淺談函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用

謝麗君

（吉林師范大學(xué)，吉林長春 130000）

引 言

數(shù)列在高中數(shù)學(xué)中占據(jù)著重要地位，可以看成以正整數(shù)集（或者是它的有限子集{1，2…，n}）為定義域的函數(shù)an=f(n)，當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí)所對應(yīng)的一系列函數(shù)值[1]。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生可以將數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，從而利用函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用進(jìn)行解題。

一、函數(shù)解析式在數(shù)列中的應(yīng)用

數(shù)列是一種函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式都可以看成關(guān)于n的函數(shù)。下面，筆者通過表格給出數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式與函數(shù)解析式之間的關(guān)系（見表1）。

表1 數(shù)列與函數(shù)解析式之間的關(guān)系表

用函數(shù)的思想解決題目中給出的數(shù)列前n項(xiàng)和公式的問題時(shí)，學(xué)生還需要注意該數(shù)列是否為分段數(shù)列，也就是說a1是否滿足該數(shù)列的前n項(xiàng)和公式[2]。下面，筆者用一道例題進(jìn)行簡要說明。

例1：已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=n2+2n+1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為__________。

解析：本題的常規(guī)做法是找到Sn與an之間的關(guān)系，即an=Sn-Sn-1(n≥2)，再利用Sn求出首項(xiàng)a1，將a1代入前面所求的通項(xiàng)公式中進(jìn)行驗(yàn)證即可。該題目給出的前n項(xiàng)和公式是含有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)，常規(guī)方法的解題步驟仍與前面相同，但是在最后的驗(yàn)證環(huán)節(jié)，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)該題目中的首項(xiàng)并不滿足所求的通項(xiàng)公式，即該數(shù)列是分段數(shù)列。通過運(yùn)算得出本題的通項(xiàng)公式為

如果題目給出的前n項(xiàng)和公式是表1中的二次函數(shù)形式，那么學(xué)生就可以直接根據(jù)該數(shù)列是等差數(shù)列，求出公差d和a1即可。題目中給出的前n項(xiàng)和公式若是含有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)形式，則說明該數(shù)列是分段數(shù)列。

二、函數(shù)圖像在數(shù)列中的應(yīng)用

在解決函數(shù)相關(guān)問題的過程中，函數(shù)圖像往往最能直接體現(xiàn)函數(shù)的特征。如根據(jù)數(shù)列前n項(xiàng)和求出Sn最大時(shí)n的值、數(shù)列中各項(xiàng)大小的比較等類型題目均可以借助函數(shù)圖像的直觀性進(jìn)行解答[3]。

例2：在等差數(shù)列{an}中，已知a1=20。前n項(xiàng)和為Sn，且S10=S15，問當(dāng)n為何值時(shí)，Sn有最大值，并求出它的最大值。

解析：如圖1所示，用函數(shù)的觀點(diǎn)來解決該題目可知，當(dāng)S10=S15時(shí)，S25=0。在利用函數(shù)思想挖掘出本題目的隱含信息后，問題就變得容易了。由函數(shù)圖像可以看出，當(dāng)n=12和n=13時(shí)，本題目有兩個(gè)相等的Sn最大值。根據(jù)題目中所給的信息a1=20 和S25=0，可以得到，所以a1+a25=2a13=0，即a13=0，最后再根據(jù)a13+a1=20，即可求出結(jié)果。

圖1 利用函數(shù)圖像表示數(shù)列前項(xiàng)和

三、函數(shù)單調(diào)性在數(shù)列中的應(yīng)用

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的基本性質(zhì)之一，因此，對數(shù)列單調(diào)性的判斷可以借助函數(shù)單調(diào)性的判斷方法。例如，等差數(shù)列{an}，根據(jù)其通項(xiàng)公式與一次函數(shù)之間的關(guān)系可知，當(dāng)d＞0時(shí)，數(shù)列是遞增數(shù)列；當(dāng)d＜0 時(shí),數(shù)列是遞減數(shù)列；當(dāng)d=0 時(shí),數(shù)列是常數(shù)列[4]。

例3：已知數(shù)列{an} 滿足，則an的最大項(xiàng)為________。

利用函數(shù)的單調(diào)性可以解決與數(shù)列有關(guān)的最值、不等式、比較各項(xiàng)大小等數(shù)學(xué)問題[5]。

四、函數(shù)周期性在數(shù)列中的應(yīng)用

函數(shù)的周期性是指若存在一個(gè)非零常數(shù)T，對于定義域內(nèi)的任意x，使得f(x)=f(x+T)恒成立，則f(x)為周期函數(shù)。而數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，其周期性是指對于任意的正整數(shù)n，若存在常數(shù)T(T∈N+)，使得an+T=an，則數(shù)列an具有周期性。

例4：數(shù)列{an}的通項(xiàng)，其前n項(xiàng)和為Sn，則S30為______。

解析：三角函數(shù)具有周期性，當(dāng)三角函數(shù)與數(shù)列相結(jié)合時(shí)，數(shù)列就具有了周期性。首先對進(jìn)行降冪處理，。通過列出前9 項(xiàng)可以發(fā)現(xiàn)該數(shù)列是以3 為最小正周期的數(shù)列，于是將每個(gè)周期內(nèi)的三項(xiàng)相加，構(gòu)成了一個(gè)以為首項(xiàng)，以9 為公差的數(shù)列{bn}，該數(shù)列的前10 項(xiàng)和T10即為最終答案。

當(dāng)然，不僅數(shù)列與三角函數(shù)相結(jié)合會體現(xiàn)出周期性，還有一些數(shù)列本身就具有周期性。當(dāng)題目中的數(shù)列各項(xiàng)沒有明顯關(guān)系時(shí)，學(xué)生可以根據(jù)題目中給出的遞推關(guān)系式，先寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，再觀察其規(guī)律，最后求出該數(shù)列的周期[6]。

結(jié) 語

函數(shù)思想是高中數(shù)學(xué)思想的重要組成部分。在函數(shù)基礎(chǔ)上，研究數(shù)列的本質(zhì)內(nèi)容，不僅可以幫助學(xué)生更好地理解數(shù)列的概念，還能讓學(xué)生更進(jìn)一步地掌握和應(yīng)用函數(shù)思想。學(xué)生要隨著對數(shù)列考查的不斷深入而靈活運(yùn)用函數(shù)思想，使其成為解決數(shù)列問題的重要方法，從而提高解題效率。