基于異質(zhì)參與者的最優(yōu)歧視性競(jìng)賽規(guī)則研究*

王春雷，潘佳玉

(廣西大學(xué) 商學(xué)院，廣西 南寧 530004)

1 引 言

在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中，許多資源的配置結(jié)果是通過(guò)價(jià)格實(shí)現(xiàn)的，例如股票、古董、土地使用權(quán)、與股神巴菲特共進(jìn)午餐等.但是，還有許多資源的配置并不是通過(guò)市場(chǎng)價(jià)格機(jī)制而是通過(guò)競(jìng)賽方式完成，例如考大學(xué)、找工作、器官移植等.這種競(jìng)賽可以概括為:競(jìng)賽參與者為獲得獎(jiǎng)勵(lì)彼此競(jìng)爭(zhēng), 并付出不可收回的努力的過(guò)程[1].競(jìng)賽是經(jīng)濟(jì)社會(huì)中的一種普遍現(xiàn)象，在激勵(lì)和資源配置方面發(fā)揮了重要作用.例如，高考考生努力學(xué)習(xí)以便進(jìn)入好的大學(xué)或者好的專業(yè)；研究人員努力發(fā)表論文和撰寫(xiě)課題申請(qǐng)書(shū)達(dá)到職稱晉升或獲得科研經(jīng)費(fèi)支持；運(yùn)動(dòng)員努力訓(xùn)練希望在比賽中獲得更好的名次.在某些競(jìng)賽情形下，競(jìng)賽組織者可以通過(guò)制定競(jìng)賽規(guī)則，使得競(jìng)賽規(guī)則有利于一部分參與者.比如，特定地區(qū)或者特殊背景的高考考生可以獲得加分；國(guó)家或教育部的基金項(xiàng)目管理部門(mén)在評(píng)審時(shí)會(huì)向西部地區(qū)高校傾斜.

現(xiàn)有關(guān)于競(jìng)賽理論的研究文獻(xiàn)已經(jīng)對(duì)這種歧視性競(jìng)賽規(guī)則進(jìn)行了比較深入的研究.Fu(2006)采用全支付拍賣(mài)模型論證了大學(xué)為保證其學(xué)術(shù)質(zhì)量，招生規(guī)則一般會(huì)偏向于少數(shù)族裔[2].Tsoulouhas等(2007)分析了企業(yè)在選擇首席執(zhí)行官時(shí)，當(dāng)內(nèi)部員工比外部人員優(yōu)秀或者差不多時(shí)，規(guī)則應(yīng)有利于內(nèi)部員工，只有當(dāng)外部人員相對(duì)優(yōu)秀很多時(shí)，規(guī)則才應(yīng)偏向于外部人員[3].Fain(2009)發(fā)現(xiàn)在一些情形下歧視性的競(jìng)賽規(guī)則能夠促使所有類型的競(jìng)賽參與者都提高努力水平[4].董志強(qiáng)(2009)分析了組織中扶弱抑強(qiáng)的歧視性資源配置現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)若互相競(jìng)爭(zhēng)的代理人能力不對(duì)稱，扶弱抑強(qiáng)的歧視性資源配置政策將更有利于委托人[5].海江濤等(2013)表明政府在激勵(lì)投標(biāo)商參與公共產(chǎn)品技術(shù)創(chuàng)新時(shí)，如果存在技術(shù)外溢，政府應(yīng)采取偏袒性的競(jìng)賽規(guī)則[6].侯琨等(2014)論證了如果針對(duì)不同類型的競(jìng)賽參與者設(shè)置不同的約束條件，能夠誘致更高的總努力水平[7].

盡管上述研究對(duì)理解現(xiàn)實(shí)中的競(jìng)賽規(guī)則設(shè)計(jì)具有指導(dǎo)價(jià)值，但這些模型的假設(shè)和結(jié)論并不總是令人信服.研究文獻(xiàn)通常假設(shè)模型只有兩位競(jìng)賽參與者，按照能力或者對(duì)獎(jiǎng)品的估值分成高、低兩類，但現(xiàn)實(shí)中的競(jìng)賽參與者通常要多于兩位，而且參與人的類別往往要多于兩類.更重要的是，在只有兩位競(jìng)賽參與者時(shí)，歧視性競(jìng)賽規(guī)則通常使得競(jìng)賽參與者獲勝概率相等[8].也就是說(shuō)，競(jìng)賽的結(jié)果看起來(lái)是競(jìng)賽設(shè)計(jì)者“丟硬幣”決定的.在實(shí)際中，盡管競(jìng)賽組織者會(huì)偏向于能力相對(duì)較弱的競(jìng)賽參與者，但通常不會(huì)使得其獲勝概率與能力較強(qiáng)的競(jìng)賽參與者一樣大.因此，本文放松了競(jìng)賽參與者數(shù)量的限制，來(lái)分析競(jìng)賽參與者規(guī)模對(duì)競(jìng)賽結(jié)果以及競(jìng)賽規(guī)則設(shè)計(jì)的影響.結(jié)果表明，即便競(jìng)賽參與者只有兩類，而且每類參與者人數(shù)相等，這種競(jìng)賽的均衡結(jié)果以及規(guī)則設(shè)計(jì)也與兩人競(jìng)賽模型有顯著差異.此外，研究文獻(xiàn)一般基于Lazear和Rosen(1981)[9]提出的錦標(biāo)賽模型來(lái)分析歧視性競(jìng)賽規(guī)則，但這種模型很難處理參與者數(shù)量大于2的情況，因此本文采用的是Tullock(1980)[10]提出的尋租競(jìng)賽模型，這一模型已經(jīng)在皮建才(2012)[11]、魏光興(2016)[12]等國(guó)內(nèi)文獻(xiàn)中得到了運(yùn)用，不過(guò)這些文獻(xiàn)分析的仍然是參與者數(shù)量為2的情況.

與本文分析框架最接近的文獻(xiàn)是Frank等(2013)[13]，他們同樣采用尋租競(jìng)賽模型分析在多個(gè)異質(zhì)參與者存在的條件下，如何設(shè)計(jì)歧視性的競(jìng)賽規(guī)則最大化競(jìng)賽參與者的總體努力水平.然而，在他們的模型中，競(jìng)賽參與者的努力成本函數(shù)是線性的，這會(huì)導(dǎo)致歧視性競(jìng)賽規(guī)則將一部分參與者排除在外.這一結(jié)論與現(xiàn)實(shí)也不太相符，例如國(guó)家自然科學(xué)基金委不會(huì)因?yàn)楣P者研究水平太低而不讓其申請(qǐng)科研項(xiàng)目.因此，本文假定競(jìng)賽參與者的努力成本函數(shù)是二次型的，在很多現(xiàn)實(shí)情形下，二次型成本函數(shù)是一個(gè)更好的假設(shè).例如，員工努力工作的時(shí)間越長(zhǎng)，其負(fù)效用也越來(lái)越大.在這一假定之下，無(wú)論競(jìng)賽參與者的能力有多差，競(jìng)賽組織者在設(shè)計(jì)競(jìng)賽規(guī)則時(shí)也不會(huì)將他排除在外.

2 基本模型

假設(shè)一個(gè)競(jìng)賽有n個(gè)參與者，參與者i付出的努力水平為xi，xi≥0.參與者i獲勝的概率表示為：

(1)

如果競(jìng)賽獎(jiǎng)品可以拆分，如引言中提到的銷(xiāo)售競(jìng)賽中的獎(jiǎng)金，這筆獎(jiǎng)金可以分給多位參與競(jìng)賽的銷(xiāo)售人員，而且參與者的努力結(jié)果也可以被觀測(cè)到，如銷(xiāo)售產(chǎn)品的數(shù)量，式(1)還可以看作參與者i分享獎(jiǎng)金的比例.上述競(jìng)賽模型還可以同錦標(biāo)賽模型聯(lián)系起來(lái).在最簡(jiǎn)單的錦標(biāo)賽模型框架下，競(jìng)賽參與者的努力結(jié)果用xi+εi衡量，獲勝的概率為pi=P(xi+εi>xj+εj,?j≠i).Jia(2008)[14]用xiεi而不是xi+εi來(lái)衡量努力結(jié)果，在對(duì)誤差項(xiàng)εi的分布進(jìn)行特殊設(shè)定的情況下，同樣可以得到式(1).

(2)

其中Vi是參與人對(duì)獎(jiǎng)品的估值.由于競(jìng)賽參與者努力水平選擇{xi}僅與{ci/Vi}有關(guān)，因此在下文中為簡(jiǎn)便化處理，令所有競(jìng)賽參與者對(duì)獎(jiǎng)品的估值Vi=1，i=1,…,N.此時(shí)，ci可以看作是根據(jù)獎(jiǎng)品估值標(biāo)準(zhǔn)化后的邊際成本系數(shù).

競(jìng)賽組織者的目標(biāo)是使得競(jìng)賽參與者付出的總體努力水平之和最大，即

(3)

(4)

借鑒Cornes和Hartley(2005)[15]的思想，本文提出一種非常簡(jiǎn)便的均衡求解方法.令

每位參與者付出的努力水平滿足條件：

(5)

式(5)的函數(shù)形式要比最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)簡(jiǎn)單得多.均衡時(shí)，每位參與者付出的努力水平僅僅與均衡總體努力水平相關(guān).

根據(jù)式(5)，均衡時(shí)競(jìng)賽參與者i獲勝的概率為

(6)

根據(jù)以上分析，得到命題1.

3 歧視性競(jìng)賽規(guī)則

假設(shè)競(jìng)賽組織者可以針對(duì)每位參與者付出的努力水平設(shè)置一個(gè)權(quán)重wi>0，參與者i獲勝的概率變?yōu)椋?/p>

(7)

如果所有的權(quán)重相等，表明競(jìng)賽規(guī)則對(duì)所有參與人來(lái)說(shuō)都是公平的.如果權(quán)重不相等，表明競(jìng)賽規(guī)則會(huì)對(duì)某些競(jìng)賽者有利，是一種歧視性的競(jìng)賽.在其他人權(quán)重不變的條件下，wi越大，競(jìng)賽規(guī)則越偏向于參與者i.

令yi=wixi，yi衡量的是參與者i在競(jìng)賽中的表現(xiàn)，這個(gè)指標(biāo)越大，說(shuō)明參與者表現(xiàn)越好，其獲勝概率也越大.競(jìng)賽參與者i的期望收益可以表示為競(jìng)賽表現(xiàn)yi的函數(shù)，即

(8)

給定權(quán)重{wi}的條件下，競(jìng)賽參與者i一旦確定努力水平xi，其在競(jìng)賽中的表現(xiàn)yi就隨之確定，也就是說(shuō)，xi與yi是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.因此，在競(jìng)賽組織者確定歧視性競(jìng)賽規(guī)則并告知所有競(jìng)賽參與者的前提下，參與者i選擇努力水平xi最大化其期望收益等同于選擇競(jìng)賽表現(xiàn)yi最大化其期望收益.

(9)

(10)

根據(jù)式(10)，每位競(jìng)賽參與者的競(jìng)賽表現(xiàn)與總體表現(xiàn)水平之間的關(guān)系為

(11)

易知，均衡時(shí)競(jìng)賽參與者i獲勝的概率為

(12)

競(jìng)賽組織者的目標(biāo)是設(shè)計(jì)權(quán)重{wi}使得參與者付出的總體努力水平之和最大，即

(13)

競(jìng)賽參與者付出的努力水平xi=yi/wi，而競(jìng)賽表現(xiàn)由式(12)確定，因此式(13)可以寫(xiě)成：

(14)

(15)

令拉格朗日函數(shù)為

(16)

一階條件為：

(17)

(18)

(19)

根據(jù)式(19)可知，在均衡時(shí)，競(jìng)賽設(shè)計(jì)者賦予每個(gè)參與者的權(quán)重與其邊際成本系數(shù)成正比.也就是說(shuō)，最優(yōu)歧視性競(jìng)賽規(guī)則設(shè)計(jì)表現(xiàn)出一種“抑強(qiáng)扶弱”(董志強(qiáng), 2009)[5]的特征.

根據(jù)上述分析，得到命題2.

4 結(jié) 論

采用Tullock(1980)提出的尋租競(jìng)賽模型，本文分析在有多個(gè)異質(zhì)參與者競(jìng)爭(zhēng)且每位參與者面臨的成本函數(shù)為二次型的情況下，如何設(shè)計(jì)歧視性的競(jìng)賽規(guī)則使得競(jìng)賽參與者的總體努力水平達(dá)到最大.研究文獻(xiàn)通常利用最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)求解均衡策略以及最優(yōu)競(jìng)賽規(guī)則，但很難處理競(jìng)賽參與者數(shù)量眾多的情況, 因?yàn)橥ǔＰ枰蠼庖粋€(gè)多元非線性方程組.本文借鑒Cornes and Hartley(2005)的思路提出了一種非常簡(jiǎn)便的均衡求解方法.無(wú)論競(jìng)賽參與者數(shù)量有多大，命題1和命題2表明均可以方便地利用一個(gè)一元方程求解均衡策略和最優(yōu)歧視性競(jìng)賽規(guī)則，即使不能得到解析解，也可以通過(guò)數(shù)值方法得到均衡結(jié)果.此外，競(jìng)賽參與者規(guī)模對(duì)均衡結(jié)果以及最優(yōu)歧視性競(jìng)賽規(guī)則具有顯著影響，即使競(jìng)賽參與者只有兩類，且每類參與者人數(shù)相等，也不能直接簡(jiǎn)化成兩位競(jìng)賽模型，因此許多研究文獻(xiàn)只考慮兩位競(jìng)賽參與者的簡(jiǎn)化設(shè)定并不妥當(dāng).