核心素養(yǎng)下數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)的揭示與思想方法的滲透
——一個(gè)線(xiàn)面角模型及其運(yùn)用

浙江省衢州第二中學(xué) (324000) 萬(wàn) 祺

直線(xiàn)與平面所成的角是線(xiàn)面位置關(guān)系的重要組成部分.線(xiàn)面角和二面角一起構(gòu)成了空間角的概念體系，這些概念對(duì)于提高學(xué)生的空間位置關(guān)系的認(rèn)知能力，發(fā)展學(xué)生的空間想象思維起著重要的作用.線(xiàn)面角在近幾年高考、學(xué)考題中更是成為了高頻考點(diǎn).這類(lèi)試題一般處于小題壓軸題和解答題位置，具有很高的區(qū)分度，能積極發(fā)揮考試的選拔功能.本文通過(guò)挖掘線(xiàn)面角定義，探尋線(xiàn)面角模型的本質(zhì)，解決一類(lèi)與線(xiàn)面角相關(guān)的高考試題.

圖1

1.模型呈現(xiàn)

(2016年浙江省學(xué)業(yè)水平考試試題)如圖1所示，在側(cè)棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，P是棱BC上的動(dòng)點(diǎn)，記直線(xiàn)A1P與平面ABC所成的角為θ1，與直線(xiàn)BC所成的角為θ2，則θ1，θ2的大小關(guān)系是( ).

A.θ1=θ2B.θ1>θ2C.θ1<θ2D.不能確定

2.問(wèn)題解決

2.1 大膽猜想

本題涵蓋了線(xiàn)面角的定義，異面直線(xiàn)所成的角等概念，要求學(xué)生深刻理解線(xiàn)面角的定義與本質(zhì).當(dāng)然，作為選擇題，本題也可采用特殊化的思想，如存在某個(gè)時(shí)刻使得直線(xiàn)A1P與直線(xiàn)BC所成的角是直角，而此時(shí)線(xiàn)面角θ1仍為銳角，因此選C.

2.2 嚴(yán)謹(jǐn)論證

圖2

∵cosθ2<1，∴cosθθ1①.∵cosθ1<1，∴cosθθ2②.

我們發(fā)現(xiàn)如下結(jié)論：

①線(xiàn)面角θ1是斜線(xiàn)A′P與平面內(nèi)所有直線(xiàn)所成角中的最小角；

②平面的一條斜線(xiàn)與平面內(nèi)一條直線(xiàn)l所成的角大于斜線(xiàn)在平面內(nèi)的射影與l所成的角.

至此，再回頭看上面的學(xué)考題，結(jié)果是顯然的.

3.模型應(yīng)用

圖3

例1 (2015年浙江省學(xué)業(yè)水平考試)如圖3，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，線(xiàn)段AD,BD的中點(diǎn)分別為E,F. 現(xiàn)將ΔABD沿對(duì)角線(xiàn)BD翻折，則異面直線(xiàn)BE與CF所成角的取值范圍是( ).

圖4

圖5

圖6

例3 (2017全國(guó)卷)a,b為空間中兩條互相垂直的直線(xiàn)，等腰RtΔABC的直角邊AC所在直線(xiàn)與a,b都垂直，斜邊AB以AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：

①當(dāng)直線(xiàn)AB與a成60°角時(shí)，AB與b成30°角；

②當(dāng)直線(xiàn)AB與a成60°角時(shí)，AB與b成60°角；

③直線(xiàn)AB與a所成角的最小值是45°；

④直線(xiàn)AB與a所成角的最大值是60°；其中正確的是.

圖7

解:如圖7,AC,a,b兩兩垂直，斜邊AB以AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，作BD∥a，BE∥b，當(dāng)直線(xiàn)AB與a成60°角時(shí)，因?yàn)椤螦BC=45°，由三余弦定理，cos∠ABD=cos∠ABC·cos∠DBC得cos60°=cos45°·cos∠DBC，∠DBC=45°，所以∠EBC=45°.

由三余弦定理，cos∠ABE=cos∠ABC·cos∠EBC得∠ABE=60°,所以AB與b成60°角；再由最小角定理知∠ABD≥∠ABC=45°,故直線(xiàn)AB與a所成角的最小值是45°，又因?yàn)橹本€(xiàn)AB與a可以成直角，所以②③正確.

圖8

解:一方面，①AB與EF是一對(duì)異面直線(xiàn)；②異面直線(xiàn)在同一平面上的射影可以是一對(duì)平行線(xiàn);③當(dāng)EF以直線(xiàn)AB為軸旋轉(zhuǎn)，且AB∥平面α.

由①②③可知旋轉(zhuǎn)過(guò)程中必存在某一時(shí)刻，使得直線(xiàn)AB與EF在α內(nèi)射影相互平行，此時(shí)所求余弦值為1.

圖9

另一方面，由AB∥平面α，不妨AB?α，作AP∥EF，PH⊥α，垂足是H，如圖9,故∠HAB≤∠PAB，所以

圖10

例5 如圖10,已知在正四面體ABCD中，E為BC中點(diǎn)，F(xiàn)為直線(xiàn)BD的一點(diǎn)，則平面AEF與平面ACD所成角的正弦值的取值范圍是.

例6 (2018浙江卷)已知四棱錐S-ABCD的底面是正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，E是線(xiàn)段AB上的點(diǎn)(不含端點(diǎn))，設(shè)SE與BC所成的角是θ1，SE與平面ABCD所成的角是θ2，二面角S-AB-C的平面角為θ3，則( ).

A.θ1≤θ2≤θ3B.θ3≤θ2≤θ1

C.θ1≤θ3≤θ2D.θ2≤θ3≤θ1

圖11

解:如圖11,設(shè)S在底面的射影是點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC交CD于點(diǎn)F，則θ1=∠SEF，θ2=∠SEO，作OH⊥AB，垂足是H，則θ3=∠SHO，由OH≤OE可知tanθ3≥tanθ2，即θ3≥θ2，故B、C錯(cuò)誤，再由線(xiàn)面角的最小性可知∠SEO≤∠SEF,故θ2≤θ1，從而A錯(cuò)誤，因此選D.

事實(shí)上也可直接比較θ3,θ1的大小，考慮直線(xiàn)OH與平面SAB所成的線(xiàn)面角即為θ3，而直線(xiàn)OH與平面SAB內(nèi)的直線(xiàn)SE所成的角即為θ1，由線(xiàn)面角的最小性可知θ3≤θ1.

波利亞在《怎樣解題》中將“回顧反思”作為解題的四大步中的最后一步，我想，在平日的教學(xué)研究工作當(dāng)中也應(yīng)如此.只有真正理解數(shù)學(xué)定義，善于抓住問(wèn)題的本質(zhì)，才能在數(shù)學(xué)的世界里走得更遠(yuǎn).