桿長誤差和運動副間隙對平面機構(gòu)運動可靠性的影響分析

楊 曉

(四川省廣漢市職業(yè)中專學(xué)校,四川 廣漢 618300)

0 引言

在機械加工和裝配過程中,機構(gòu)的尺寸誤差和運動副間隙是不可避免,這將導(dǎo)致機構(gòu)的實際運動和理想運動存在一定的偏差。對于精密設(shè)備而言,這些偏差可能導(dǎo)致運動精度下降、可靠性降低以及使用壽命縮短。平面機構(gòu)廣泛運用于工業(yè)設(shè)備中,很多設(shè)備的基本運行原理都可以簡化為平面機構(gòu)的組合,如:牛頭刨床中可以簡化為曲柄搖桿機構(gòu),往復(fù)式活塞發(fā)動機的運動可以簡化為曲柄滑塊機構(gòu)等。

近年來, 眾多學(xué)者提出了不同的方法和模型對平面機構(gòu)的運動可靠性進行了分析。文獻[1,2,3]采用赫茲碰撞理論對運動副間隙接觸進行建模,在此基礎(chǔ)上建立平面機構(gòu)運動的動力學(xué)方程從而分析執(zhí)行部件的可靠性。基于接觸理論進行建模較為復(fù)雜,很多參數(shù)難以直接測量,在實際工程中應(yīng)用較為困難。文獻[4,5,6]分析了具有桿長誤差的平面運動機構(gòu)可靠性并開展了優(yōu)化設(shè)計,這些研究中忽略了運動副間隙的影響。

為了綜合分析桿長誤差和運動副間隙對于平面機構(gòu)運動可靠性的影響,本文將以曲柄滑塊機構(gòu)為例,根據(jù)概率方法對桿長和運動副誤差建模,在此基礎(chǔ)上建立曲柄滑塊機構(gòu)的運動學(xué)模型,并采用蒙特卡洛方法對機構(gòu)運動可靠性進行分析,為精密機械的可靠性設(shè)計和研究提供技術(shù)支撐。

1 平面機構(gòu)建模

本文的研究主要圍繞平面機構(gòu)運動學(xué)展開,根據(jù)理想剛體假設(shè)忽略了桿件及運動副的變形和磨損等因素,僅考慮桿長誤差和運動副間隙對機構(gòu)運動可靠性的影響。

1.1 機構(gòu)組成

以典型的曲柄滑塊機構(gòu)為例,在曲柄滑塊機構(gòu)中包含兩個桿件L1和L2,包含3個運動副C1、C2和C3,運動副與桿的連接關(guān)系如圖1所示。其中L1為曲柄,繞運動副C1旋轉(zhuǎn),其轉(zhuǎn)動角與水平方向的夾角為α。曲柄L1與連桿L2通過運動副C2連接,L2與水平方向的夾角為β。連桿L2與滑塊通過運動副C3連接,滑塊與運動副C1的距離為s。

圖1 曲柄滑塊機構(gòu)示意圖

1.2 桿長誤差建模

對于大量生產(chǎn)的同一型號的連桿而言,其實際尺寸受到多重因素的共同作用,因此可以假設(shè)其實際分布符合正態(tài)分布。因此曲柄和連桿的長度可以表示為:

(1)

其中,μi、σi分別為第i個桿件的長度的期望和標(biāo)準(zhǔn)差。

1.3 運動副間隙誤差建模

曲柄滑塊機構(gòu)中的運動副主要包括轉(zhuǎn)動副和滑動副。曲柄滑塊機構(gòu)輸出的主要運動為往復(fù)直線運動,并且實際使用中單個滑動副的誤差極小,因此本文主要考慮多個轉(zhuǎn)動副引起的運動誤差。

對轉(zhuǎn)動副而言,可簡化為軸套和軸頸的工作模型。在運動過程中,轉(zhuǎn)動副存在自由間隙(圖2(a))、理想接觸(圖2(b))、碰撞擠壓(圖2(c))三種運動狀態(tài)。

圖2 運動副間隙的不同形式

以軸套圓心為原點建立坐標(biāo)系,軸頸圓心的坐標(biāo)可以表示為(XCi,YCi),那么在任意時刻軸頸圓心與原點的距離eCi可以表示為:

(2)

在理想接觸下,內(nèi)切于軸套的軸頸圓心與原點的距離為rCi,此時eCi-rCi=0。在自由間隙的情況下,軸頸在軸套內(nèi)自由移動,可以表示為eCi-rCi<0。當(dāng)軸頸和軸套相互擠壓,軸頸和軸套發(fā)生彈性變形eCi-rCi>0。因此含間隙的轉(zhuǎn)動副Ci(i=1,2,3)的運動模式可以表示為:

(3)

由于軸承和軸頸剛度一般都比較大,碰撞擠壓運動時變形量較小,因此將軸承和軸頸視為剛體,碰撞擠壓運動模式就轉(zhuǎn)化為了理想接觸。假設(shè)軸頸中心位置在軸套內(nèi)部的所有可能位置分布為均勻分布,則軸頸中心的概率密度函數(shù)可以表示為:

(4)

其中,xCi和yCi為軸頸中心位置坐標(biāo)的隨機變量。

1.4 運動學(xué)建模

根據(jù)桿長誤差、運動副間隙和運動約束的限制,如圖1所示的曲柄滑塊機構(gòu)的閉環(huán)方程可以表示為:

(5)

消去方程中的角度β,滑塊的實際位置可以表示為:

s(α)=f(α|L,X,Y)

(6)

其中,L為桿長向量,L={L1,L2};X和Y分別為各軸頸圓心的坐標(biāo)向量,X={XC1,XC2,XC3},Y={YC1,YC2,YC3};f(α|L,X,Y)是桿長和運動副誤差條件下的滑塊位置函數(shù)。

在理想情況下,曲柄滑塊機構(gòu)中的桿長為一個確定值,并且不含有運動副間隙誤差,滑塊運動的理想位置sidea(α)可以表示為:

(7)

根據(jù)式(6)和式(7),得到滑塊實際位置與理想位置的誤差E(α),可以表示為:

E(α)=|s(α)-sidea(α)|

(8)

設(shè)允許的運動誤差為ε,則系統(tǒng)的可靠度R(α)可以表示為:

R(α)=Pr{E(α)≤ε}

=Pr{-ε≤E(α)≤ε}

(9)

2 機構(gòu)運動誤差的求解方法

式(9)中存在多個隨機變量,采用蒙塔卡洛方法計算系統(tǒng)的可靠度,計算步驟如下:

Step1.分別生成m組曲柄和連桿桿長的隨機向量L1={l11,l12,…,l1m}和L2={l21,l22,…,l2m};

Step2.分別生成m組運動副Ci(i=1,2,3)的間隙誤差(XCi,YCi)={{xi1,yi1};{xi2,yi2};…;{xim,yim}}(i=1,2,3);

Step3.將曲柄轉(zhuǎn)角離散為n個點,離散后轉(zhuǎn)角的向量為α={α1,α2,…,αn}。

Step4.將得到的隨機向量L1,L2,XCi,YCi(i=1,2,3)以及α帶入式(6)中,計算相應(yīng)的滑塊的位移sm×n;

Step5.不計桿長誤差和運動副間隙的情況下,根據(jù)式(7)計算不同轉(zhuǎn)角α下的滑塊位置sidea,1×n

Setp6.對于任意角度αj(j=1,2,…,n),計算相應(yīng)位置|sm×j-sidea,j|≤ε內(nèi)的個數(shù)為pj個,則對應(yīng)時刻的可靠度為:

(10)

3 數(shù)值研究

在曲柄滑塊機構(gòu)中曲柄和連桿的桿長均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為μ1=60 mm,σ1=0.025 mm,μ1=120 mm,σ2=0.025 mm。各運動副中內(nèi)切于軸套的軸頸圓心與原點的距離均為rCi=0.05 mm,曲柄的轉(zhuǎn)角范圍為[0,2π],轉(zhuǎn)角離散點數(shù)為n=1000。為了計算結(jié)果的準(zhǔn)確性,生成的隨機變量m=1×106,在整個運行周期中,滑塊的最大允許誤差為ε=0.1 mm。

在不考慮曲柄、連桿和運動副誤差的情況下,滑塊的理想運動曲線如圖3所示。

圖3 理想情況下曲柄轉(zhuǎn)角與滑塊位移關(guān)系

3.1 桿長方差對于可靠度的影響

當(dāng)桿長均值固定,不考慮運動副間隙時,曲柄和連桿長度的方差分別為σ=0.02 mm,0.025 mm,0.03 mm的條件下,滑塊運動的可靠度如圖4所示。

圖4 桿長方差變化下的可靠度

隨著方差的增大,滑塊運動的可靠度整體呈下降的趨勢。在方差為0.02 mm,0.025 mm和0.03mm下,滑塊位置的最小可靠度R(α)分別為0.9997,0.9972和0.9895?；瑝K運動可靠度最小時對應(yīng)的曲柄轉(zhuǎn)角α∈(π/2π)∪(π,3π/2),隨著方差的增大,最小可靠度的位置也在逐漸向α=π的位置靠近。

3.2 桿長均值對于可靠性的影響

當(dāng)桿長的方差和連桿的均值不變時,曲柄均值分別為μ1=40 mm,60 mm,80 mm的條件下(桿長均值比μ1/μ2=0.33,0.50,0.67),滑塊運動的可靠度如圖5所示。當(dāng)桿長的方差和曲柄的均值不變時,連桿均值分別為μ2=90 mm,120 mm,180 mm的條件下(桿長均值比μ1/μ2=0.67,0.50,0.33),滑塊運動的可靠度如圖6所示。

圖5 不同曲柄均值下的可靠度

圖6 不同連桿均值下的可靠度

從圖5和圖6可以看出,在相同的桿長均值比μ1/μ2的條件下,滑塊運動可靠度相同。不同桿長比下,曲柄轉(zhuǎn)角α=0和α=π時滑塊運動可靠度相等,其中R(0)=R(π)=0.9976。較小的桿長均值比μ1/μ2的條件下,滑塊運動可靠度較高,因此在機構(gòu)綜合考慮過程中,可以通過該方法提高機構(gòu)運動的可靠度。

3.3 運動副間隙對于可靠性的影響

當(dāng)桿長是一個定值時,運動副間隙分別為rCi=0.045 mm,0.05 mm,0.055 mm,滑塊運動的可靠度如圖7所示。

圖7 不同運動副間隙下的可靠度

如圖7所示,滑塊運動的可靠度隨著運動副間隙的增加而降低。在α=π/2和α=3π/2位置時,由于運動副間隙誤差導(dǎo)致的滑塊運動可靠度最低;在α=0和α=π時,運動副間隙對滑塊運動的可靠性影響最小。

3.4 綜合影響下的可靠性

當(dāng)桿長均值一定時,由桿長方差、運動副間隙和兩者共同作用下的滑塊運動可靠性如圖8所示。相比于單一模式下,由于運動副間隙和桿長方差所主導(dǎo)的滑塊運動誤差在不同轉(zhuǎn)角α下達到最大值,因此兩種誤差共同作用下的可靠度在不同轉(zhuǎn)角下的變化得到抑制。同時由于誤差累加的影響,在考慮兩種誤差共同作用下,滑塊總體的運動可靠度快速下降:僅考慮桿長方差或者運動副間隙單一作用下,滑塊在整個周期中的最小運動可靠度為0.9967,當(dāng)考慮共同誤差作用時,整個運行周期中的最大可靠度為0.9862。

圖8 單一誤差和綜合誤差下的可靠度

4 結(jié)論

在考慮平面機構(gòu)的桿件誤差和運動副間隙的基礎(chǔ)上,建立了曲柄滑塊機構(gòu)的概率運動學(xué)模型,并采用數(shù)值方法對模型進行求解和分析。數(shù)值研究表明:

(1)桿長誤差會導(dǎo)致曲柄轉(zhuǎn)角在α∈(π/2,π)∪(π,3π/2)范圍內(nèi)出現(xiàn)最大的失效概率;桿長方差和桿長比相同的情況下機構(gòu)運動失效概率一致。

(2)曲柄轉(zhuǎn)角為α=π/2和3π/2時,運動副間隙導(dǎo)致的失效概率最高;在曲柄轉(zhuǎn)角為α=0和α=π時,運動副間隙對機構(gòu)的運動可靠性影響最小。

(3)在運動副間隙和桿長誤差共同作用下機構(gòu)運動可靠度將快速下降。