妙用導數(shù)法，巧解函數(shù)和不等式問題

武文香

【摘要】高中數(shù)學中，導數(shù)是非常重要的內(nèi)容，導數(shù)法就是對函數(shù)進行求導，借助導數(shù)的性質(zhì)找到解題的突破口，尤其是在研究函數(shù)與方程和不等式問題中應用最為廣泛，同時也是最有效的一種解題技巧。本文主要分析在高考數(shù)學中最典型的用導數(shù)法解函數(shù)和解不等式的技巧，希望能夠為廣大考生提供一些幫助，提高自身的解題效率和準確率，爭取在考試中獲得高分。

【關(guān)鍵詞】導數(shù)法;函數(shù);不等式

從最近幾年的高考數(shù)學題中我們可以發(fā)現(xiàn)，壓軸題多數(shù)以考查函數(shù)導數(shù)為主，具有很強的綜合性，與此同時也具有靈活的技巧性，分析函數(shù)和不等式的特點，構(gòu)造函數(shù)，借助導數(shù)的特點找到解題的突破口，但是構(gòu)造函數(shù)是很多學生公認的難點，本文主要結(jié)合歷年各地高考題來進行輔助說明，如何巧用導數(shù)法，解決函數(shù)和不等式問題。

一、借助導數(shù)法解決函數(shù)單調(diào)性的問題

在高中數(shù)學中，函數(shù)一般比較復雜，明確函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性往往是解題的第一步，可見函數(shù)單調(diào)性在解決函數(shù)問題上具有很重要的作用，例如判斷函數(shù)值大小、求極值、求取值范圍等都需要用到函數(shù)的單調(diào)性。

1. 借助函數(shù)單調(diào)性比較函數(shù)值的大小

在高考的數(shù)學大題中，函數(shù)通常具有抽象性和復雜性，在判斷函數(shù)值的大小的時候，我們通常首先要考慮的就是函數(shù)的單調(diào)性，在研究不等式的時候也要借助函數(shù)的單調(diào)性進行判斷。而判斷函數(shù)單調(diào)性最直接、最有效的方式就是用導數(shù)法，通過對函數(shù)進行求導，研究定義域內(nèi)導數(shù)值的正負情況，就能夠確定函數(shù)在定義域的不同區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性。 導數(shù)值大于零，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，導數(shù)值小于零，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)，進而就能快速的比較兩個函數(shù)值的大小關(guān)系。

2. 借助函數(shù)單調(diào)性求極值、最值或取值范圍

在一個函數(shù)中，通常會給出函數(shù)的定義域，要求求出函數(shù)在定義域內(nèi)的最值或值域等，學生習慣性會將定義域兩端的函數(shù)值直接代入到原函數(shù)中，將計算得出的結(jié)果作為最終答案，但是實際上并非一定如此，只有函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)時，定義域兩端才是最值點。但是高考題通常會給學生設(shè)置一些陷阱，函數(shù)在定義域上并非是單調(diào)函數(shù)，會出現(xiàn)拐點，如果是二次函數(shù)，我們能夠很快的找到拐點的位置，但是對于一些復雜函數(shù)，用常規(guī)的思維就很難找到拐點的位置，此時我們借助導數(shù)法求出拐點。即：函數(shù)導數(shù)為零的點會出現(xiàn)拐點，拐點處有可能就是函數(shù)的極值點，我們可以借助導數(shù)值的正負大致畫出原函數(shù)的變化趨勢，借助圖像更直觀的觀察出函數(shù)的極值點或最值點，進而求出極值或最值。因此，我們在解決和函數(shù)的極值、最值或值域有關(guān)的題目時，不僅要計算定義域兩端的函數(shù)值，同時還要求出拐點的函數(shù)值，綜合考慮才能夠得到正確的答案。

二、構(gòu)造函數(shù)，借助導數(shù)解決函數(shù)和不等式問題

在解高考函數(shù)和不等式問題的時候，有時候題目給的函數(shù)并不是直接利用導數(shù)就能夠解決問題，需要我們先自己構(gòu)造函數(shù)，然后再借助導數(shù)解決問題。常用的函數(shù)構(gòu)造法有以下幾種。

1. 作差法

通常已知兩個函數(shù)f（x）和g（x），比較兩個函數(shù)的大小，此時需要構(gòu)造出一個新的函數(shù)F（x）= f（x）- g（x），進而就將題目轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的F（x）min≥0或者是F（x）max≤0，解決和函數(shù)最值有關(guān)的問題。

2. 分離參數(shù)法

分離參數(shù)是指對已知恒成立的不等式在能夠判斷出參數(shù)系數(shù)正負的情況下，根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個一端是參數(shù)，另一端是變量的不等式，先求出含有變量的式子的最值，進而求出參數(shù)的取值范圍。

3. 局部構(gòu)造

綜上，在高考數(shù)學解函數(shù)和解不等式中通常會以大題的形式進行考查，難度比較大，考查學生解題的靈活性和技巧性，然而導數(shù)就是解題的橋梁，將抽象、復雜的函數(shù)和不等式轉(zhuǎn)換成函數(shù)導數(shù)問題，將復雜問題簡單化。其實函數(shù)和不等式問題歸結(jié)起來涉及單調(diào)性、極值、最值、零點等問題，其中單調(diào)性是核心。

參考文獻：

[1]潘敬貞， 韓景崗， 唐明超. 巧構(gòu)函數(shù)妙解抽象函數(shù)導數(shù)與不等式問題[J]. 中學數(shù)學研究（華南師范大學版）， 2019（21）.

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