函數(shù)圖像切線問題“大盤點”

江蘇省溧水高級中學 (211200) 方金寶

導數(shù)的幾何意義就是曲線在該點處切線的斜率.用導數(shù)的幾何意義研究曲線切線的有關(guān)問題是導數(shù)最基本的應用，也是近年高考的一個熱點.本文以2019年的高考試題為例進行剖析，力求揭示此類試題的考查形式，探索它們的求解策略.

題型一:求切線方程

例1 (2019年全國Ⅰ卷理科13題)曲線y=3(x2+x)ex在點(0，0)處的切線方程為．

解：∵y′=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+1)ex，∴曲線在點(0,0)處切線的斜率k=3，∴切線方程為y=3x.

例2 (2019年江蘇卷11題)在平面直角坐標系xOy中，點A在曲線y=lnx上，且該曲線在點A處的切線l經(jīng)過點(-e,-1)(e為自然對數(shù)的底數(shù))，則點A的坐標是．

考查函數(shù)H(x)=xlnx，當x∈(0,1)時，H(x)<0；當x∈(1,+∞)時，H(x)>0，且H′(x)=lnx+1，當x>1時，有H′(x)>0,從而H(x)單調(diào)遞增，注意到H(e)=e，故x0lnx0=e存在唯一的實數(shù)根x0=e，故A(e,1).

(Ⅰ)求曲線y=f(x)的斜率為1的切線方程；

點評：曲線切線方程的求法可分為已知切點(如在點處的切線)和未知切點(如過點的切線和已知斜率的切線)兩種類型：(1)已知切點(x0，f(x0))求切線方程的步驟：①求出函數(shù)f(x)的導數(shù)f′(x)；②求切線的斜率f′(x0)；③寫出切線方程y-f(x0)=f′(x0)(x-x0)，并化簡．(2)未知切點求切線方程的步驟：①設出切點(x0，f(x0))；②求出函數(shù)f(x)的導數(shù)f′(x)；③求切線的斜率f′(x0)；④寫出切線方程y-f(x0)=f′(x0)(x-x0)；⑤代入其它條件解出切點坐標；⑥把切點(x0，f(x0))重新代入切線方程并化簡.

題型二 求參數(shù)的值

例4 (2019年全國Ⅲ卷理科6題)已知曲線y=aex+xlnx在點(1,ae)處的切線方程為y=2x+b,則( ).

A.a=e,b=-1B.a=e,b=1

C.a=e-1,b=1D.a=e-1,b=-1.

點評：利用切線方程求參數(shù)的值是切線問題的逆向應用，例4通過求導數(shù)得到切線斜率的表達式，根據(jù)斜率為2解得a，再將切點坐標代入直線方程求得b.在這一過程中主要運用了方程思想和待定系數(shù)法.

題型三 求距離最值

點評：很多曲線上的動點到直線距離的最值問題都可以用數(shù)形結(jié)合思想，把它轉(zhuǎn)化為切線切點到直線的距離，當然本題也可以使用公式法結(jié)合基本不等式來處理.

題型四 公切線證明

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并證明函數(shù)f(x)有且只有兩個零點；

(2)設x0是f(x)的一個零點，證明曲線y=lnx在點A(x0,lnx0)處的切線也是曲線y=ex的切線.

通過2019年高考試題的研究分析我們發(fā)現(xiàn)，函數(shù)圖像的切線問題根據(jù)切線已知條件的不同，主要有“曲線在某點的切線”、“曲線過某點的切線”、“已知斜率的切線”以及“兩曲線的公切線”等四種常見類型；根據(jù)題型的不同，主要有“求切線方程”、“求參數(shù)的值”、“求距離最值”以及“公切線證明”等四種常見題型.其實無論哪種問題，我們只需抓住該問題的核心和處理該問題的一些常見數(shù)學思想如方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化和化歸思想等.切線問題的核心其實就是切點，一個函數(shù)的切線要關(guān)注已知點是否為切點，兩個函數(shù)的切線要關(guān)注切點是否同一，牢牢抓住切點，問題便迎刃而解.