如何幫助學(xué)生建立完整的函數(shù)概念

章建躍

(人民教育出版社 課程教材研究所 100081)

在“預(yù)備知識(shí)”中學(xué)習(xí)的集合語言、常用邏輯用語和不等式的相關(guān)知識(shí)及由內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想和方法，為函數(shù)的一般概念和性質(zhì)的學(xué)習(xí)做好了比較充分的認(rèn)知準(zhǔn)備.根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的安排，接下來的內(nèi)容是必修課程的“主題二 函數(shù)”，內(nèi)容包括：函數(shù)概念與性質(zhì)，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)，函數(shù)應(yīng)用.正如課程標(biāo)準(zhǔn)指出的，函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本的概念，是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)語言和工具，在解決實(shí)際問題中發(fā)揮重要作用.函數(shù)是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的主線.所以，本主題在高中數(shù)學(xué)課程中的重中之重.

整體上，高中階段函數(shù)主線的基本架構(gòu)是：

函數(shù)的概念與性質(zhì)——基本初等函數(shù)——函數(shù)的應(yīng)用——離散函數(shù)(數(shù)列)——導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用.

下面按上述基本線索展開討論，首先討論函數(shù)的概念和性質(zhì).

1 課程定位

課程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的本單元核心任務(wù)是：幫助學(xué)生建立完整的函數(shù)概念，不僅把函數(shù)理解為刻畫變量之間依賴關(guān)系的數(shù)學(xué)語言和工具，也把函數(shù)理解為實(shí)數(shù)集合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；能用代數(shù)運(yùn)算和函數(shù)圖象揭示函數(shù)的主要性質(zhì)；在現(xiàn)實(shí)問題中，能利用函數(shù)構(gòu)建模型，解決問題.內(nèi)容包括：函數(shù)概念、函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)的形成與發(fā)展.

分析課程標(biāo)準(zhǔn)的這一表述，需要注意如下幾點(diǎn)：

第一，“完整的函數(shù)概念”包括“變量說”和“對(duì)應(yīng)關(guān)系說”.可以認(rèn)為，這是認(rèn)識(shí)函數(shù)概念的兩個(gè)角度，但更重要的是兩個(gè)抽象層次.“變量說”比較形象、直觀，與“變化過程”聯(lián)系緊密；“對(duì)應(yīng)關(guān)系說”進(jìn)一步舍棄了運(yùn)動(dòng)變化背景，抽象為兩個(gè)實(shí)數(shù)集元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣就不僅可以研究一類函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)之間的關(guān)系(例如y=kx+b中，k，b取不同的值對(duì)函數(shù)圖象、變化快慢的影響等)，還可以研究不同函數(shù)類的關(guān)系，對(duì)不同函數(shù)類進(jìn)行運(yùn)算等，從而極大地拓展了函數(shù)的研究視野，函數(shù)的應(yīng)用范圍也得到擴(kuò)展.

第二，函數(shù)性質(zhì)的研究方法，強(qiáng)調(diào)代數(shù)運(yùn)算和函數(shù)圖象的綜合運(yùn)用，也就是要進(jìn)一步加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的方法.實(shí)際上，初中主要是通過圖象直觀給出函數(shù)性質(zhì)的定性描述，顯然這是比較“粗糙”的.高中階段應(yīng)該在圖象直觀的基礎(chǔ)上加強(qiáng)代數(shù)運(yùn)算的方法，由此得到函數(shù)性質(zhì)的定量刻畫.進(jìn)一步地，還要在選擇性必修課程中利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行研究，實(shí)現(xiàn)對(duì)函數(shù)性質(zhì)的精確刻畫.

第三，本單元的學(xué)習(xí)路徑是：函數(shù)的概念→函數(shù)的性質(zhì)→函數(shù)的應(yīng)用.另外，“函數(shù)的形成與發(fā)展”是從數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化的角度提出學(xué)習(xí)任務(wù)，借此使學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的思想、精神、語言、方法、觀點(diǎn)，了解函數(shù)在人類生活、科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的作用，以及與函數(shù)相關(guān)的人文活動(dòng).

2 課程標(biāo)準(zhǔn)提出的內(nèi)容和要求

2.1 函數(shù)的概念

(1)在初中用變量之間的依賴關(guān)系描述函數(shù)的基礎(chǔ)上，用集合語言和對(duì)應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念，體會(huì)集合語言和對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，能求簡單函數(shù)的定義域.

(2)在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)，理解函數(shù)圖象的作用.

(3)通過具體實(shí)例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用.

2.2 函數(shù)性質(zhì)

(1)借助函數(shù)圖象，會(huì)用符號(hào)語言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值，理解它們的作用和實(shí)際意義.

(2)結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的概念和幾何意義.

(3)結(jié)合三角函數(shù)，了解周期性的概念和幾何意義.

2.3 函數(shù)概念的形成與發(fā)展

收集函數(shù)概念的形成與發(fā)展的歷史資料，撰寫論文，論述函數(shù)發(fā)展的過程、重要結(jié)果、主要人物、關(guān)鍵事件及其對(duì)人類文明的貢獻(xiàn).

上述內(nèi)容和要求，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)概念抽象的層次性，與學(xué)生的認(rèn)知水平相適應(yīng).函數(shù)是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的一條主線，所以本單元在高中數(shù)學(xué)中有奠基地位.定義抽象、符號(hào)抽象、具體函數(shù)類型多且復(fù)雜(連續(xù)的、離散的)、相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系性增強(qiáng)、用更多的工具(代數(shù)運(yùn)算、幾何直觀、導(dǎo)數(shù))討論函數(shù)性質(zhì)等是高中函數(shù)學(xué)習(xí)的特點(diǎn).引入具有一般性的抽象符號(hào)f(x)，使學(xué)生能通過建立模型刻畫現(xiàn)實(shí)問題的數(shù)量關(guān)系，并通過討論函數(shù)的性質(zhì)而認(rèn)識(shí)、把握和解釋它的變化規(guī)律，這是學(xué)習(xí)函數(shù)的重要意義所在.本單元有利于學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)的發(fā)展.

3 核心內(nèi)容的理解與教學(xué)思考

本單元要在初中的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生利用“變量說”對(duì)典型事例進(jìn)行分析，體悟引入“對(duì)應(yīng)關(guān)系說”的必要性，并通過對(duì)具體實(shí)例共性的歸納，抽象概括出函數(shù)概念；引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)不同表示法的特點(diǎn)，能根據(jù)問題的特點(diǎn)選擇合適的表示法表示函數(shù)；讓學(xué)生學(xué)會(huì)用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆?hào)語言刻畫函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)的方法，并能用函數(shù)的概念與性質(zhì)解決簡單的問題.

3.1 本章學(xué)習(xí)的認(rèn)知基礎(chǔ)在哪里

(1)在初中學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上展開新內(nèi)容.初中階段，學(xué)生已經(jīng)歷了“函數(shù)的一般概念——一次函數(shù)——二次函數(shù)——反比例函數(shù)”的學(xué)習(xí)過程.其中，函數(shù)的概念如下：

在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量x與y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說x是自變量，y是x的函數(shù).如果當(dāng)x=a時(shí)y=b，那么b叫做當(dāng)自變量的值為a時(shí)的函數(shù)值.

(2)利用學(xué)生熟悉的現(xiàn)實(shí)問題引入新內(nèi)容.現(xiàn)實(shí)中存在著大量蘊(yùn)含函數(shù)關(guān)系的事例，它們都是有利于學(xué)生理解函數(shù)概念的素材.利用好這些素材，不僅可以使學(xué)生領(lǐng)悟函數(shù)概念的內(nèi)涵，而且可以提高學(xué)習(xí)興趣.教學(xué)中需要認(rèn)真思考的是如何選擇實(shí)例才能更有利于學(xué)生展開概念的抽象活動(dòng).一般而言，典型、簡單、豐富是基本指標(biāo)，人教A版中的4個(gè)實(shí)例就是從這幾個(gè)角度考慮的.“典型”實(shí)例的本質(zhì)特征突出，有利于學(xué)生觀察與發(fā)現(xiàn)，教學(xué)中可以適當(dāng)采用強(qiáng)化的辦法突出有關(guān)特征；“簡單”是為了避免因?yàn)楸尘暗膹?fù)雜化而導(dǎo)致理解困難，以利于學(xué)生把注意力集中到關(guān)鍵特征上；“豐富”的實(shí)例應(yīng)該涵蓋各種變式，以利于學(xué)生在非本質(zhì)屬性的變化中發(fā)現(xiàn)本質(zhì)屬性.

3.2 如何設(shè)計(jì)函數(shù)概念的抽象概括活動(dòng)

我們知道，概念形成和概念同化是學(xué)生獲得概念的兩種基本方式.學(xué)生在初中完整地學(xué)習(xí)了“變量說”，函數(shù)的本質(zhì)特征是對(duì)應(yīng)關(guān)系，具體實(shí)例中的對(duì)應(yīng)關(guān)系一般都可以用這一“話語體系”進(jìn)行刻畫.“對(duì)應(yīng)關(guān)系說”是刻畫對(duì)應(yīng)關(guān)系的另一套“話語體系”，用集合語言、對(duì)應(yīng)關(guān)系并引入抽象符號(hào)表述函數(shù)概念是非常數(shù)學(xué)化的，要求學(xué)生自己想到如此刻畫函數(shù)本質(zhì)特征的方式難度較大.

課程標(biāo)準(zhǔn)指出，函數(shù)是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)語言和工具.根據(jù)語言和工具的學(xué)習(xí)規(guī)律，從模仿、重復(fù)、記憶開始，在運(yùn)用中加深理解，在理解的基礎(chǔ)上強(qiáng)化記憶，形成技能，然后逐步走向靈活運(yùn)用.對(duì)于學(xué)生而言，他們不必自己創(chuàng)造這些語言和工具，只要能夠理解語言的涵義，領(lǐng)會(huì)定義的精神實(shí)質(zhì)，知道工具的特點(diǎn)和使用方法，能夠在遇到問題時(shí)用出來就可以了.當(dāng)然，為了有利于理解，需要經(jīng)歷一定的過程，使學(xué)生體會(huì)語言和工具的構(gòu)成方式、使用方法等等.

根據(jù)以上分析，人教A版安排了如下概念學(xué)習(xí)活動(dòng)：

第一步，用“變量說”分析問題(1)：

S=350t．

在確認(rèn)S是t的函數(shù)的基礎(chǔ)上，提出問題：

如果有人說：“根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系y=300x，這趟列車加速到300 kmh后，運(yùn)行1 h就前進(jìn)了300km．”你認(rèn)為這個(gè)說法正確嗎？

再分析、歸納出這一說法不正確的原因是“沒有關(guān)注到t的變化范圍”，然后給出實(shí)數(shù)集之間對(duì)應(yīng)關(guān)系的表述：

列車行進(jìn)的路程S與運(yùn)行時(shí)間t的對(duì)應(yīng)關(guān)系是

S=350t．

①

其中，t的變化范圍是數(shù)集A1={t|0≤t≤0.5}，S的變化范圍是數(shù)集B1={S|0≤S≤175}．對(duì)于數(shù)集A1中的任一時(shí)刻t，按照對(duì)應(yīng)關(guān)系①，在數(shù)集B1中都有唯一確定的路程S和它對(duì)應(yīng)．

第二步，給出變式問題(2)～(4)，其中問題(2)與問題(1)解析式相同但定義域不同(在分析過程中要求學(xué)生對(duì)兩者是否為同一個(gè)函數(shù)進(jìn)行辨析)，問題(3)是北京市某天的空氣質(zhì)量指數(shù)變化圖(只能用圖象表示)，問題(4)是我國某省城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況表(沒有解析式)，讓學(xué)生模仿刻畫問題(1)的語言進(jìn)行重復(fù)敘述，從中體會(huì)函數(shù)定義中的對(duì)應(yīng)關(guān)系的本質(zhì)特征，以逐步熟悉這種“話語方式”.

第三步，提出問題：

上述實(shí)例(1)～實(shí)例(4)中的函數(shù)有哪些共同特征？由此你能概括出函數(shù)概念的本質(zhì)特征嗎？

引導(dǎo)學(xué)生得出共同特征：

(1)都包含兩個(gè)非空數(shù)集，用A，B來表示；(2)都有一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系；(3)盡管對(duì)應(yīng)關(guān)系的表示方法不同，但它們都有如下特性：對(duì)于數(shù)集A中的任意一個(gè)數(shù)x，按照對(duì)應(yīng)關(guān)系，在數(shù)集B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng).

接著指出：

事實(shí)上，除解析式、圖象、表格外，還有其他表示對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法．為了表示方便，我們引進(jìn)符號(hào)f統(tǒng)一表示對(duì)應(yīng)關(guān)系．

第四步，給出“對(duì)應(yīng)關(guān)系說”.

上述四個(gè)步驟，既使學(xué)生體會(huì)用“對(duì)應(yīng)關(guān)系說”重新定義函數(shù)的必要性，又給出了用更高層次的數(shù)學(xué)語言抽象具體問題中對(duì)應(yīng)關(guān)系的示范.然后，在變化的情境中引導(dǎo)學(xué)生用同樣的語言描述相應(yīng)的變量關(guān)系和規(guī)律，認(rèn)識(shí)函數(shù)的內(nèi)涵(主要是對(duì)應(yīng)關(guān)系的特征)，從而形成歸納概括概念所需要的素材.在充分的具體事例鋪墊的基礎(chǔ)上，再給出形式化的函數(shù)定義.

順便提及，有人認(rèn)為，“稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)”中的B本身就是一個(gè)抽象的集合，而且在函數(shù)的后續(xù)研究中，集合B再無用處，真正重要的是值域，所以這里的B應(yīng)該統(tǒng)一規(guī)定為實(shí)數(shù)集R，即函數(shù)的定義可以改為：

設(shè)A是非空的數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f：A→R，都有唯一確定的實(shí)數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→R為一個(gè)函數(shù)，記作

y=f(x)，x∈A.

其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域.

這樣定義確實(shí)簡單而且不失嚴(yán)謹(jǐn)，避免了無關(guān)因素的干擾，但有一點(diǎn)瑕疵是符號(hào)f：A→R重復(fù)出現(xiàn).如何改進(jìn)函數(shù)的定義，廣大讀者可以展開討論.

3.3 如何引導(dǎo)學(xué)生辨析概念

根據(jù)認(rèn)知心理學(xué)理論，概念辨析是獲得概念的必須步驟，其目的是通過具體實(shí)例進(jìn)一步理解概念關(guān)鍵詞的涵義，明確區(qū)分類似概念，避免模棱兩可、似是而非，使新概念具有清晰性、可辨別性、可利用性.

實(shí)際上，在概念抽象環(huán)節(jié)，具體實(shí)例的選擇就要注意到有利于學(xué)生認(rèn)識(shí)概念的本質(zhì)特征.例如，人教A版中的四個(gè)實(shí)例，涵蓋了最常見的函數(shù)表示類型，包括解析式、圖象和表格，連續(xù)的、離散的，值域C包含于集合B的等等，通過這些例子讓學(xué)生感受到函數(shù)的豐富性.在給出定義后，教材通過如下幾個(gè)方面引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行辨析：

(1)用新知識(shí)解釋一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)定義(可以讓學(xué)生獨(dú)立完成)；

(2)回到實(shí)際去：構(gòu)建問題情境，解釋函數(shù)y=x(10-x)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這是從抽象到具體的過程(實(shí)踐表明，因?yàn)閷W(xué)生的現(xiàn)實(shí)經(jīng)驗(yàn)不夠豐富，所以他們根據(jù)解析式構(gòu)建的實(shí)際問題情境較單一，教學(xué)時(shí)應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生舉更多的例子)；

(3)對(duì)應(yīng)關(guān)系的結(jié)果性.通過問題：

下列函數(shù)中哪個(gè)與函數(shù)y=x相等？

使學(xué)生理解，對(duì)于函數(shù)y=f(x)，x∈A和函數(shù)u=g(v)，v∈B，如果A=B且?a∈A，都有f(a) =g(a)，那么這兩個(gè)函數(shù)就是同一個(gè)函數(shù)，稱它們相等.

通過這個(gè)問題的辨析，可以讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)的本質(zhì)是兩個(gè)數(shù)集元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而用什么符號(hào)或形式表示是非本質(zhì)的.數(shù)學(xué)中，“相等”是非常重要的一種關(guān)系，兩個(gè)函數(shù)相等的充要條件是對(duì)應(yīng)關(guān)系一致、定義域相同，這里“對(duì)應(yīng)關(guān)系一致”的含義是“任意一個(gè)自變量所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等”.

函數(shù)概念的辨析要圍繞函數(shù)三要素這個(gè)整體，要聚焦在對(duì)應(yīng)關(guān)系這個(gè)核心.

有人說，定義域相同對(duì)應(yīng)關(guān)系不同的兩個(gè)函數(shù)也可以是相同的函數(shù)，例如：y=x+1，x∈{0，1}和y=x2+1，x∈{0，1}.你認(rèn)為呢？

3.4 “函數(shù)的表示”有怎樣的教學(xué)價(jià)值

一般而言，給出數(shù)學(xué)對(duì)象的表示方法是定義數(shù)學(xué)概念的一部分，不需要專門討論，而且數(shù)學(xué)對(duì)象的不同表示法之間可以互相轉(zhuǎn)化.但對(duì)于函數(shù)概念，因?yàn)閳D像法、列表法、解析法等不同表示法各有特點(diǎn)，而且有的函數(shù)只能采取某種表示法(這時(shí)不同表示法之間不能轉(zhuǎn)化)，因此在函數(shù)概念的學(xué)習(xí)中需要專門討論表示法，其重點(diǎn)是根據(jù)具體問題的需要選擇恰當(dāng)?shù)谋硎痉?

更重要的是，“函數(shù)的表示”給學(xué)生提供了一個(gè)從兩個(gè)變量之間的依賴關(guān)系、兩個(gè)實(shí)數(shù)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系、函數(shù)圖象的幾何直觀等多個(gè)角度認(rèn)識(shí)函數(shù)概念的機(jī)會(huì)，有利于學(xué)生在數(shù)學(xué)表達(dá)與抽象定義之間建立聯(lián)系，全面理解y=f(x)中f的意義.所以，教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)“什么例子有利于說明不同表示法特點(diǎn)”的思考，要通過不同表示法的分析與比較，讓學(xué)生體會(huì)它們各自的特點(diǎn).

例如，人教A版中有這樣一個(gè)例子：

某種筆記本的單價(jià)是5元，買x(x∈{1,2,3,4,5})個(gè)筆記本需要y元.試用函數(shù)的三種表示法表示函數(shù)y=f(x).

這個(gè)例題很簡單，但它具有如下功能：

(1)解析式、表格和圖象都是表示y=f(x)的方法，它們都給出了從A={1,2,3,4,5}到B={5,10,15,20,25}的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，即對(duì)于A中任意一個(gè)數(shù)，由解析式、表格或圖象都能確定B中唯一的數(shù)與之對(duì)應(yīng)，而且這個(gè)數(shù)相等，即表示法不同但對(duì)應(yīng)結(jié)果相同.

調(diào)查發(fā)現(xiàn)，大量學(xué)生認(rèn)為圖象、表格表示的對(duì)應(yīng)關(guān)系不是函數(shù)，本題的學(xué)習(xí)有利于消除這一理解偏差.

(2)不同的表示法有不同的特點(diǎn)，解析式是精確的，圖象是直觀的，表格是直接的.課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)“理解用圖像表示函數(shù)的特點(diǎn)”，其意圖就是加強(qiáng)函數(shù)的直觀性，這在討論函數(shù)性質(zhì)時(shí)非常有效.

為了更好地分析和解決問題，有時(shí)需要進(jìn)行不同表示法的轉(zhuǎn)化和綜合使用.例如，教材中有如下例題：

下表是某校高一(1)班三名同學(xué)在高一學(xué)年六次數(shù)學(xué)測試的成績及班級(jí)平均分表.

請(qǐng)你對(duì)這三位同學(xué)在高一學(xué)年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況做一個(gè)分析.

這里，用表格給出了三名學(xué)生的成績和班級(jí)平均分，其實(shí)是四個(gè)函數(shù)，為了分析三名學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，轉(zhuǎn)化為圖像表示更有利.

3.5 如何使學(xué)生掌握研究函數(shù)性質(zhì)的方法

建立客觀世界中運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象的函數(shù)模型，目的是要用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法分析函數(shù)模型的性態(tài)，由此發(fā)現(xiàn)事物的變化規(guī)律，進(jìn)而精確地“預(yù)測未來”.高中階段學(xué)習(xí)的基本初等函數(shù)是現(xiàn)實(shí)世界中均勻變化、勻加速變化、指數(shù)增長、對(duì)數(shù)增長、周期性變化等最為基本而典型的運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象的數(shù)學(xué)抽象，大量復(fù)雜的變化現(xiàn)象其實(shí)都是這些現(xiàn)象的復(fù)合與綜合，這些函數(shù)模型的性質(zhì)反映了現(xiàn)實(shí)世界中大量事物的變化規(guī)律，具有典型性、普遍性、一般性，所以探索和掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)，無論對(duì)研究現(xiàn)實(shí)事物的變化規(guī)律還是對(duì)進(jìn)一步研究更為復(fù)雜的函數(shù)等，都具有奠基性作用，是非常重要的.高中階段要研究的函數(shù)性質(zhì)有：單調(diào)性、最大(小)值、奇偶性、周期性、函數(shù)的零點(diǎn)、正增長或負(fù)增長、增長率或衰減率等.其中，單調(diào)性是最重要的性質(zhì).在進(jìn)入基本初等函數(shù)研究之前，要讓學(xué)生了解函數(shù)性質(zhì)的大致研究架構(gòu)，要在用日常語言描述函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)上，學(xué)會(huì)用符號(hào)語言表達(dá)函數(shù)性質(zhì).

(1)關(guān)于函數(shù)性質(zhì)的內(nèi)容、結(jié)構(gòu)和研究方法

這里首先要解決：為什么要研究函數(shù)的性質(zhì)？什么叫“函數(shù)的性質(zhì)”？函數(shù)的性質(zhì)主要有哪些？如何發(fā)現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì)等問題.

教學(xué)時(shí)可以通過具體例子，向?qū)W生說明如下幾點(diǎn)：

①通過研究函數(shù)的變化規(guī)律可以把握客觀世界中事物的變化規(guī)律；

②函數(shù)的性質(zhì)，主要是函數(shù)值隨自變量的變化而變化的規(guī)律，“變化中的不變性、規(guī)律性就是性質(zhì)”，如隨著自變量的增大函數(shù)值是增大還是減小(變化趨勢)，有沒有最大值或最小值(特殊意義的取值)，函數(shù)圖象有什么特征(主要是對(duì)稱性)，有沒有其他特殊取值(如函數(shù)零點(diǎn))等；

x≠0，y≠0，說明圖象與坐標(biāo)軸沒有交點(diǎn)；

xy=k>0，說明圖象在第一、三象限；

由k>0且為定值可知，當(dāng)x>0時(shí)，隨著x增大，y減小，圖象會(huì)越來越貼近x軸但不會(huì)與x軸相交，……；

需要注意的是，學(xué)生(甚至有些教師)比較習(xí)慣于“觀察圖象，得出性質(zhì)”，所以教學(xué)中要有意識(shí)地滲透從代數(shù)角度研究函數(shù)性質(zhì)的方法.在積累了一定知識(shí)后，還要讓學(xué)生形成“由性質(zhì)畫圖象”的觀念(實(shí)際上，人教A版在指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)以及后面的導(dǎo)數(shù)中都有這樣的要求).

(2)函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)的單調(diào)性是老師們特別關(guān)注的內(nèi)容，可以有不同的處理方法.一段時(shí)間以來，大家都采用“例-規(guī)”法教學(xué)，希望通過適當(dāng)?shù)膯栴}引領(lǐng)，使學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)單調(diào)性的刻畫方法，特別是試圖把“函數(shù)值隨自變量的增大而增大(減小)”轉(zhuǎn)化為定量的不等式語言刻畫，以及為什么要“?x1，x2∈D”這兩個(gè)難點(diǎn)解決在給出判斷規(guī)則之前，但實(shí)踐表明，教學(xué)效果并不理想.究其原因，一是單調(diào)性判斷規(guī)則本身的抽象性；二是定量化方法的構(gòu)造性，學(xué)生在此之前沒有學(xué)過類似的方法，他們的認(rèn)知準(zhǔn)備不充分；第三，和“對(duì)應(yīng)關(guān)系說”類似，這也是語言的學(xué)習(xí)，學(xué)生是否能自主探索出表達(dá)單調(diào)性的符號(hào)語言并不是重點(diǎn)，重要的是要讓學(xué)生學(xué)會(huì)符號(hào)語言的表達(dá)方式，理解如此表達(dá)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?、簡潔?所以，人教A版采用了“規(guī)-例”法，具體步驟如下：

第一步，以f(x)=x2為載體，敘述用符號(hào)語言表達(dá)單調(diào)性的方法：

這里實(shí)際上是數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換，從“從左到右下降”，到“x<0時(shí)，f(x)隨x的增大而減小”，再到“用符號(hào)語言表達(dá)”.其中，符號(hào)語言是嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語言，也是難點(diǎn)，所以教科書采取了直接示范的方法.

第二步，通過用符號(hào)語言表達(dá)f(x)=x2，在(0，+)上單調(diào)遞增，以及“思考”欄目：

函數(shù)f(x)=|x|，f(x)=-x2各有怎樣的單調(diào)性？

使學(xué)生熟悉符號(hào)語言的表述方法(教學(xué)時(shí)要讓學(xué)生模仿第一步的敘述完整寫出單調(diào)遞增的符號(hào)語言表達(dá))；

第三步，給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表達(dá)，包括符號(hào)語言表達(dá)和圖示；

第四步，通過“思考”欄目：

設(shè)A是區(qū)間D上某些自變量的值組成的集合，而且?x1，x2∈A，當(dāng)x1

引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行辨析，從而理解規(guī)則中“?x1，x2∈D”的必要性.

函數(shù)單調(diào)性是數(shù)學(xué)的判斷規(guī)則，但它也有概念的屬性，所以上述內(nèi)容的處理，體現(xiàn)了概念同化與概念形成相融合的方式，并且加強(qiáng)了符號(hào)語言表達(dá)方式的引導(dǎo).

(3)函數(shù)的奇偶性

單調(diào)性是函數(shù)的“局部性質(zhì)”，奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；單調(diào)性是針對(duì)所有函數(shù)來討論的，奇偶性是某些函數(shù)的特殊性質(zhì).

通過單調(diào)性的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)了解研究函數(shù)性質(zhì)的主要任務(wù)，即利用符號(hào)語言對(duì)函數(shù)的變化規(guī)律做出嚴(yán)謹(jǐn)表達(dá)，在此過程中理解它們的作用，能用于刻畫實(shí)際問題中的變化規(guī)律.單調(diào)性刻畫了在某一區(qū)間上，當(dāng)自變量增大時(shí)函數(shù)值的變化趨勢；奇偶性則是刻畫了函數(shù)的對(duì)稱性，把圖象的對(duì)稱性(幾何特性)轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系，并用嚴(yán)格的符號(hào)語言表達(dá)，溝通了形與數(shù)，實(shí)現(xiàn)了從定性到定量的轉(zhuǎn)化.偶函數(shù)的圖象是軸對(duì)稱圖形，而且對(duì)稱軸是固定的——y軸，偶函數(shù)的判斷規(guī)則就是利用y=f(x)表達(dá)“圖象是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是y軸”；類似的，奇函數(shù)的判斷規(guī)則就是利用y=f(x)表達(dá)“圖象是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是原點(diǎn)”.如果知道一個(gè)函數(shù)具有奇偶性，那么就可以通過研究x>0(或x<0)的情況而得到整體的情況.

因?yàn)槠媾夹缘膸缀翁卣骱痛鷶?shù)特征都比較明顯，學(xué)生比較容易從具體實(shí)例中進(jìn)行歸納，所以教材按如下步驟展開內(nèi)容：

第一步，畫出函數(shù)f(x)=x2和g(x)=2-|x|的圖象，要求學(xué)生觀察圖象，并說出這兩個(gè)函數(shù)圖象的共同特征.

第二步，安排“探究”欄目

類比函數(shù)單調(diào)性，你能用符號(hào)語言精確地描述“函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱”這一特征嗎?

讓學(xué)生開展自主探究活動(dòng)，通過從特殊到一般的方法歸納出：

?x∈R，都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x)，這時(shí)稱函數(shù)f(x)=x2為偶函數(shù).

然后要求學(xué)生仿照已有過程，說明函數(shù)f(x)=2-|x|也是偶函數(shù).

第三步，用符號(hào)語言表示：

函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果?x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù).

順便說明，與以往偶函數(shù)的定義稍有不同，這個(gè)定義明確了偶函數(shù)定義域的特征.

第四步，重復(fù)偶函數(shù)的研究過程，得出奇函數(shù)的定義.

因?yàn)槠婧瘮?shù)的定義與偶函數(shù)的定義完全同構(gòu)，所以教學(xué)時(shí)可以讓學(xué)生自己提出問題，展開模仿性探究并給出定義.

總之，函數(shù)的基本性質(zhì)的內(nèi)容處理，從認(rèn)知理論看，既有同化也有順應(yīng)，學(xué)生在教材的示范下進(jìn)行模仿、歸納和抽象而形成性質(zhì)的判斷規(guī)則，并且安排了對(duì)關(guān)鍵詞的辨析和應(yīng)用規(guī)則判斷函數(shù)性質(zhì)的練習(xí)，從而落實(shí)判斷函數(shù)性質(zhì)的操作步驟，由此為學(xué)生鋪設(shè)起合適的認(rèn)知臺(tái)階，能使學(xué)生經(jīng)歷完整的學(xué)習(xí)過程，從而保證學(xué)生對(duì)函數(shù)性質(zhì)判斷規(guī)則的理解水平，并對(duì)“如何研究函數(shù)性質(zhì)”有所感悟.

3.6 關(guān)于函數(shù)概念的教學(xué)

函數(shù)概念，因?yàn)槠涓叨鹊某橄笮?，面?duì)的問題多樣而復(fù)雜，涉及到許多代數(shù)、幾何知識(shí)，而且要用數(shù)形結(jié)合的方法，因而使解決問題的思想方法具有很強(qiáng)的綜合性，另外，也是特別重要的，函數(shù)所描述的是客觀世界的變量關(guān)系和規(guī)律，所以需要學(xué)習(xí)者積累豐富的生活經(jīng)驗(yàn)，對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中相關(guān)的運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象要有一定深度的了解，所有這些都是造成函數(shù)概念學(xué)習(xí)困難的因素.克服困難的方法是讓學(xué)生參與到概念的建構(gòu)過程中，要讓學(xué)生完整地經(jīng)歷“具體事例——觀察、實(shí)驗(yàn)——比較、分析——分類、綜合——抽象、概括”的過程.

關(guān)于函數(shù)概念的教學(xué)已經(jīng)有大量討論，所以不做全面討論，這里只強(qiáng)調(diào)認(rèn)真講好教材中四個(gè)實(shí)例的重要意義.具體的，應(yīng)該以“對(duì)應(yīng)關(guān)系說”為定向，通過邏輯連貫、前后一致的問題串引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)概念的內(nèi)涵.

首先，問題1、2是有解析式的，要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注自變量的取值范圍.例如，根據(jù)問題1的背景，可以提出如下問題：

①時(shí)間t的變化范圍是什么？

②你能回答“加速到350 km/h后，火車運(yùn)行1小時(shí)所對(duì)應(yīng)的距離是多少”嗎？為什么？

③你認(rèn)為如何描述才能反映列車的真實(shí)運(yùn)動(dòng)過程？

其次，問題3 “空氣質(zhì)量指數(shù)變化圖”，借助這個(gè)例子要使學(xué)生了解：第一，圖象給出了對(duì)應(yīng)關(guān)系；第二，自變量的范圍A是精確的，A中任意一個(gè)數(shù)在B中都有唯一的數(shù)與之對(duì)應(yīng)；第三，函數(shù)值所在的范圍B可以比較“寬松”，有的數(shù)可以沒有自變量與之對(duì)應(yīng)；第四，為了方便表示，需要引入新的符號(hào).所以可以提出如下問題：

①時(shí)間t在什么范圍？I是t的函數(shù)嗎？為什么？AQI的值I在什么范圍？

說明：時(shí)間t的范圍[0，24]是確定的；利用“變量說”可以解釋I是t的函數(shù)，因?yàn)椤?t∈[0,24]，都有唯一確定的I值與之對(duì)應(yīng)”是一個(gè)事實(shí)；困難在于I的范圍，學(xué)生可能會(huì)用測量的方法給出，這時(shí)教師可以追問：這樣得出的范圍能反映“?t∈[0,24]，都有唯一確定的I值與之對(duì)應(yīng)”這個(gè)事實(shí)嗎？如何改進(jìn)一下？通過討論，使學(xué)生體會(huì)讓集合B包含值域并不影響對(duì)應(yīng)關(guān)系的本質(zhì)(這個(gè)過程有利于發(fā)展學(xué)生思維的抽象性).

順便指出，這里要下功夫讓學(xué)生理解“圖象就是對(duì)應(yīng)關(guān)系”，這是促進(jìn)學(xué)生理解函數(shù)概念的契機(jī).所以，不能僅以“因?yàn)槿我庖粋€(gè)時(shí)間t都有唯一一個(gè)AQI的值與之對(duì)應(yīng)”一語帶過，應(yīng)讓學(xué)生說明：給定一個(gè)時(shí)間t，如何借助圖象找出與之對(duì)應(yīng)的AQI的值.這里可以利用信息技術(shù)把對(duì)應(yīng)過程表達(dá)出來.

②從所給的圖中能回答“11月24日8時(shí)對(duì)應(yīng)的AQI是多少”嗎？

③這是一個(gè)函數(shù)，有解析式嗎？如果讓你表示出這個(gè)函數(shù)，你會(huì)怎么做？

因?yàn)樗o的圖象只是11月23日的AQI變化情況，所以不能回答11月24日的情況；這是一個(gè)函數(shù)但沒有解析式，要對(duì)它作出表示，那么就非引入符號(hào)語言不可.

有了上述過程的詳細(xì)鋪墊，再讓學(xué)生歸納共同特征、抽象概念就相對(duì)容易了.這里要注意讓學(xué)生把4個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系放在一起以便于觀察得出共性(可以用表格呈現(xiàn))，特別是要讓學(xué)生用自己的語言說明這4個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系的表示形式不同(解析式、圖、表)，但本質(zhì)一樣：對(duì)于集合A中任意一個(gè)數(shù)，在集合B中都有唯一一個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng)；還要讓他們說明引入抽象的符號(hào)語言統(tǒng)一表達(dá)函數(shù)所帶來的好處.

3.7 如何研究函數(shù)

這個(gè)函數(shù)的教學(xué)主要應(yīng)把握好如下幾點(diǎn)：

第一，內(nèi)容的定位上，要注意從聯(lián)系、結(jié)構(gòu)、整體等觀點(diǎn)出發(fā)，與初中正比例函數(shù)、反比例函數(shù)和剛剛學(xué)習(xí)的冪函數(shù)聯(lián)系起來，以培養(yǎng)學(xué)生“利用已有知識(shí)解決新的問題”的思維習(xí)慣；同時(shí)，通過這個(gè)函數(shù)的研究，讓學(xué)生體會(huì)通過運(yùn)算構(gòu)造新函數(shù)的方法.

第二，要在促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展上加強(qiáng)思考，可以通過適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)設(shè)計(jì)，在研究這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)、圖象的過程中，發(fā)展直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng).

第三，要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)人教A版的設(shè)計(jì)意圖.實(shí)際上，教材是循著以下思路引導(dǎo)學(xué)生開展研究性學(xué)習(xí)的：

(1)面對(duì)一個(gè)對(duì)象，首先要明確需要研究的問題，所以提出問題“你認(rèn)為可以從哪些方面研究這個(gè)函數(shù)？”

(2)研究一個(gè)函數(shù)是有基本套路的，這是培養(yǎng)學(xué)生“有邏輯地思考”的過程，所以提出問題“你認(rèn)為可以按怎樣的路徑研究這個(gè)函數(shù)？”

圖1

4 小結(jié)

比較初高中的兩個(gè)函數(shù)定義，可以發(fā)現(xiàn)它們的本質(zhì)是一致的，都以“對(duì)應(yīng)關(guān)系”為核心，但它們使用的語言有很大區(qū)別，高中利用集合語言、邏輯用語，引入抽象符號(hào)f：A→B，從而使函數(shù)概念的定義更加嚴(yán)謹(jǐn)，提高了抽象層次，使概念更具一般性.這樣的語言表達(dá)，學(xué)生在以往的學(xué)習(xí)中很少接觸到，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn).因此，在函數(shù)概念的教學(xué)中，要充分注意“數(shù)學(xué)語言教學(xué)”的特征，引導(dǎo)學(xué)生通過具體實(shí)例，積累用集合與對(duì)應(yīng)關(guān)系的語言表達(dá)數(shù)學(xué)規(guī)律的經(jīng)驗(yàn)，體驗(yàn)引入抽象符號(hào)的必要性，在此基礎(chǔ)上抽象出函數(shù)的定義，從而有效地化解難點(diǎn)，把精力集中到用數(shù)學(xué)的方式表達(dá)對(duì)應(yīng)關(guān)系上.同理，函數(shù)的表示、函數(shù)的性質(zhì)等內(nèi)容的學(xué)習(xí)都有數(shù)學(xué)語言學(xué)習(xí)的特征，讓學(xué)生掌握這樣的“話語方式”是主要任務(wù)，所以可以適當(dāng)采用“模仿+練習(xí)”的方式，使學(xué)生在“用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”的過程中領(lǐng)悟函數(shù)概念的本質(zhì).