等比數(shù)列{■}的首項(xiàng)是-■，公比是■，

所以■=-■·■=-（■）n，從而解出an=■。

通過(guò)上面4個(gè)高考題目，可以看出，特征方程法用于求解遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式非常簡(jiǎn)便。不論什么樣基礎(chǔ)的學(xué)生，也完全可以用該方法解決高考中相對(duì)較難的遞推數(shù)列壓軸題.若能結(jié)合實(shí)際情況，有選擇地教會(huì)學(xué)生使用特征方程法，解決相關(guān)數(shù)列問(wèn)題，一定能使學(xué)生獲益匪淺，決勝高考。

四、數(shù)列求通項(xiàng)公式之想法

關(guān)于數(shù)列求通項(xiàng)公式的方法、策略，在各類(lèi)數(shù)學(xué)教育雜志上層出不窮.筆者整理，歸納主要有如下幾種類(lèi)型及應(yīng)對(duì)的策略：

■

關(guān)于如何求解數(shù)列求通項(xiàng)公式問(wèn)題，并不能窮盡所有方法。高三復(fù)習(xí)也不應(yīng)該采取題海戰(zhàn)術(shù)來(lái)應(yīng)對(duì)高考，否則事倍功半.萬(wàn)變不離其宗，還是應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生回歸概念。教材當(dāng)中只介紹了等差數(shù)列（an+1-an=d）和等比數(shù)列（■=q）兩種常規(guī)數(shù)列，那么為什么沒(méi)介紹其他方法來(lái)求解非常規(guī)數(shù)列問(wèn)題呢？其實(shí)，條件滿(mǎn)足形如an+1-an=f（n）的數(shù)列不就是等差數(shù)列的廣義形式嗎？而■=f（n）亦是等比數(shù)列的廣義形式。回頭反思一下，上面的各種求解數(shù)列通項(xiàng)公式的方法，無(wú)不是通過(guò)各種技巧進(jìn)行構(gòu)造變換，再轉(zhuǎn)化為an+1-an=f（n）或■=f（n）的形式，最終化歸為等差數(shù)列或等比數(shù)列來(lái)求解通項(xiàng)公式。正是應(yīng)了李邦河院士那句名言：數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧的，技巧不足道也！所以，在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中，我們更應(yīng)該教給學(xué)生解決求通項(xiàng)公式的一種思想，而不是簡(jiǎn)單的一兩種技巧性的東西.這樣，學(xué)生才能在面對(duì)各種數(shù)列求通項(xiàng)公式問(wèn)題時(shí)，做到游刃有余，事半功倍。（責(zé)任編輯：張華偉）

題目1.（2008年廣東文）設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1，a2=2，an=■（an-1+2an-2）（n=3，4，…）。數(shù)列{bn}滿(mǎn)足b1=1，bn（n=2，3，…）是非零整數(shù)，且對(duì)任意的正整數(shù)m和自然數(shù)k，都有-1≤bm+bm+1+…+bm+k≤1。

（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；

（2）記cn=nanbn（b=1，2，…），求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn。

解：（1）問(wèn)中，二階線(xiàn)性遞推數(shù)列{an}通項(xiàng)公式的求解：

數(shù)列{an}的特征方程為x2-■x-■=0，解得特征根x1=1，x2=-■，

故可設(shè)an=c1x1n+c2x2n=c1+c2（-■）n

再由a1=1，a2=2代入得1=c1-■c22=c1+■c2，

所以c1=■，c2=■。

所以an=■+■（-■）n。

題目2.（2009年陜西文）已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足，a1=1，a2=2，an+2=■，n∈N*。

（1）令bn=an+1-an，證明：{bn}是等比數(shù)列；

（2）求{an}的通項(xiàng)公式。

解：（2）問(wèn)中，二階線(xiàn)性遞推數(shù)列{an}通項(xiàng)公式的求解：

數(shù)列{an}的特征方程為x2=■，

解得特征根x1=1，x2=-■

故可設(shè)an=c1x1n+c2x2n=c1+c2（-■）n

再由a1=1，a2=2代入得1=c1-■c22=c1+■c2，

所以c1=■，c2=■。

所以an=■+■（-■）n。

題目3.（2008年陜西理）已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=■，an+1=■，n=1，2，…。

（1）求{an}的通項(xiàng)公式；

（2）證明：對(duì)任意的x>0，an≥■-■（■-x），n=1，2，…；

（3）證明：a1+a2+…+an>■。

解：（1）問(wèn)中，一次分式遞推數(shù)列{an}通項(xiàng)公式的求解：

數(shù)列{an}的特征方程為x=■，

解得特征根x1=1，x2=0，

所以數(shù)列{■}為等比數(shù)列。

再由a1=■，a2=■解得：等比數(shù)列{■}的首項(xiàng)是-■，公比是■，

所以■=-■·■，從而解出an=■。

題目4.（2009年江西理）各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}，a1=a，a2=b，且對(duì)滿(mǎn)足m+n=p+q的正整數(shù)m，n，p，q，都有■=■。

（1）當(dāng)a=■，b=■時(shí)，求通項(xiàng)an；

（2）證明：對(duì)任意a，存在與a有關(guān)的常數(shù)λ，使得對(duì)于每個(gè)正整數(shù)a，都有■≤an≤λ。

解：（1）由■=■得

■=■將a1=■，a2=■代入化簡(jiǎn)得an=■。

所以數(shù)列{an}為一次分式遞推數(shù)列，

其特征方程為x=■，

求解出特征根是x1=1，x2=-1，

故數(shù)列{■}為等比數(shù)列。

再由a1=■，a2=■，得等比數(shù)列{■}的首項(xiàng)是-■，公比是■，

所以■=-■·■=-（■）n，從而解出an=■。

通過(guò)上面4個(gè)高考題目，可以看出，特征方程法用于求解遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式非常簡(jiǎn)便。不論什么樣基礎(chǔ)的學(xué)生，也完全可以用該方法解決高考中相對(duì)較難的遞推數(shù)列壓軸題.若能結(jié)合實(shí)際情況，有選擇地教會(huì)學(xué)生使用特征方程法，解決相關(guān)數(shù)列問(wèn)題，一定能使學(xué)生獲益匪淺，決勝高考。

四、數(shù)列求通項(xiàng)公式之想法

關(guān)于數(shù)列求通項(xiàng)公式的方法、策略，在各類(lèi)數(shù)學(xué)教育雜志上層出不窮.筆者整理，歸納主要有如下幾種類(lèi)型及應(yīng)對(duì)的策略：

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關(guān)于如何求解數(shù)列求通項(xiàng)公式問(wèn)題，并不能窮盡所有方法。高三復(fù)習(xí)也不應(yīng)該采取題海戰(zhàn)術(shù)來(lái)應(yīng)對(duì)高考，否則事倍功半.萬(wàn)變不離其宗，還是應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生回歸概念。教材當(dāng)中只介紹了等差數(shù)列（an+1-an=d）和等比數(shù)列（■=q）兩種常規(guī)數(shù)列，那么為什么沒(méi)介紹其他方法來(lái)求解非常規(guī)數(shù)列問(wèn)題呢？其實(shí)，條件滿(mǎn)足形如an+1-an=f（n）的數(shù)列不就是等差數(shù)列的廣義形式嗎？而■=f（n）亦是等比數(shù)列的廣義形式。回頭反思一下，上面的各種求解數(shù)列通項(xiàng)公式的方法，無(wú)不是通過(guò)各種技巧進(jìn)行構(gòu)造變換，再轉(zhuǎn)化為an+1-an=f（n）或■=f（n）的形式，最終化歸為等差數(shù)列或等比數(shù)列來(lái)求解通項(xiàng)公式。正是應(yīng)了李邦河院士那句名言：數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧的，技巧不足道也！所以，在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中，我們更應(yīng)該教給學(xué)生解決求通項(xiàng)公式的一種思想，而不是簡(jiǎn)單的一兩種技巧性的東西.這樣，學(xué)生才能在面對(duì)各種數(shù)列求通項(xiàng)公式問(wèn)題時(shí)，做到游刃有余，事半功倍。（責(zé)任編輯：張華偉）

題目1.（2008年廣東文）設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1，a2=2，an=■（an-1+2an-2）（n=3，4，…）。數(shù)列{bn}滿(mǎn)足b1=1，bn（n=2，3，…）是非零整數(shù)，且對(duì)任意的正整數(shù)m和自然數(shù)k，都有-1≤bm+bm+1+…+bm+k≤1。

（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；

（2）記cn=nanbn（b=1，2，…），求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn。

解：（1）問(wèn)中，二階線(xiàn)性遞推數(shù)列{an}通項(xiàng)公式的求解：

數(shù)列{an}的特征方程為x2-■x-■=0，解得特征根x1=1，x2=-■，

故可設(shè)an=c1x1n+c2x2n=c1+c2（-■）n

再由a1=1，a2=2代入得1=c1-■c22=c1+■c2，

所以c1=■，c2=■。

所以an=■+■（-■）n。

題目2.（2009年陜西文）已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足，a1=1，a2=2，an+2=■，n∈N*。

（1）令bn=an+1-an，證明：{bn}是等比數(shù)列；

（2）求{an}的通項(xiàng)公式。

解：（2）問(wèn)中，二階線(xiàn)性遞推數(shù)列{an}通項(xiàng)公式的求解：

數(shù)列{an}的特征方程為x2=■，

解得特征根x1=1，x2=-■

故可設(shè)an=c1x1n+c2x2n=c1+c2（-■）n

再由a1=1，a2=2代入得1=c1-■c22=c1+■c2，

所以c1=■，c2=■。

所以an=■+■（-■）n。

題目3.（2008年陜西理）已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=■，an+1=■，n=1，2，…。

（1）求{an}的通項(xiàng)公式；

（2）證明：對(duì)任意的x>0，an≥■-■（■-x），n=1，2，…；

（3）證明：a1+a2+…+an>■。

解：（1）問(wèn)中，一次分式遞推數(shù)列{an}通項(xiàng)公式的求解：

數(shù)列{an}的特征方程為x=■，

解得特征根x1=1，x2=0，

所以數(shù)列{■}為等比數(shù)列。

再由a1=■，a2=■解得：等比數(shù)列{■}的首項(xiàng)是-■，公比是■，

所以■=-■·■，從而解出an=■。

題目4.（2009年江西理）各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}，a1=a，a2=b，且對(duì)滿(mǎn)足m+n=p+q的正整數(shù)m，n，p，q，都有■=■。

（1）當(dāng)a=■，b=■時(shí)，求通項(xiàng)an；

（2）證明：對(duì)任意a，存在與a有關(guān)的常數(shù)λ，使得對(duì)于每個(gè)正整數(shù)a，都有■≤an≤λ。

解：（1）由■=■得

■=■將a1=■，a2=■代入化簡(jiǎn)得an=■。

所以數(shù)列{an}為一次分式遞推數(shù)列，

其特征方程為x=■，

求解出特征根是x1=1，x2=-1，

故數(shù)列{■}為等比數(shù)列。

再由a1=■，a2=■，得等比數(shù)列{■}的首項(xiàng)是-■，公比是■，

所以■=-■·■=-（■）n，從而解出an=■。

通過(guò)上面4個(gè)高考題目，可以看出，特征方程法用于求解遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式非常簡(jiǎn)便。不論什么樣基礎(chǔ)的學(xué)生，也完全可以用該方法解決高考中相對(duì)較難的遞推數(shù)列壓軸題.若能結(jié)合實(shí)際情況，有選擇地教會(huì)學(xué)生使用特征方程法，解決相關(guān)數(shù)列問(wèn)題，一定能使學(xué)生獲益匪淺，決勝高考。

四、數(shù)列求通項(xiàng)公式之想法

關(guān)于數(shù)列求通項(xiàng)公式的方法、策略，在各類(lèi)數(shù)學(xué)教育雜志上層出不窮.筆者整理，歸納主要有如下幾種類(lèi)型及應(yīng)對(duì)的策略：

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關(guān)于如何求解數(shù)列求通項(xiàng)公式問(wèn)題，并不能窮盡所有方法。高三復(fù)習(xí)也不應(yīng)該采取題海戰(zhàn)術(shù)來(lái)應(yīng)對(duì)高考，否則事倍功半.萬(wàn)變不離其宗，還是應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生回歸概念。教材當(dāng)中只介紹了等差數(shù)列（an+1-an=d）和等比數(shù)列（■=q）兩種常規(guī)數(shù)列，那么為什么沒(méi)介紹其他方法來(lái)求解非常規(guī)數(shù)列問(wèn)題呢？其實(shí)，條件滿(mǎn)足形如an+1-an=f（n）的數(shù)列不就是等差數(shù)列的廣義形式嗎？而■=f（n）亦是等比數(shù)列的廣義形式?；仡^反思一下，上面的各種求解數(shù)列通項(xiàng)公式的方法，無(wú)不是通過(guò)各種技巧進(jìn)行構(gòu)造變換，再轉(zhuǎn)化為an+1-an=f（n）或■=f（n）的形式，最終化歸為等差數(shù)列或等比數(shù)列來(lái)求解通項(xiàng)公式。正是應(yīng)了李邦河院士那句名言：數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧的，技巧不足道也！所以，在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中，我們更應(yīng)該教給學(xué)生解決求通項(xiàng)公式的一種思想，而不是簡(jiǎn)單的一兩種技巧性的東西.這樣，學(xué)生才能在面對(duì)各種數(shù)列求通項(xiàng)公式問(wèn)題時(shí)，做到游刃有余，事半功倍。（責(zé)任編輯：張華偉）