帶圓角的平板接觸模型與有限元分析

張漢玉，徐文君

（中國民航大學(xué)工程技術(shù)訓(xùn)練中心，天津 300300）

葉片是航空發(fā)動(dòng)機(jī)的重要構(gòu)件，在工作環(huán)境惡劣情況下，尤其是渦輪葉片，要承受高溫高壓燃?xì)獾母咚贈(zèng)_擊。據(jù)統(tǒng)計(jì)，發(fā)動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)性故障中，葉片是研制和使用過程中故障率最高的零件之一，占發(fā)動(dòng)機(jī)總故障的30%以上[1-2]。因而，最大限度地降低葉片結(jié)構(gòu)在工作中的振動(dòng)應(yīng)力是十分必要的。工程上通常利用干摩擦阻尼器來消耗葉片的振動(dòng)能量，以實(shí)現(xiàn)減振的目的。

在干摩擦阻尼器設(shè)計(jì)或計(jì)算中，接觸剛度通常是最先要確定的參數(shù)，然而，接觸剛度一般較難確定，往往依賴經(jīng)驗(yàn)給定一個(gè)較為合理的數(shù)值[3]。郝燕平等[4]提出帶阻尼器的葉片振動(dòng)響應(yīng)實(shí)驗(yàn)和理論計(jì)算相結(jié)合的方法，并研究了接觸面法向正壓力及激振力對接觸剛度kt的影響規(guī)律，得出kt·為的三次函數(shù)。按照該結(jié)論，當(dāng)激振力不變時(shí)，隨著法向正壓力的增加，接觸剛度kt也隨之增加，且趨向于無窮，這與實(shí)際不符。史亞杰等[5]通過有限單元法對干摩擦阻尼的接觸剛度進(jìn)行求解，并分析了接觸面法向正壓力、摩擦系數(shù)、接觸面大小等對接觸剛度的影響規(guī)律。何尚文等[6]引入彈性剪切層，給出了正壓力恒定時(shí)的接觸剛度計(jì)算方法。漆文凱等[7]采用整體-局部滑動(dòng)模型，結(jié)合有限元軟件對等效剛度進(jìn)行了分析。以上研究，在計(jì)算接觸剛度時(shí)，使用的是直角平板接觸模型，且將法向正壓力簡化為恒力或二次函數(shù)形式，顯然沒有考慮到接觸邊緣的應(yīng)力集中問題，與實(shí)際分布情況差別較大，導(dǎo)致接觸剛度的計(jì)算結(jié)果不可靠。

雖然前人已對阻尼器接觸剛度進(jìn)行一定研究，但尚無一種準(zhǔn)確有效的計(jì)算方法。因此，提出將理論推導(dǎo)與有限元計(jì)算相結(jié)合的方法，并使用帶圓角的平板接觸模型來計(jì)算接觸面上的法向正壓力、切向力以及接觸剛度；使用有限元軟件對接觸模型進(jìn)行模擬計(jì)算，并擬合出接觸剛度隨正壓力變化的關(guān)系式，從而，可以獲得較為簡便可靠的接觸剛度計(jì)算方法。

1 接觸剛度理論推導(dǎo)

1.1 接觸模型

圖1 帶圓角的平板接觸模型Fig.1 Flat contact model with rounded edges

為了得到切向剛度的表達(dá)式，假設(shè)：①接觸面上的受力沿著y 向均勻分布；②接觸面上的壓力和剪力沿x 向的分布可由二維接觸分析得到，即忽略了有限長平板的邊緣效應(yīng)。

1.2 二維模型中正壓力和切向力分布

沿y 向提取一個(gè)單位長度的平板進(jìn)行分析，如圖2所示。其中，和對應(yīng)單位長度的法向正壓力和切向力；a 為未添加正壓力時(shí)x 向的接觸長度；c 為添加切向力后x 向的粘滯長度。

圖2 二維接觸模型Fig.2 2D contact model

接觸面的法向正壓力分布[8]為

式中，sin φ0=a/b。

利用壓力分布公式（1）可得到正壓力p（x）隨接觸長度x 的變化曲線，并將縱坐標(biāo)的p（x）和橫坐標(biāo)x 分別以（P/b）和b 進(jìn)行無量綱處理，即：橫坐標(biāo)的取值范圍從[-b，b]變?yōu)閇-1，1]，從而縱坐標(biāo)的取值范圍也隨之改變，如圖3所示。

前列腺炎是成年男性常見的泌尿系統(tǒng)疾病，主要分為急性和慢性起病，臨床上將其分為4型[1]。在中醫(yī)，前列腺炎可屬于“淋證”、“精濁”、“腰痛”等范疇。慢性前列腺炎(chronicprostatitis，CP)并不危及生命，但嚴(yán)重影響患者的心理與生理健康，降低患者的生活質(zhì)量與幸福指數(shù)[2]。目前，主要的治療方法療效并不理想，針刺作為一種傳統(tǒng)的中醫(yī)藥療法，近年來已有許多臨床研究證實(shí)其有效的治療作用，為了對針刺與其他治療方法進(jìn)行更客觀的療效對比開展了本項(xiàng)Meta分析。

圖3 法向正壓力p（x）沿x 向的分布Fig.3 Normal pressure distribution along x axis

圖3中描述了a/b 取不同值時(shí)，法向正壓力的分布曲線。當(dāng)a/b=0 時(shí)，即未加載法向正壓力，初始接觸長度a=0，此時(shí)的接觸模型可以轉(zhuǎn)化為“圓柱-平板”接觸；隨a/b 逐漸增加，接觸面兩端的正壓力最大值max[p（x）]逐漸變大，而中心位置的正壓力最小值min[p（x）]逐漸變?。划?dāng)a/b=1 時(shí)，即接觸面的初始長度與加載后的長度一致，此時(shí)接觸模型可轉(zhuǎn)化為“平板-平板”接觸。

圖4 切向力q（x）沿x 向的分布Fig.4 Tangent pressure distribution along x axis

1.3 切向力與切向位移

前文分析了2D 接觸模型的壓力分布，這種方法并不能直接確定切向力和切向相對位移之間的聯(lián)系。當(dāng)已知3D 接觸模型的法向正壓力與切向力時(shí)，Johnson[9]提出了一種方法來確定切向力和切向相對位移之間的關(guān)系，從而來計(jì)算遲滯環(huán)。

將切向力q（x）施加在彈性半空間上，如圖5所示，則位移為

其中：E 為彈性模量，v 為泊松比；R2=（x - r）2+（y -s）2+z2。

圖5 半空間局部受載示意圖Fig.5 Local load of half-space

在目前的研究中，接觸面的相對位移被認(rèn)為是一維的，沿x 方向。令x=y=z=0，得到接觸中心的位移為

由于接觸面上的法向正壓力與切向力是關(guān)于接觸中心對稱分布的，可得到

考慮到L?b 和-b ≤r ≤b，有L?r。式（4）可近似地寫為

因此，接觸面上邊緣區(qū)域接觸點(diǎn)的切向相對位移可表示為

式中，E*=2（1-v2）/E。

根據(jù)剛度的定義，可將接觸剛度表示為

進(jìn)而可得到接觸剛度kd，再由Mindlin 球接觸理論可得到法向接觸剛度為

2 切向接觸剛度的有限元計(jì)算

2.1 有限元模型

首先，建立帶圓角的“平板-平板”接觸模型，如圖6所示。模型由阻尼塊和地面組成，分別采用四邊形平面應(yīng)變單元進(jìn)行分網(wǎng)?？紤]到結(jié)果可靠性要求，對接觸區(qū)域進(jìn)行了模型網(wǎng)格的收斂性分析，確定最佳的細(xì)化網(wǎng)格。材料屬性為：彈性模量為E=1.07×105MPa，泊松比v = 0.3。邊界條件和加載情況為：對地面所有節(jié)點(diǎn)的位移全約束；對阻尼塊施加法向力及切向力。這樣便可以得到接觸面在正壓力和切向力作用下的切向位移，如圖7所示。

圖6 有限元模型Fig.6 Finite element model

圖7 接觸面切向位移云圖Fig.7 Tangent displacement nephegram of contact surface

接觸剛度kd為阻尼塊左側(cè)的切向力和引起的接觸點(diǎn)的滑動(dòng)距離的比值，即

2.2 接觸剛度確定

根據(jù)1.3 節(jié)提出的方法，分別求解不同摩擦系數(shù)及不同受力情況下的接觸剛度。在阻尼塊上表面施加20 N 法向正壓力，選取摩擦系數(shù)為μ=0.3 時(shí)，切向位移計(jì)算結(jié)果如表1所示。由表1中的數(shù)據(jù)計(jì)算得出切向力與接觸點(diǎn)切向位移的關(guān)系，如圖8所示。

表1 正壓力為20 N 時(shí)的切向位移計(jì)算結(jié)果Tab.1 Calculation result of tangential deformation when normal pressure is 20 N

圖8 μ=0.3 時(shí)切向力與切向位移的關(guān)系Fig.8 Tangential force vs.deformation at μ=0.3

從圖9可看出，保持正壓力不變，切向力較小時(shí)，接觸點(diǎn)的切向位移與切向力成線性關(guān)系，當(dāng)切向力變大直至接近最大靜摩擦力時(shí)，切向力和變形不再滿足線性關(guān)系。因此，當(dāng)正壓力一定時(shí)，可通過求解圖8中直線段的斜率來獲得不同摩擦系數(shù)對應(yīng)的切向接觸剛度。計(jì)算了選取不同正壓力時(shí)，3 種摩擦系數(shù)對應(yīng)的切向接觸剛度，如表2所示，并以此繪制了接觸剛度和正壓力的關(guān)系曲線，如圖9所示。

表2 不同摩擦系數(shù)下正壓力對應(yīng)的接觸剛度Tab.2 Contact stiffness vs normal pressures with different friction coefficients

圖9 不同摩擦系數(shù)下接觸剛度和正壓力的關(guān)系曲線Fig.9 Contact stiffness vs.pressure with different friction coefficients

由圖9可看出：當(dāng)選取不同正壓力時(shí)，接觸剛度值變化很大，接觸剛度隨正壓力的增加而逐漸增加；當(dāng)正壓力足夠大時(shí)，接觸剛度增加的速度趨于平緩。

在葉片的實(shí)際振動(dòng)過程中，接觸面上的受力會(huì)在一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)發(fā)生很大變化，特別是葉冠和凸肩，這會(huì)導(dǎo)致接觸剛度也發(fā)生相應(yīng)的變化。為了在葉片非線性響應(yīng)計(jì)算中獲得準(zhǔn)確的接觸剛度及摩擦力，需要考慮這種變化。以摩擦系數(shù)μ=0.3 的計(jì)算結(jié)果為例，選擇冪函數(shù)形式進(jìn)行曲線擬合，如圖10所示。

當(dāng)彈性模量E=1.07E5 MPa，泊松比v=0.3 時(shí)，通過擬合圖10中接觸剛度與正壓力的關(guān)系曲線，得到接觸剛度和法向正壓力之間的關(guān)系式為對原數(shù)據(jù)點(diǎn)的擬合精度頗高，R2為99.49%?？烧J(rèn)為，在該正壓力范圍內(nèi)，摩擦塊與地面之間的接觸剛度隨正壓力變化呈現(xiàn)冪函數(shù)形式的變化規(guī)律。

圖10 μ=0.3 時(shí)接觸剛度變化曲線Fig.10 Change curve of contact stiffness at μ=0.3

用同樣的擬合形式，分別對摩擦系數(shù)為μ=0.5 和μ=0.7 兩種情況進(jìn)行擬合，如圖11和圖12所示。

圖11 μ=0.5 時(shí)接觸剛度變化曲線Fig.11 Change curve of contact stiffness at μ=0.5

圖12 μ=0.7 時(shí)切向接觸剛度變化曲線Fig.12 Change curve of contact stiffness at μ=0.7

當(dāng)μ=0.5 時(shí)，切向接觸剛度和法向正壓力之間的關(guān)系式為

對原數(shù)據(jù)點(diǎn)的擬合精度頗高，R2為99.65%。

當(dāng)μ=0.7 時(shí)，切向接觸剛度和法向正壓力之間的關(guān)系式為對原數(shù)據(jù)點(diǎn)的擬合精度更高，R2為99.76%。

得到接觸面上接觸剛度kd隨正壓力的變化規(guī)律后，則相應(yīng)的法向接觸剛度則可以利用式（9）進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)泊松比v=0.3 時(shí)，kn≈1.21kd。

3 結(jié)語

首先分析了帶圓角的平板接觸模型接觸面上的受力情況，討論了平板圓角的變化對接觸面上正壓力和切向力分布的影響；根據(jù)剛度定義，并結(jié)合接觸點(diǎn)的位移分布，給出了接觸剛度和法向正壓力之間的關(guān)系。

然后，利用數(shù)值仿真對接觸剛度的求解方法進(jìn)行了模擬計(jì)算，得到可用來描述正壓力與接觸剛度關(guān)系的表達(dá)式，并得到以下結(jié)論：①接觸剛度會(huì)因接觸面上正壓力與摩擦系數(shù)的不同而變化；②接觸剛度隨接觸面上正壓力的增加而變大，并呈冪函數(shù)關(guān)系；③接觸剛度隨摩擦系數(shù)增加而增大，正壓力越大，接觸剛度隨摩擦系數(shù)的不同而變化越顯著。

上述方法可快捷準(zhǔn)確地得到正壓力與接觸剛度的關(guān)系表達(dá)式。接觸剛度的準(zhǔn)確性直接決定了接觸面的接觸狀態(tài)變化，實(shí)時(shí)地考慮接觸剛度能夠更加準(zhǔn)確地分析接觸點(diǎn)從粘滯到滑動(dòng)的變化過程，為遲滯環(huán)以及葉片響應(yīng)的正確計(jì)算提供了保證。