船體三維曲板展開方法多目標(biāo)優(yōu)化模型

蘭宏凱， 柳存根， 聶 鑫

(1. 上海交通大學(xué) 海洋工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 上海 200240；2. 上海交通大學(xué)，高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心， 上海 200240；3. 大連船舶重工集團(tuán)有限公司， 遼寧 大連 116021)

隨著國(guó)內(nèi)船舶建造水平的不斷提高，各大船廠逐步實(shí)踐綠色造船、精益管理和無(wú)余量造船等先進(jìn)理念.同時(shí)，船舶設(shè)計(jì)水平的提高，造成船體曲面日趨復(fù)雜，船體外板中曲板占比也逐步提高，對(duì)船體外板成形提出了更高的要求.船體放樣是船舶建造過程的重要環(huán)節(jié)，為鋼板號(hào)料套料工藝環(huán)節(jié)提供依據(jù)，是實(shí)現(xiàn)無(wú)余量造船的關(guān)鍵步驟.目前，船廠采用的放樣方法大多為手工放樣或計(jì)算機(jī)模擬手工放樣，誤差大并且效率低[1]，往往需要留有一定余量.因此，需要更加精準(zhǔn)的船體三維曲板放樣展開方法，以提高造船效率，降低造船成本.國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)船體三維曲板的展開方法進(jìn)行了研究.Hinds等[2]提出以四邊形網(wǎng)格對(duì)曲面進(jìn)行劃分，然后將各個(gè)單元進(jìn)行展平獲得有縫隙的展開曲面.Azariadis等[3]在Hinds的理論基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)與探討，減小了曲面展開的裂縫幾何尺度.Wang等[4]利用Tendon Node Mapping (TNM)和Diagonal Node Mapping (DNM)算法實(shí)現(xiàn)對(duì)三維曲面的高效網(wǎng)格劃分，通過能量法對(duì)三維曲面進(jìn)行展開.Shin[5]對(duì)三維曲面進(jìn)行微分逼近并進(jìn)行初步展開，然后利用能量展開方法對(duì)展開方案進(jìn)行優(yōu)化，得出最終的展開方案.Seong等[6]將待加工板曲面和最終目標(biāo)曲面間的差異曲面定義為工作面，用三角形或四邊形單元將工作面進(jìn)行幾何分化，將離散后的單元進(jìn)行展開，可以獲得曲面展開后的平面.張雪彪等[7]通過導(dǎo)向單元條和改進(jìn)肋骨彎度等方法提出船體復(fù)雜曲面的展開方法，可以為水火彎板成形提供收縮量.李純金等[8]通過自適應(yīng)算法對(duì)曲面展開過程中的網(wǎng)格細(xì)分進(jìn)行了研究，為曲面展開提供支持.劉寅東等[9]運(yùn)用參數(shù)化三維實(shí)體建模解決船體外板展開問題，并開發(fā)了相關(guān)軟件程序.然而，船體三維曲面展開是造船的中間環(huán)節(jié)，為曲板放樣和曲板加工等多個(gè)后續(xù)工藝環(huán)節(jié)服務(wù)，因此，對(duì)曲板展開效果的評(píng)價(jià)應(yīng)該是多維度的，曲板展開方案的確定也應(yīng)綜合考慮后續(xù)工藝環(huán)節(jié)而確定.本文基于單元等長(zhǎng)的船體曲板展開方法，采用面積誤差、平均應(yīng)變能和邊緣線性3個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)，利用文化基因算法(MA)對(duì)船體三維曲板展開方案進(jìn)行了多目標(biāo)優(yōu)化分析.

1 問題描述

三維曲面一般可分為平面、直紋面和復(fù)雜曲面，從可展性方面可分為可展曲面和不可展曲面.而船體曲板大多為不可展開的復(fù)雜曲面，需要將其分割為多個(gè)微小單元以逼近原曲面，然后再將各個(gè)微小單元進(jìn)行展開，獲得最終的近似展開平面.在不可展曲面的展開過程中，常見的展開思想有保證面積恒定，保證長(zhǎng)度恒定和保證角度恒定等.目前，船廠中主要采用手工測(cè)地線法、垂直準(zhǔn)線法和撐線法等展開三維曲面，其本質(zhì)的展開思想均基于保證展開單元的長(zhǎng)度恒定.結(jié)合工程實(shí)際情況，針對(duì)以帆型板為代表的大型板材，采用基于單元等長(zhǎng)的展開方法，展開過程如下.

(1) 擬合待展曲面并劃分網(wǎng)格.肋骨型線圖中獲取的數(shù)據(jù)點(diǎn)較少，需要通過做非均勻有理B樣條(NURBS)曲面擬合對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行插值，同時(shí)將三維曲面進(jìn)行網(wǎng)格劃分，選取四邊形網(wǎng)格.

(2) 計(jì)算線準(zhǔn)線.縱向基準(zhǔn)線為某條肋骨型線，橫向基準(zhǔn)線為貫穿曲面的一條空間曲線.要求橫向基準(zhǔn)線在展開圖中為一條直線，因此橫向基準(zhǔn)線應(yīng)為曲面內(nèi)兩點(diǎn)間的最短面內(nèi)的距離.通過 Dijkstra 算法在三維曲面中迭代搜索，最終獲取兩點(diǎn)間的曲面最短距離，從而確定橫向基準(zhǔn)線.

(4) 展開其他單元.如圖1(b)所示，以確定四邊形單元Ai,iAi-1,iAi-1,i+1Ai,i+1為例，介紹一般四邊形的單元展開過程.已知四邊形單元中Ai-1,iAi-1,i+1和Ai-1,i+1Ai,i+1已確定，需要確定點(diǎn)Ai,i的位置.根據(jù)單元等長(zhǎng)的展開準(zhǔn)則，在展開平面內(nèi)找到一點(diǎn)Ai,i使得Ai,iAi-1,i和Ai,iAi,i+1在展開前后的長(zhǎng)度恒定，由此即可確定點(diǎn)Ai,i的位置.

圖1 展開過程示意圖Fig.1 Example of expanding operator

問題假設(shè)：三維曲板在加工成形過程中，厚度恒定不變.三維曲板加工和曲板展開互為逆過程，在多支點(diǎn)冷壓加工或部分水火彎板加工情況下，三維曲板展開前后上下表面積基本保持恒定.

基于單元等長(zhǎng)的曲板展開方法所獲得的展開方案取決于兩條基準(zhǔn)線的選擇，即縱向基準(zhǔn)線的選取和橫向基準(zhǔn)線的端點(diǎn)坐標(biāo)決定了最終展開方案.在工程實(shí)際中，曲板展開后會(huì)進(jìn)行套料號(hào)料的工藝過程，在套料過程中更希望板材的四周邊緣為直線，可以方便切割并提高板材的利用率，因此要求曲板展開的形狀邊緣具有一定的線性水平.曲板展開圖是曲板成形的基礎(chǔ)，曲板展開過程中單元應(yīng)變能在一定程度上可以反映曲板成形過程中的加工工作量，因此從減少后續(xù)加工成本的角度出發(fā)，要求曲板展開方案的單元應(yīng)變能處于低水平.基于問題假設(shè)，曲板展開前后面積誤差也是衡量展開方案的重要指標(biāo)，希望面積誤差控制在較低水平.

2 數(shù)學(xué)模型

基于以上對(duì)問題的描述和假設(shè)，提出船體三維曲板展開優(yōu)化分析的數(shù)學(xué)模型.根據(jù)以上分析，可以通過曲面展開前后的面積誤差、展開曲面邊緣線性和展開曲面的單元平均應(yīng)變能3個(gè)維度評(píng)價(jià)展開方案.

面積誤差指標(biāo)ΔA采用展開曲面面積與原三維曲面面積相對(duì)誤差的絕對(duì)值表達(dá).面積誤差指標(biāo)有效地反映出展開后的曲面面積與三維曲面面積的誤差，從問題假設(shè)出發(fā)，面積誤差越小展開效果越良好.

(1)

式中：Au為三維曲面面積，Ao為展開曲面面積，兩者均通過微分單元累加求解.

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

式中：εib為面內(nèi)彎曲應(yīng)變矩陣；εs為剪切應(yīng)變矩陣；σib為面內(nèi)彎曲應(yīng)力矩陣；σs為剪切應(yīng)力矩陣；D為彈性矩陣；A為單元面積.

計(jì)算展開曲板平均單元應(yīng)變能如式(4)所示，其中M為單元數(shù).

(7)

由上述分析可得船體三維曲板展開優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)為

(8)

maxf2=maxρ(X,Y)

(9)

(10)

s.t.

minp(i)

(11)

(i=x,y,z)

minp(i)

(12)

(i=x,y,z)

Num∈{1,2,…,RIBNmax}

(13)

式中：minp(i)為待展開曲面單元節(jié)點(diǎn)i坐標(biāo)的最小值；maxp(i)為待展開曲面單元節(jié)點(diǎn)i坐標(biāo)的最大值；i為坐標(biāo)軸編號(hào)，分別取為x,y,z;plef(i)為橫向基準(zhǔn)線左端點(diǎn)的i坐標(biāo)值；prig(i)為橫向基準(zhǔn)線右端點(diǎn)的i坐標(biāo)值；Num為縱向基準(zhǔn)線所選取的肋骨型線編號(hào)，規(guī)定將肋骨型線按照肋骨型線圖從左至右進(jìn)行編號(hào)；RIBNmax為肋骨型線圖中的最大編號(hào).

3 多目標(biāo)MA

MA是在種群全局搜索的基礎(chǔ)上與基于個(gè)體的局部搜索有效結(jié)合，在保持了遺傳算法優(yōu)秀的全局搜索能力的同時(shí)，提高了算法的局部搜索能力.近些年MA得到了廣泛應(yīng)用，求解包括生產(chǎn)調(diào)度[10-11]及其他工程領(lǐng)域的相關(guān)問題，如路徑規(guī)劃[12]、資源分配以及特征選取等.本文提出一種多目標(biāo)MA(MOMA)以求解船體三維曲板展開的優(yōu)化分析問題.作為多目標(biāo)進(jìn)化算法，MOMA基于Pareto最優(yōu)概念進(jìn)行設(shè)計(jì).MOMA采用二進(jìn)制編碼，引入啟發(fā)程序生成初始解，并基于二進(jìn)制編碼設(shè)計(jì)了交叉、變異等遺傳操作以及局部搜索算子.下面對(duì)MOMA解的表達(dá)、種群初始化、遺傳操作和局部搜索等內(nèi)容進(jìn)行詳細(xì)描述.

3.1 種群初始化

為了提高初始種群質(zhì)量，設(shè)計(jì)了啟發(fā)程序，用于生成初始解.啟發(fā)程序采用船廠經(jīng)典測(cè)地線法對(duì)板材進(jìn)行展開，獲得最終的展開板.測(cè)地線法的展開思想與本文一致，因此可以獲取測(cè)地線法展開的橫縱基準(zhǔn)線的信息，并采用二進(jìn)制對(duì)其進(jìn)行編碼，產(chǎn)生啟發(fā)程序初始解.基于該初始解，保持橫向基準(zhǔn)線端點(diǎn)不變，以初始解選取肋骨作為橫向基準(zhǔn)線，產(chǎn)生新的啟發(fā)初始解.為了確保初始種群的多樣性，要求啟發(fā)式初始解的個(gè)數(shù)不超過種群規(guī)模的10%.

3.2 遺傳操作

采用二進(jìn)制編碼表達(dá)3個(gè)決策變量，在初始化、交叉和變異過程中，對(duì)于超出邊界的值需要重新進(jìn)行計(jì)算，直到所獲得的解在可行域范圍內(nèi).

選擇、交叉和變異是用于生成子代種群的遺傳操作.選擇操作采用基于非支配等級(jí)和擁擠距離的二元錦標(biāo)賽方法，從父代種群中選出優(yōu)秀個(gè)體進(jìn)行遺傳操作.二元錦標(biāo)賽法的具體過程為對(duì)于非支配等級(jí)不同的兩個(gè)個(gè)體，優(yōu)先選擇非支配等級(jí)低的個(gè)體；對(duì)于非支配等級(jí)相同的兩個(gè)個(gè)體，優(yōu)先選擇擁擠距離大的個(gè)體；對(duì)選出的父代個(gè)體按概率P進(jìn)行配對(duì)交叉.交叉操作采用部分交叉映射策略，具體操作如圖2所示(該圖為示意圖，實(shí)際染色體長(zhǎng)度較長(zhǎng))，其中R為染色體位置.其具體步驟如下：

步驟1在父代1和父代2的染色體上選取相同位置(R1，R2).

（1）強(qiáng)調(diào)團(tuán)隊(duì)協(xié)作，營(yíng)造和諧氛圍，保證職責(zé)分明而不影響親和力，確保全體員工均能全身心投入。首先，應(yīng)形成良好的合作意識(shí)，保證日常住宿與飲食，并提高自身責(zé)任心，同時(shí)，在不影響日常工作的基礎(chǔ)上，豐富業(yè)余生活，以此進(jìn)一步提高凝聚力。

步驟2交換父代1和父代2被選取的部分染色體，產(chǎn)生子代1和子代2.

步驟3對(duì)子代1和子代2進(jìn)行解碼，對(duì)于超出可行域的解隨機(jī)賦值，對(duì)子代染色體進(jìn)行修正.

圖2 交叉操作示例Fig.2 Example of crossover operator

為了保證種群的多樣性，對(duì)交叉操作產(chǎn)生的子代按概率實(shí)施變異操作，選取子代染色體中的位置，將其取反，并重新檢驗(yàn)染色體是否越界.

3.3 局部搜索算子

在MOMA中，按照概率Ppart對(duì)個(gè)體施加基于模擬退火算法的局部搜索算子.模擬退火算法是借鑒固體退火原理，固體內(nèi)部溫度較高時(shí)，內(nèi)部粒子運(yùn)動(dòng)快速無(wú)序；而隨著溫度的降低，固體內(nèi)部粒子運(yùn)動(dòng)逐步趨向有序，最終達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài).模擬退火算法是一種貪婪算法，搜索過程中引入了隨機(jī)因素，以一定的概率接受較差的解，可以幫助算法跳出局部最優(yōu)，更可能實(shí)現(xiàn)全局最優(yōu)解.

局部搜索算子的具體步驟如下：

步驟1以概率Ppart判斷是否對(duì)個(gè)體Ti進(jìn)行局部搜索.

步驟2若進(jìn)入局部搜索算子，設(shè)置模擬退火算法基本參數(shù)，對(duì)個(gè)體Ti進(jìn)行解碼，隨機(jī)產(chǎn)生個(gè)體Ti的鄰域集合.

步驟3對(duì)鄰域集合進(jìn)行二進(jìn)制編碼，計(jì)算鄰域集合的適應(yīng)值集合，并計(jì)算其支配等級(jí)和擁擠距離.

3.4 算法流程

基于以上對(duì)MOMA的介紹，可以獲得算法的流程圖，如圖3所示.其中：g為種群代數(shù)；nFEs為循環(huán)算子；nFEsmax為種群中的個(gè)體總數(shù).

圖3 MOMA流程圖Fig.3 Flow chart of MOMA

4 展開實(shí)例

以船體建造過程中一塊帆型板為例，應(yīng)用上述算法對(duì)其進(jìn)行展開優(yōu)化分析，板材的型值表如圖4(a)所示.其中：W為水線；L為肋骨線距離船尾的距離.NURBS曲面對(duì)該帆型板進(jìn)行曲面重構(gòu)和網(wǎng)格劃分，網(wǎng)格單元為四邊形，共劃分 6 100(100×61)個(gè)網(wǎng)格，如圖4(b)所示.

設(shè)置種群大小為60，迭代次數(shù)為100次，交叉概率為0.6，局部搜索概率為0.1；退火算法選擇初始溫度為800 ℃，溫度位移系數(shù)為0.2，溫度降低速率為0.9.應(yīng)用MOMA對(duì)上述帆型板基于單元等長(zhǎng)的曲板展開方法進(jìn)行優(yōu)化分析，為了驗(yàn)證算法的有效性，采用測(cè)地線法對(duì)同一塊板材進(jìn)行展開.此外，分別設(shè)立無(wú)啟發(fā)算子和無(wú)局部搜索的算法進(jìn)行對(duì)照計(jì)算，從而驗(yàn)證啟發(fā)算子和局部搜索算子的有效性.

對(duì)采用由優(yōu)化算法獲得的解集，剔除非支配解后以支配等級(jí)和擁擠程度為指標(biāo)進(jìn)行排序，從支配等級(jí)為1的解集中采用線性加權(quán)法選擇最終的方案.設(shè)置權(quán)重為[0.3,0.5,0.2]，選擇3個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)為[0.035%,8.84×10-4,0.698 1]的方案.

從表1中可以看出，采用優(yōu)化方法獲得的展開方案的面積誤差、平均應(yīng)變能和邊緣線性3個(gè)指標(biāo)均優(yōu)于測(cè)地線法，說(shuō)明通過優(yōu)化獲得的展開方法全面優(yōu)于測(cè)地線法，驗(yàn)證了該優(yōu)化算法的有效性.采用相同的權(quán)重對(duì)無(wú)局部搜索算子和無(wú)啟發(fā)算子兩種算法求解出的方案進(jìn)行選擇，結(jié)果如表1所示.無(wú)局部搜索算子的優(yōu)化方法得到的展開方案面積誤差和平均應(yīng)變能指標(biāo)均與優(yōu)化方法有較大差距，從而說(shuō)明局部搜索算子可以有效地幫助優(yōu)化方法跳出局部最優(yōu)，提高搜索效率，獲得更為優(yōu)質(zhì)的解.由無(wú)啟發(fā)算子優(yōu)化方法得到的方案的3項(xiàng)指標(biāo)與具有啟發(fā)算子獲得的方案的優(yōu)化方法差距不大，這是因?yàn)樗崴惴楦倪M(jìn)的多目標(biāo)遺傳算法，具有一定的隨機(jī)性，而在迭代次數(shù)相同和種群數(shù)目相同的情況下，具有啟發(fā)算子的優(yōu)化方法得到優(yōu)質(zhì)解的概率更大.

表1 曲面展開計(jì)算結(jié)果Tab.1 Results of expanding operators

針對(duì)該帆型板，應(yīng)用上述優(yōu)化展開算法獨(dú)立運(yùn)算20次，可以獲得多組計(jì)算方案，剔除支配解后形成新的解集合.應(yīng)用AHP法對(duì)多組展開方案機(jī)型選擇，最終獲得方案.AHP法是美國(guó)運(yùn)籌學(xué)家 Saaty 等[13]提出來(lái)的一種定性分析和定量分析相互結(jié)合的評(píng)價(jià)決策方法.通過建立問題的層次結(jié)構(gòu)模型、形成各層的判斷矩陣、進(jìn)行層次單排序及一致性檢驗(yàn)、進(jìn)行層次總排序及一致性檢驗(yàn)4個(gè)步驟來(lái)完成權(quán)值的確定.

(14)

采用AHP法在非支配解集中選取最終的展開方案，輸入AHP法的目標(biāo)權(quán)重矩陣，本例輸入值如式(14)所示，計(jì)算所得的3個(gè)目標(biāo)對(duì)應(yīng)的權(quán)重為[0.549 9,0.240 2,0.209 8]，選擇出最終方案為左端點(diǎn)坐標(biāo)(1.20×105, 2.98×103, 1.93×104)，右端點(diǎn)坐標(biāo)(1.34×105, 2.91×103, 1.91×104),以及縱向基準(zhǔn)線為11號(hào)肋骨，該方案的面積誤差為 0.026 5%，邊緣線性為 0.662 8，平均應(yīng)變能為 9.04×10-4.該方案的最終展開圖如圖5所示.

圖5 展開平面圖Fig.5 Expansion plan

5 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)船體三維曲板展開問題，提出基于單元等長(zhǎng)的展開方法，并基于該方法建立船體三維曲板展開優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型.以面積誤差、平均應(yīng)變能和邊緣線性為目標(biāo)，應(yīng)用MOMA對(duì)曲板展開問題進(jìn)行了多目標(biāo)優(yōu)化，通過與測(cè)地線法進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證了該優(yōu)化算法的有效性；通過設(shè)立對(duì)照算法試驗(yàn)，驗(yàn)證了算法中局部搜索算子和啟發(fā)算子的有效性.考慮了船體曲板展開的后續(xù)工藝環(huán)節(jié)設(shè)置3個(gè)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，所獲得的展開方案是綜合考慮板材號(hào)料套料和板材成形工藝需求的結(jié)果，為船廠無(wú)余量造船進(jìn)程中的曲板展開放樣提供一定的參考.