Ortho-SUV支架空間位姿建模與求解

傅 超， 范佳程， 王石剛， 梁慶華

(上海交通大學(xué) 機(jī)械與動力工程學(xué)院， 上海 200240)

骨折和肢體畸形是骨科最為常見的疾病，內(nèi)固定治療方式由于必須將肢體切開復(fù)位，增加了肢體創(chuàng)傷及被感染的風(fēng)險，破壞了骨端愈合的微環(huán)境，會干擾骨骼的生理性愈合.而骨外固定技術(shù)具有適用范圍廣、固定可靠、微創(chuàng)、并發(fā)癥少等優(yōu)點，擁有許多內(nèi)固定不可比擬的優(yōu)勢，越來越多地應(yīng)用于治療骨折和肢體畸形[1].蘇聯(lián)骨科醫(yī)生Ilizarov在治療中提出了“張力-應(yīng)力法則”生物學(xué)理論，即生物組織被緩慢牽拉時會產(chǎn)生一定的張力，可刺激組織再生和活躍生長[2]，奠定了骨外固定臨床應(yīng)用技術(shù)體系的基礎(chǔ).

現(xiàn)有的骨外固定器有Ilizarov支架和Taylor支架，見圖1(a)和(b).其中，Ilizarov支架一次只能矯正成角、旋轉(zhuǎn)、移位畸形中的一種，往往需要數(shù)次重新裝配才能完全達(dá)到畸形矯正的目的.其治療周期長，使患者多次暴露于輻射中，且數(shù)字化程度不高，需要大量的臨床經(jīng)驗[3].Taylor支架是Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)在骨科矯正方面的應(yīng)用，雖然能同時矯正各種形式的畸形，但其裝配要求較為嚴(yán)苛，桿件連接到骨骼固定環(huán)上的鉸點需按一定規(guī)律布置.在實際治療過程中，由于Taylor支架結(jié)構(gòu)單一，缺乏靈活性，容易產(chǎn)生桿件與患肢干涉的情況，導(dǎo)致矯形無法進(jìn)行，需要重新裝夾，給患者帶來痛苦，同時也增加了手術(shù)風(fēng)險[4].

圖1 各種骨外固定器Fig.1 Various kinds of external fixators

針對以上骨外固定器的缺陷，俄羅斯學(xué)者Leonid Solomin，Alexander Utekhin和Victor Vilensky共同提出了Ortho-SUV 支架[5]，見圖1(c).它是一種新型的骨外環(huán)形固定支架，能夠在三維空間同時矯正肢體的成角、旋轉(zhuǎn)及移位畸形并牢靠固定，是一種特殊的并聯(lián)機(jī)構(gòu)[6].Ortho-SUV支架裝配更自由，桿件連接到骨骼固定環(huán)上的鉸點可隨意布置，且可以通過輔助固定環(huán)和Z型連接片，增大6根連桿所構(gòu)建的矯形空間.而支架不至于過于龐大和笨重，結(jié)構(gòu)靈活性高，使用方便，其獨特的裝配允許骨科醫(yī)生借助它解決各種復(fù)雜的肢體畸形[7].

在骨折和肢體畸形治療過程中，需要由Ortho-SUV支架的初始桿長正解得到動平臺的初始位姿，通過畸形參數(shù)的測量轉(zhuǎn)換得到畸形矯正完成后動平臺的最終位姿，并通過最終位姿反解得到Ortho-SUV支架的最終桿長，從而得到治療處方(即各連桿的調(diào)整量).關(guān)于Ortho-SUV支架的運動學(xué)求解尚未有相關(guān)報道，建立其空間位姿模型對于畸形矯正具有關(guān)鍵性作用.本文對Ortho-SUV支架的空間位姿進(jìn)行了研究，并利用自行研制的Ortho-SUV支架進(jìn)行了脛骨骨折矯形模擬實驗，矯形效果良好，對于改善目前國內(nèi)骨科醫(yī)生大多憑臨床經(jīng)驗治療骨折、肢體畸形的現(xiàn)狀和推進(jìn)發(fā)展精準(zhǔn)化、數(shù)字化的智慧醫(yī)療具有重要意義.

1 Ortho-SUV支架結(jié)構(gòu)分析

1.1 基本結(jié)構(gòu)——變鉸點并聯(lián)機(jī)構(gòu)

如圖2所示，Ortho-SUV支架由上下兩個骨骼固定環(huán)(近端環(huán)、遠(yuǎn)端環(huán))和6根連桿以虎克鉸連接，兩個骨骼固定環(huán)均分別只與3根連桿連接，其余3根連桿分別連接到相鄰連桿的側(cè)面.不同于Taylor支架，Ortho-SUV支架為變鉸點并聯(lián)機(jī)構(gòu)，并非所有鉸點均連接到骨骼固定環(huán)上，相鄰連桿互相連接的鉸點相對于骨骼固定環(huán)的位置可變.Ortho-SUV支架主要由以下部分組成[8]:

(1) 近端環(huán)(以下稱為定平臺).定平臺與參考骨通過鋼針和固定夾連接.

(2) 遠(yuǎn)端環(huán)(以下稱為動平臺).動平臺與畸形骨通過鋼針和固定夾連接.

圖2 Ortho-SUV支架結(jié)構(gòu)Fig.2 Structure of Ortho-SUV frame

(3) 6根連桿. 每根連桿由螺桿和長度變化單元組成，長度變化單元未鎖緊時，旋轉(zhuǎn)它可以調(diào)整虎克鉸至長度變化單元末端的長度，即調(diào)整桿長.

在骨折或畸形兩端的骨段上用鋼針經(jīng)軟組織穿過骨結(jié)構(gòu)，再使用連桿和固定夾將其連接固定在Ortho-SUV支架上.當(dāng)6根連桿的長度逐漸發(fā)生變化，動平臺的位姿因此而改變，與之固連的畸形骨隨著動平臺運動至解剖軸與參考骨解剖軸重合的位置，由“張力-應(yīng)力法則”可知，組織將再生并活躍生長，即達(dá)到肢體畸形矯正的目的.

1.2 坐標(biāo)系建立與空間位姿參數(shù)定義

圖3所示為Ortho-SUV支架的機(jī)構(gòu)示意圖，該示意圖和本文所述模型均適用于圖1(c)和圖2所示結(jié)構(gòu)及各種Ortho-SUV支架的變形結(jié)構(gòu)，后續(xù)將詳細(xì)討論.以逆時針方式給各連桿編號得1～6號連桿，1、3、5號連桿與定平臺連接的各鉸點分別為A1、A3、A5，2、4、6號連桿與動平臺連接的各鉸點分別為B2、B4、B6.其余各鉸點分別為C1～C6，其下標(biāo)與所在連桿的編號一致且互異于與之距離最近的鉸點下標(biāo).桿長定義為該連桿實際鉸點之間的距離，例如1號連桿的桿長為|A1C1|.建立定平臺固定坐標(biāo)系O-XYZ和動平臺動坐標(biāo)系O′-X′Y′Z′(見圖3)，其中固定坐標(biāo)系O-XYZ的原點O為ΔA1A3A5的外接圓圓心，X軸垂直指向A1A3，Z軸豎直向上，由右手定則確定Y軸；動坐標(biāo)系O′-X′Y′Z′ 的原點O′ 為ΔB2B4B6的外接圓圓心，X′ 軸垂直指向B2B4，Z′ 軸豎直向上，由右手定則確定Y′ 軸.

圖3 Ortho-SUV支架機(jī)構(gòu)示意圖Fig.3 Sketch of Ortho-SUV frame

在以上坐標(biāo)系基礎(chǔ)上，使用歐拉角描述法描述動平臺在固定坐標(biāo)系O-XYZ中的位姿.當(dāng)動坐標(biāo)系沿固定坐標(biāo)系的X軸、Y軸、Z軸分別平移x、y、z后，再在新的坐標(biāo)系下繞Z軸旋轉(zhuǎn)α角，繞Y軸旋轉(zhuǎn)β角，繞X軸旋轉(zhuǎn)γ角，則兩坐標(biāo)系之間的坐標(biāo)變換矩陣為[9]

(1)

式中：矩陣R為按照Z-Y-X方式歐拉角旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)矩陣；向量P為動坐標(biāo)系原點O′在固定坐標(biāo)系O-XYZ中的坐標(biāo).若求得空間位姿參數(shù){x,y,z,α,β,γ}，則可描述動平臺相對于定平臺的位姿.

2 Ortho-SUV支架空間位姿建模

在使用Ortho-SUV支架進(jìn)行肢體矯形時，醫(yī)生需要測量其6根連桿的初始桿長Li(i=1, 2, …, 6)以及ΔA1A3A5和ΔB2B4B6的各邊長，而Ortho-SUV支架的結(jié)構(gòu)決定了AiCi+1(i=1, 3, 5)和BiCi+1(i=2, 4, 6)的長度相等，其表示為結(jié)構(gòu)參數(shù)D，是已知量.當(dāng)i=6時BiCi+1為B6C1，本文以下均采用此約定，即當(dāng)i=6時，i+1=1；i=1時，i-1=6，以此類推.

設(shè)ΔA1A3A5的各邊長分別為L13、L35、L51，ΔB2B4B6的各邊長分別為L24、L46、L62，如圖4所示，則ΔA1A3A5的外接圓半徑R1為

(2)

圖4 定平臺和動平臺坐標(biāo)系Fig.4 Coordinates of fixed platform and mobile platform

由此可得Ai(i=1, 3, 5)點在固定坐標(biāo)系O-XYZ的位置向量Ai=[AixAiyAiz]T為

(3)

θ1由ΔA1A3A5運用余弦定理可得

(4)

同理可得ΔB2B4B6的外接圓半徑R2，Bi(i=2, 4, 6)點在動坐標(biāo)系O′-X′Y′Z′ 的位置向量bi=[bix′biy′biz′]T以及θ2，不再贅述.因此，當(dāng)給定ΔA1A3A5和ΔB2B4B6的各邊長時，Ai和bi均為已知量.

由此可見，盡管Ortho-SUV支架裝配多樣化，但均可簡化為圖3所示的機(jī)構(gòu)示意圖，只需知道各連桿末端的鉸點A1、A3、A5及B2、B4、B6之間的距離，即可確定ΔA1A3A5和ΔB2B4B6所在平面并得到各鉸點在各自坐標(biāo)系中的位置，且各鉸點理論上可以呈任意三角形分布.

由式(1)可通過齊次坐標(biāo)形式將Bi(i=2, 4, 6)點在動坐標(biāo)系O′-X′Y′Z′的位置向量bi變換為在定坐標(biāo)系O-XYZ的位置向量Bi=[BixBiyBiz]T，即

(5)

假設(shè)Ci(i=1, 2, …, 6)點在固定坐標(biāo)系O-XYZ的位置向量為Ci=[CixCiyCiz]T，則在固定坐標(biāo)系O-XYZ中第i根連桿可用矢量關(guān)系表示為

(6)

向量Li的模即是各連桿的桿長Li(i=1, 2, …, 6)，該矢量關(guān)系可進(jìn)一步表示為

(7)

通過6根連桿的桿長關(guān)系可得由6個非線性方程組成的方程組，即

(8)

(9)

方程組(8)即為Ortho-SUV支架的空間位姿模型.

3 空間位姿求解

3.1 位姿正解

類似于Stewart平臺，空間位姿正解是指在已知Ortho-SUV 支架的桿長Li(i=1, 2, …, 6)、結(jié)構(gòu)參數(shù)D、ΔA1A3A5和ΔB2B4B6的各邊長的情況下，通過式(8)計算動平臺相對于定平臺的位姿{(lán)x,y,z,α,β,γ}.

由Stewart平臺相關(guān)的研究可知，求解這樣復(fù)雜的非線性方程組較難得到解析解，常采用數(shù)值方法求解，如牛頓-拉弗森法、逐次逼近法等方法[10].Stewart平臺正解是以空間位姿參數(shù){x,y,z,α,β,γ}作為未知變量代入帶有三角函數(shù)的非線性高耦合方程組求解.與之不同的是，Ortho-SUV支架為變鉸點并聯(lián)機(jī)構(gòu)，當(dāng)其動平臺位姿改變時，鉸點Ci(i=1, 2, …, 6)相對于定平臺的位置也會改變.若直接以空間位姿參數(shù){x,y,z,α,β,γ}作為未知變量求解，由于Ci點不在動平臺上，不能通過空間位姿參數(shù)將其坐標(biāo)表示為固定坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，無法求解得到Ci點.本文在進(jìn)行Ortho-SUV支架的位姿正解時，直接以Bi(i=2, 4, 6)點和Ci(i=1, 2, …, 6)點在固定坐標(biāo)系O-XYZ的位置向量Bi和Ci作為未知變量代入非線性方程組(8)求解.在求解得到Bi和Ci后，將其代入式(5)，由bi和Bi通過廣義逆矩陣的形式求解坐標(biāo)變換矩陣T，即可求得矩陣T的各元素，進(jìn)而得到空間位姿參數(shù){x,y,z,α,β,γ}.這種求解方法將求解非線性高耦合三角函數(shù)方程組轉(zhuǎn)化為求解不含三角函數(shù)的普通非線性代數(shù)方程組，降低了方程組求解難度，能更加簡便快捷地進(jìn)行求解.

以上方法在求解位置向量Bi和Ci的時候需要求解的未知數(shù)有27個，分別為[BixBiyBiz]T(i=2, 4, 6)和[CixCiyCiz]T(i=1, 2, …, 6)，然而式(8)僅有6個方程，所以需要通過以下幾何關(guān)系添加方程，即

(1)AiCi+1(i=1, 3, 5)和BiCi+1(i=2, 4, 6)的模長均為D.

(2)AiCi∥AiCi+1(i=1, 3, 5)且同向，BiCi∥BiCi+1(i=2, 4, 6)且同向.

(3) ΔB2B4B6的各邊邊長分別為|B2B4|=L24， |B4B6|=L46， |B6B2|=L62.

因此，將求解方程組(8)轉(zhuǎn)化為求解如下非線性方程組：

(10)

使用MATLAB函數(shù)fsolve對以上非線性方程組進(jìn)行迭代求解，即可求解得到Bi和Ci，進(jìn)而得到空間位姿參數(shù){x,y,z,α,β,γ}.其中Bi和Ci選取以下值作為迭代初值：

(11)

由于求解的是位置向量Bi和Ci的三維坐標(biāo)分量，故迭代初值選取在相應(yīng)的已知值A(chǔ)i附近，能較快地收斂到符合當(dāng)前實際情況的解，以下反解同理.

3.2 位姿反解

空間位姿反解是指通過式(8)，在已知Ortho-SUV支架的空間位姿參數(shù){x,y,z,α,β,γ}、結(jié)構(gòu)參數(shù)D、ΔA1A3A5和ΔB2B4B6的各邊長的情況下，計算Ortho-SUV支架的桿長Li(i=1, 2, …, 6).

由空間位姿參數(shù){x,y,z,α,β,γ}和bi(i=2, 4, 6)，通過式(5)可求得Bi.若能求解得到Ci(i=1, 2, …, 6)點在固定坐標(biāo)系O-XYZ的位置向量Ci，將其代入式(6)和(7)，即可求得桿長Li.

與正解類似，在求解位置向量Ci時需要求解的未知數(shù)有18個，即 [CixCiyCiz]T(i=1, 2, …, 6)，需要通過以下幾何關(guān)系尋找方程，即

(1)AiCi+1(i=1, 3, 5)和BiCi+1(i=2, 4, 6)的模長均為D.

(2)AiCi∥AiCi+1(i=1, 3, 5)且同向，BiCi∥BiCi+1(i=2, 4, 6)且同向.

因此，將求解Ci轉(zhuǎn)化為求解如下非線性方程組：

(12)

使用MATLAB函數(shù)fsolve對以上非線性方程組進(jìn)行迭代求解，即可求解得到Ci，進(jìn)而得到桿長Li.其中Ci選取以下值作為迭代初值:

(13)

4 空間位姿求解驗證

下面通過算例求解和脛骨骨折矯正模擬實驗兩方面對上述空間位姿模型及其正解與反解的正確性進(jìn)行驗證.

4.1 算例求解

三組算例見表1，驗算時首先由桿長Li(i=1, 2, …, 6)根據(jù)式(10)進(jìn)行空間位姿正解計算， 然后把計算結(jié)果作為反解條件，根據(jù)式(12)得到反解結(jié)果Li.各算例中，L13=L35=L51=L24=L46=L62=200 mm，結(jié)構(gòu)參數(shù)D=15 mm.由表1可見，正解條件數(shù)據(jù)與反解結(jié)果數(shù)據(jù)相對誤差小于0.01%，由此可見模型建立及求解方法正確.此外，以表1中反解的第一行數(shù)據(jù)為例，當(dāng)已知位姿為{-0.001 3, -0.000 8, -127.546 7, 60.000 1, 0, 0}時，反解計算桿長，以式(13)作為迭代初值僅需迭代8次即可得到方程組的解，而直接以0作為迭代初值則需迭代18次，詳見表2.這是因為迭代初值選取在已知鉸點的坐標(biāo)附近，故收斂較快.若都以0作為迭代初值，迭代次數(shù)更多，且有可能導(dǎo)致收斂到其他解，更糟糕的是可能不收斂.

表1 空間位姿模型正解與反解算例Tab.1 Forward and inverse solution examples of spatial pose model

表2 不同迭代初值的反解算例

圖5 初始畸形狀態(tài)Fig.5 Status of initial deformity

4.2 脛骨骨折矯正模擬實驗

脛骨骨折是外科創(chuàng)傷中最常見的骨折之一，以下進(jìn)行脛骨骨折矯形模擬實驗，使用數(shù)碼相機(jī)對脛骨模型進(jìn)行正位和側(cè)位拍攝像片代替X光片，放置標(biāo)尺作為測量參照物，設(shè)定畸形骨為左下肢脛骨.初始畸形狀態(tài)見圖5，測得支架初始6根連桿長度Li(i=1, 2, …, 6)分別為：136.5，165，168，120，155，156 mm；ΔA1A3A5和ΔB2B4B6的各邊長為L13=167 mm，L35=171.5 mm，L51=190 mm，L24=186 mm，L46=201 mm，L62=170 mm，結(jié)構(gòu)參數(shù)D=15 mm；由自行開發(fā)的矯形軟件測得安裝參數(shù)為：軸位參考環(huán)中心位于起點近側(cè)32 mm；畸形參數(shù)為：內(nèi)翻10.9°，外側(cè)移位25 mm，屈曲10°，前部移位10.5 mm，軸位過長11.9 mm.通過初始桿長采用本文所述模型正解得到Ortho-SUV支架的初始位姿，結(jié)合安裝參數(shù)和畸形參數(shù)得到最終位姿，并反解得到最終桿長Li分別為：141.8，133.3，146.6，130.9，144.0，158.9 mm.按該結(jié)果調(diào)整Ortho-SUV支架各連桿長度，矯形后效果如圖6所示.

圖6 矯正完成后的狀態(tài)Fig.6 Status after completion of correction

模擬矯正后上下骨段解剖軸夾角小于0.5°，上下骨段間隙小于1 mm，其矯形效果完全達(dá)到了骨折矯形要求.

5 結(jié)論

(1) 以矢量建模方式對新型變鉸點并聯(lián)機(jī)構(gòu)Ortho-SUV支架進(jìn)行運動學(xué)分析，建立了其空間位姿模型，該模型適用于各種裝配形式的Ortho-SUV支架.

(2) 進(jìn)行空間位姿正解和反解，求解方法不同于一般Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)，不涉及高耦合三角函數(shù)方程組，且迭代初值易于選取，準(zhǔn)確有效地完成了該模型的求解，并通過算例及脛骨模擬實驗驗證了其正確性.

(3) 模型為Ortho-SUV支架用于骨折和肢體畸形治療提供了理論支持，結(jié)合其結(jié)構(gòu)靈活、矯形空間大等優(yōu)點能給患者帶來更方便、精準(zhǔn)的治療，對于推進(jìn)我國智能化骨科矯形醫(yī)療的發(fā)展與進(jìn)步具有重要價值.