基于稀疏恢復(fù)的自適應(yīng)角度多普勒補(bǔ)償方法

郭藝奪，宮 健

(空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院，陜西西安 710051)

0 引言

空時(shí)自適應(yīng)處理(Space Time Adaptive Processing, STAP)[1-2]方法能夠抑制地面雜波，檢測(cè)慢速目標(biāo)，其雜波抑制性能取決于由訓(xùn)練樣本單元估計(jì)的雜波協(xié)方差的準(zhǔn)確度。在實(shí)際中，待測(cè)單元的雜波協(xié)方差是由與待測(cè)單元獨(dú)立同分布(Independent Identically Distributed, IID)的訓(xùn)練樣本單元估計(jì)得到的，但在機(jī)載非正側(cè)陣?yán)走_(dá)系統(tǒng)中，雜波多普勒頻率和空間頻率具有嚴(yán)重的距離相關(guān)性，尤其是近程條件下，距離相關(guān)性更加顯著，使得訓(xùn)練樣本單元與待測(cè)單元波分布不滿足IID條件[3-4]，進(jìn)而無法以訓(xùn)練樣本單元來準(zhǔn)確估計(jì)待測(cè)單元的雜波協(xié)方差矩陣，使得STAP方法的雜波抑制性能下降，無法有效檢測(cè)慢速目標(biāo)。

補(bǔ)償距離相關(guān)性的方法有很多，包括多普勒彎曲(Doppler Warping, DW)[5]、角度多普勒補(bǔ)償(Angle Doppler Compensation, ADC)[6]、空時(shí)內(nèi)插補(bǔ)償(Space Time Interpolating Technique, STINT)[7]和基于配準(zhǔn)補(bǔ)償(Registration Based Compensation, RBC)[8]等方法。自適應(yīng)角度多普勒補(bǔ)償(Adaptive Angle Doppler Compensation, A2DC)方法[9]及其改進(jìn)方法[10]是一種補(bǔ)償非正側(cè)陣?yán)走_(dá)雜波距離相關(guān)性的常用方法。該方法利用雷達(dá)雜波回波數(shù)據(jù)通過子孔徑平滑估計(jì)雜波主特征向量的最小方差無失真響應(yīng)(Minimum Variance Distortionless Response, MVDR)譜，基于此估計(jì)訓(xùn)練樣本單元和待測(cè)單元的雜波譜中心位置，然后將訓(xùn)練樣本單元的雜波譜中心分別沿角度和多普勒方向平移，使得平移后訓(xùn)練樣本單元的MVDR譜中心與待檢測(cè)單元的MVDR譜中心重合。由于該方法利用雷達(dá)雜波回波數(shù)據(jù)自適應(yīng)計(jì)算各訓(xùn)練樣本單元的轉(zhuǎn)換矩陣，因此可有效降低了載機(jī)平臺(tái)提供的飛行配置參數(shù)誤差對(duì)補(bǔ)償性能造成的影響。

然而，A2DC方法估計(jì)的雜波分布特性是基于子孔徑平滑獲得的，孔徑損失使得空時(shí)譜分辨率有一定程度的損失，系統(tǒng)自由度(Degree of Freedom, DOF)下降，影響后續(xù)補(bǔ)償過程性能，導(dǎo)致變換后的各訓(xùn)練樣本單元平穩(wěn)性下降，雜波抑制性能受限。此外，A2DC方法在計(jì)算各距離單元雜波的主特征向量的MVDR譜中心位置時(shí)，通常先要利用特征分解求得各距離單元雜波協(xié)方差矩陣的主特征向量，而典型的矩陣特征分解方法如特征值分解和奇異值分解算法的運(yùn)算量都非常大，這使得A2DC方法實(shí)現(xiàn)起來較為復(fù)雜，限制了其應(yīng)用。文獻(xiàn)[10]利用投影逼近子空間追蹤(Projection Approximation Subspace Tracking，PAST)方法解決A2DC方法運(yùn)算量大的問題，但PAST方法并不是全局收斂的，可能陷入局部極小點(diǎn)而無法得到全局最優(yōu)解。

針對(duì)上述問題，本文提出了基于稀疏恢復(fù)(Sparse Recovery, SR)[11]的A2DC方法——SR-A2DC方法。該方法首先對(duì)不同距離單元的回波數(shù)據(jù)進(jìn)行稀疏恢復(fù)，得到雜波空時(shí)分布譜，并計(jì)算雜波協(xié)方差矩陣，已避免常規(guī)A2DC方法孔徑損失帶來的影響；然后利用正交近似投影子空間追蹤(Orthogonal PAST, OPAST)[12]方法估計(jì)不同距離單元的雜波主特征向量，降低運(yùn)算量；最后估計(jì)主特征向量的空間頻率和多普勒頻率，計(jì)算空時(shí)轉(zhuǎn)換矩陣，將訓(xùn)練樣本單元回波數(shù)據(jù)與待測(cè)單元的回波數(shù)據(jù)進(jìn)行配準(zhǔn)。理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)表明，該方法可以實(shí)現(xiàn)雜波距離相關(guān)性的自適應(yīng)補(bǔ)償，提高主瓣雜波的補(bǔ)償效果，減少運(yùn)算量，在存在誤差時(shí)也能獲得較好的處理性能。

1 雜波模型及A2DC方法

1.1 雜波模型

機(jī)載雷達(dá)第l個(gè)距離單元的雜波數(shù)據(jù)由該距離單元上的多個(gè)離散雜波塊疊加而成：

(1)

式中，P為離散雜波塊個(gè)數(shù)，σi為第i個(gè)雜波塊對(duì)應(yīng)的復(fù)幅度，wt和ws分別為雜波的歸一化多普勒頻率和空間頻率，Si為對(duì)應(yīng)的空時(shí)二維導(dǎo)向矢量：

Si(wt,ws)=St,i(wt,i)?Ss,i(ws,i)

(2)

式中，St,i和Ss,i分別為時(shí)域?qū)蚴噶亢涂沼驅(qū)蚴噶浚?/p>

(3)

式中，wt,i=2πfd,i/fprf，ws,i=2πdfs,i/λ，N和K分別為天線陣元數(shù)和相干脈沖數(shù)，fd,i和fs,i分別為雜波對(duì)應(yīng)的多普勒頻率和空間頻率，d和λ分別為陣元間距和波長。

非正側(cè)陣?yán)走_(dá)雜波的多普勒頻率和空間頻率與俯仰角和方位角的耦合關(guān)系為

(4)

fs,i=cosφicosθi

(5)

式中，θi和φi分別為雜波對(duì)應(yīng)的方位角和俯仰角，v0為載機(jī)速度，θp為天線陣面與載機(jī)速度之間的夾角。

1.2 A2DC方法

A2DC方法首先以空域和時(shí)域的孔徑損失為代價(jià)估計(jì)各距離單元的雜波協(xié)方差矩陣；接著對(duì)估計(jì)得到的雜波協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解，得到主特征向量，然后計(jì)算各個(gè)距離單元主特征向量的MVDR譜中心位置；最后以待測(cè)單元為基準(zhǔn)，通過角度和多普勒平移，使得各訓(xùn)練樣本單元主特征向量的MVDR譜中心與待測(cè)單元主特征向量的MVDR譜中心重合。其具體實(shí)現(xiàn)步驟如下。

第一步，利用子孔徑平滑法獲得該距離單元的雜波協(xié)方差矩陣。

子孔徑平滑法首先將第l個(gè)距離單元的雷達(dá)回波數(shù)據(jù)Xl∈CNK×1變換成矩陣Xl∈CN×K：

(6)

設(shè)空域子孔徑和時(shí)域子孔徑分別為P和Q，對(duì)Xl進(jìn)行空時(shí)平滑可以得到D=(N-P+1)·(K-Q+1)個(gè)子矩陣Xu,v∈CP×Q為

(7)

式中：u=1,2,…,N+P-1；v=1,2,…,K-Q+1。

由子孔徑平滑得到的雜波回波數(shù)據(jù)子矩陣，可估計(jì)第l個(gè)距離單元回波的協(xié)方差矩陣Rsl∈CPQ×PQ為

(8)

其中，Vec(Xu,v)表示將矩陣Xu,v的第2列置于第1列的下面，第3列置于第2列的下面，以此類推，使矩陣Xu,v變?yōu)橐涣邢蛄?。D的值應(yīng)不小于雜波協(xié)方差矩陣Rl的列數(shù)，即D≥PQ，以確保Rl為滿秩矩陣。

第二步，對(duì)雜波協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征值分解，得到相應(yīng)的主特征向量。

在得到各距離單元的雜波協(xié)方差矩陣估計(jì)后，A2DC方法利用特征值分解求得雜波協(xié)方差矩陣Rl的最大特征值λl,max及其對(duì)應(yīng)的最大特征向量hl,max。

第三步，根據(jù)主特征向量的相位信息估計(jì)得到主特征向量的MVDR譜中心的多普勒頻率和空間頻率。

主特征向量的MVDR譜中心的位置可以通過二維峰值搜索計(jì)算得到，也可以直接通過主特征向量的相位信息估計(jì)得到。后者需要估計(jì)雜波協(xié)方差矩陣Rl的主特征向量的空間相位斜率κl,s和時(shí)間相位斜率κl,t，利用它們與空間頻率和多普勒頻率的線性關(guān)系計(jì)算主特征向量的MVDR譜中心的多普勒頻率fl,d和空間頻率fl,s。

(9)

第四步，計(jì)算訓(xùn)練單元與待測(cè)單元主特征向量MVDR譜中心的多普勒頻率和空間頻率之間的差值為

(10)

接著，根據(jù)訓(xùn)練樣本單元和待測(cè)單元的MVDR譜中心的多普勒頻率和空間頻率，計(jì)算各個(gè)訓(xùn)練樣本單元的空時(shí)轉(zhuǎn)換矩陣TA2DC,l，對(duì)訓(xùn)練樣本單元接收回波數(shù)據(jù)進(jìn)行補(bǔ)償，其中，第l個(gè)訓(xùn)練單元的轉(zhuǎn)換矩陣為

TA2DC,l=Ttl?Tsl

(11)

式中，

(12)

(13)

經(jīng)過A2DC補(bǔ)償后的第l個(gè)距離單元的雷達(dá)回波數(shù)據(jù)為

(14)

2 SR-A2DC方法

由以上分析可知，A2DC方法可以自適應(yīng)實(shí)現(xiàn)雜波距離相關(guān)性補(bǔ)償，但該方法需要對(duì)雜波協(xié)方差矩陣Rl進(jìn)行特征分解，使得計(jì)算空時(shí)轉(zhuǎn)換矩陣TA2DC,l的運(yùn)算量巨大，且由于孔徑損失，Rl的估計(jì)準(zhǔn)確度不高，以上兩點(diǎn)使得A2DC方法的應(yīng)用受限。

2.1 基于稀疏的雜波協(xié)方差矩陣求解

由式(1)可知，機(jī)載雷達(dá)回波數(shù)據(jù)是由不同空間頻率和多普勒頻率的回波數(shù)據(jù)疊加而成的，將空間頻率和多普勒頻率分別遍歷并離散為Ns=ρsN，Nd=ρdN個(gè)分辨單元，則第l個(gè)距離單元的雜波回波數(shù)據(jù)可以表示為

(15)

式中，ρs和ρd分別表示空間頻率和多普勒頻率的離散化程度，在高分辨情況下一般遠(yuǎn)大于1；Sq(wt,q,ws,q)為第q個(gè)空時(shí)導(dǎo)向矢量，γq為其對(duì)應(yīng)的復(fù)幅度，wt,q和ws,q為對(duì)應(yīng)的多普勒頻率和空間頻率；αl=[αl,1,αl,2,…,αl,NsNd]代表雷達(dá)回波數(shù)據(jù)在空間頻率-多普勒頻率域上的幅度分布，即雜波空時(shí)譜；Ψ為超完備基矩陣：

(16)

估計(jì)雜波空時(shí)譜等同于在方程(15)中已知Xk和Ψ而求解αl。由于Ψ的列數(shù)NsNd遠(yuǎn)大于行數(shù)NK，因此方程(15)屬于欠定方程，存在多個(gè)可能解。根據(jù)稀疏恢復(fù)理論，當(dāng)雜波空時(shí)譜αl具有稀疏性時(shí)，欠定方程可以較高的概率求解。

針對(duì)上述問題的求解方法主要有3種，即凸優(yōu)化方法[13]、FOCUSS算法[14]和MP算法[15]，其中，F(xiàn)OCUSS算法不利用可能存在誤差的先驗(yàn)知識(shí)，采用后驗(yàn)知識(shí)迭代加權(quán)，使解的能量逐步集中，可以避免誤差帶來的不利影響，且FOCUSS算法在初值設(shè)置合理時(shí)通?？色@取較好的譜估計(jì)性能，同時(shí)運(yùn)算量相比范數(shù)最小化方法大大降低。因此綜合考慮算法性能和運(yùn)算量，本文選擇FOCUSS算法進(jìn)行計(jì)算。

實(shí)際中，僅利用待測(cè)單元恢復(fù)得到的雜波空時(shí)譜與真實(shí)雜波空時(shí)譜相比存在一定差異，一方面，如果待測(cè)單元中存在目標(biāo)，則后續(xù)的處理會(huì)將目標(biāo)同時(shí)抑制；另一方面，稀疏恢復(fù)估計(jì)的雜波空時(shí)譜存在過于稀疏的問題。為了更準(zhǔn)確地表示雜波空時(shí)譜分布，一般采用對(duì)臨近訓(xùn)練樣本單元稀疏恢復(fù)進(jìn)行平均的方法。需要特別強(qiáng)調(diào)的是，訓(xùn)練樣本單元必須選擇與待測(cè)單元相鄰，以保證雜波近似獨(dú)立同分布。

對(duì)式(15)進(jìn)行求解，得到雜波的空時(shí)譜分布αl，則可獲得對(duì)應(yīng)的雜波協(xié)方差矩陣估計(jì)：

Sq(wt,q,ws,q)H

(17)

式中，αq為雜波空時(shí)譜估計(jì)在第q個(gè)位置上的雜波復(fù)幅度；Sq(wt,q,ws,q)為第q個(gè)空時(shí)導(dǎo)向矢量。

2.2 引入OPAST算法估計(jì)雜波主特征向量

A2DC方法的第二步是對(duì)雜波協(xié)方差矩陣進(jìn)行分解得到主特征向量，但是傳統(tǒng)的特征分解方法如特征值分解和奇異值分解等，雖然性能優(yōu)越，但運(yùn)算量大，特別是對(duì)于大線陣而言，不利于實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)?？焖僮涌臻g跟蹤方法是一種新的特征值分解方法，其中PAST和PASTd算法收斂速度快，誤差小，但該方法不是全局收斂的，而正交PAST(OPAST)算法相比PAST算法，在運(yùn)算量增加不多的情況下，可以保證全局收斂。本文利用OPAST算法對(duì)雜波協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征值分解，獲得主特征向量，以降低A2DC方法的運(yùn)算量。

OPAST算法將特征子空間的確定轉(zhuǎn)化為一種無約束的最優(yōu)化問題進(jìn)行求解，定義的無約束代價(jià)函數(shù)為

(18)

式中，Rl為第l個(gè)距離單元的雜波協(xié)方差矩陣估計(jì)，矩陣變?cè)猈l∈NK×r(r≤NK)，Tr(·)表示矩陣的跡。

在利用遞推最小二乘算法求解代價(jià)函數(shù)的全局最小值時(shí)，為保證全局收斂和矩陣變?cè)猈l的規(guī)范正交性，在每次迭代中對(duì)矩陣變?cè)猈l進(jìn)行正交化，即引入正交化公式：

(19)

當(dāng)代價(jià)函數(shù)J(Wl)取得最小值時(shí)，Wl收斂于雜波子空間的一組正交基上，特別地，當(dāng)r=1，即Wl∈NK×1時(shí)，最小化J(Wl)得到Wl，即為Rl的歸一化最主要特征向量。

與常規(guī)A2DC方法相比，利用OPAST算法求解雜波協(xié)方差矩陣的主特征向量，運(yùn)算量從O(NK3)減少為4NKS+O(S2)，其中，S為雜波協(xié)方差矩陣Rl的秩。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

選取斜側(cè)陣(θp=60°)機(jī)載相控陣?yán)走_(dá)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，其中實(shí)驗(yàn)條件為：發(fā)射接收陣元數(shù)均為12；相干脈沖間隔內(nèi)的脈沖數(shù)為12；陣元間隔0.16 m，載機(jī)高度8 km，載機(jī)速度120 m/s，波長0.32 m，脈沖重復(fù)頻率3 000 Hz；雜噪比60 dB，雷達(dá)最大作用距離800 km；雷達(dá)主波束方位角為90°；待測(cè)單元145，假設(shè)對(duì)應(yīng)的距離為25 km，且不存在距離模糊。

采樣協(xié)方差求逆方法(LSMI)的訓(xùn)練樣本數(shù)為2NK；稀疏恢復(fù)中，訓(xùn)練樣本數(shù)為4；空間頻率和多普勒頻率離散化程度均為8，即ρs=ρd=8；子空間平滑的空域子孔徑和時(shí)域子孔徑為P=Q=6。

實(shí)驗(yàn)1：雜波空時(shí)譜估計(jì)

本實(shí)驗(yàn)對(duì)比真實(shí)雜波功率譜、未經(jīng)補(bǔ)償?shù)腖SMI法的雜波功率譜、常規(guī)A2DC方法子孔徑平滑法的雜波空時(shí)譜和本文SR-A2DC方法估計(jì)的雜波空時(shí)譜，如圖1～圖4所示。

圖1 真實(shí)雜波功率譜

圖2 未經(jīng)補(bǔ)償?shù)腖SMI法估計(jì)的雜波功率譜

圖3 A2DC方法子孔徑雜波空時(shí)譜

圖4 SR-A2DC方法全孔徑雜波空時(shí)譜

由圖1和圖2可以看出，在非正側(cè)陣的情況下，由于雜波具有距離相關(guān)性，使用LSMI方法直接利用訓(xùn)練樣本單元估計(jì)待測(cè)單元的雜波協(xié)方差矩陣，不同距離單元的雜波疊加在一塊，會(huì)導(dǎo)致雜波譜嚴(yán)重展寬。由圖3和圖4可以看出，常規(guī)A2DC方法得到的雜波空時(shí)譜，由于子孔徑平滑造成的孔徑損失，存在能量擴(kuò)散和部分雜波分布難以估計(jì)的問題；SR-A2DC方法利用FOCUSS方法估計(jì)雜波空時(shí)譜，不存在孔徑損失，因此準(zhǔn)確度和分辨率更高。

實(shí)驗(yàn)2：雜波譜中心多普勒頻率和空間頻率

本實(shí)驗(yàn)對(duì)比常規(guī)A2DC方法特征值分解(Eigen Decomposition, ED)和本文SR-A2DC方法OPAST算法估計(jì)的雜波譜中心多普勒頻率和空間頻率與真實(shí)值之間的差異，如圖5、圖6所示。

圖5 歸一化多普勒頻率對(duì)比

圖6 歸一化空間頻率對(duì)比

從圖5和圖6可以看出，相比常規(guī)A2DC方法特征值分解估計(jì)的雜波譜中心多普勒頻率和空間頻率，本文SR-A2DC方法OPAST算法準(zhǔn)確性更高。這是因?yàn)?，OPAST算法能夠以較高的收斂速度保證較小的誤差，而基于稀疏恢復(fù)的雜波空時(shí)譜估計(jì)不存在孔徑損失，兩者結(jié)合性能優(yōu)于常規(guī)A2DC方法。

實(shí)驗(yàn)3：補(bǔ)償效果對(duì)比

本實(shí)驗(yàn)對(duì)比常規(guī)A2DC方法和SR-A2DC方法對(duì)雜波距離相關(guān)性進(jìn)行補(bǔ)償?shù)难a(bǔ)償效果，并以改善因子為基準(zhǔn)衡量不同方法的雜波抑制性能，如圖7～圖9所示。其中，改善因子的定義為輸出信雜噪比(Signal to Clutter-plus-Noise Ratio, SCNR)與輸入SCNR的比值。

由圖7和圖8可知，A2DC方法和SR-A2DC方法均能對(duì)非正側(cè)陣雜波距離相關(guān)性進(jìn)行補(bǔ)償，經(jīng)過補(bǔ)償后，主瓣雜波基本配準(zhǔn)，但由于A2DC方法是基于子孔徑平滑，存在孔徑損失，補(bǔ)償性能在一定程度上受限，而SR-A2DC方法是基于全孔徑的，不存在孔徑損失，可獲得更高的分辨率，設(shè)計(jì)的空時(shí)轉(zhuǎn)換矩陣更加有效，因此補(bǔ)償性能更優(yōu)。

圖7 A2DC方法雜波距離相關(guān)性補(bǔ)償效果

圖8 SR-A2DC方法雜波距離相關(guān)性補(bǔ)償效果

由圖9可知，經(jīng)過本文SR-A2DC方法進(jìn)行雜波距離相關(guān)性補(bǔ)償后，利用LSMI方法估計(jì)雜波協(xié)方差矩陣，計(jì)算空時(shí)濾波器權(quán)值，可以在主雜波處形成深凹口，且相比A2DC方法更窄，對(duì)慢速目標(biāo)的檢測(cè)能力可提高5～10 dB。而利用A2DC方法設(shè)計(jì)的空時(shí)濾波器，則存在著凹口偏移、展寬等問題。

圖9 雜波抑制性能

4 結(jié)束語

本文詳細(xì)分析了常規(guī)A2DC方法的原理和步驟，針對(duì)該方法存在孔徑損失和運(yùn)算量大的問題，提出了基于稀疏恢復(fù)的SR-A2DC方法，并將OPAST算法引入到雜波協(xié)方差矩陣特征分解中。理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)表明：1)所提的SR-A2DC方法可以避免空時(shí)損失帶來的影響，減少運(yùn)算量；2)SR-A2DC方法與常規(guī)A2DC方法，雜波距離相關(guān)性補(bǔ)償性能更優(yōu)，更適于工程實(shí)現(xiàn)；3)由于本文使用稀疏恢復(fù)估計(jì)雜波空時(shí)譜，而稀疏恢復(fù)求解所構(gòu)造的超完備矩陣存在著基失配(off-grid)等問題，因此，如何減少或者消除off-grid的影響，自適應(yīng)設(shè)計(jì)超完備基矩陣，獲得更加準(zhǔn)確的雜波空時(shí)譜分布，是下一步研究工作的重點(diǎn)。