論學(xué)生思維參與的數(shù)學(xué)公式教學(xué)①
——以“三角恒等變換”起始課為例

伍春蘭 許文軍

(1.北京教育學(xué)院 100120 ； 2.北京市第五中學(xué) 100007)

1 問(wèn)題提出

數(shù)學(xué)公式背后隱藏著豐富的教育資源，適度的挖掘和利用，可達(dá)成更高的教育功能. 然而課堂觀察發(fā)現(xiàn)，很多數(shù)學(xué)教師習(xí)慣于淡化公式的來(lái)源，簡(jiǎn)化公式的推導(dǎo)，重視公式的結(jié)構(gòu)(記憶)和應(yīng)用(解題). 僅靠規(guī)?；刂R(shí)應(yīng)用(解題)的學(xué)習(xí)方式，于高考應(yīng)試而言是高效的，但就思維訓(xùn)練來(lái)說(shuō)則是欠缺的.此種現(xiàn)象，主客觀的因素都有. 客觀上高中三年知識(shí)兩年趕完一年復(fù)習(xí)(甚至更長(zhǎng))，造成了新授課時(shí)的緊張.主觀上，原因有三：教學(xué)觀念偏差，系統(tǒng)設(shè)計(jì)不足，教材開(kāi)采不夠.

下面以高中“三角函數(shù)恒等變換”起始課為例，探討如何系統(tǒng)設(shè)計(jì)，創(chuàng)設(shè)學(xué)生更多思維參與的教學(xué)活動(dòng).

2 系統(tǒng)設(shè)計(jì)

三角恒等變換，按照《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)》)，包括和角、差角、倍角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)公式，以及積化和差、和差化積、半角公式. 雖然后三組公式并不要求記憶，但六組公式，與之前學(xué)習(xí)的三角函數(shù)概念、兩組公式(誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式)交織，成為了不少學(xué)生學(xué)習(xí)三角函數(shù)的噩夢(mèng). 面對(duì)公式眾、變換 (角、名稱(chēng)、升降冪等)廣 、聯(lián)系密的學(xué)習(xí)內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)學(xué)生思維參與的構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)的活動(dòng)才是王道.

2.1 “誘導(dǎo)”引入

現(xiàn)行普通高中數(shù)學(xué)人民教育出版社A版(以下簡(jiǎn)稱(chēng)人教A版)、人民教育出版社B版(以下簡(jiǎn)稱(chēng)人教B版)，北京師范大學(xué)出版社(以下簡(jiǎn)稱(chēng)北師大版)教科書(shū)，關(guān)于三角恒等變換，從內(nèi)容順序，到章/節(jié)頭導(dǎo)言和情境，差異顯見(jiàn)(表1). 與生活、社會(huì)有關(guān)的情境有益于學(xué)生應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)，但從承前啟后的視角，我們更贊同人教A版的導(dǎo)言. 因?yàn)楹?、差角公式的認(rèn)知起點(diǎn)是誘導(dǎo)公式，依從特殊到一般的思想，學(xué)生能自然進(jìn)入和、差角公式的探究. 這樣的引入，既經(jīng)歷了推理思考，也為學(xué)生形成三角函數(shù)公式的邏輯結(jié)構(gòu)奠定良好的基礎(chǔ). 當(dāng)然，現(xiàn)實(shí)情境與數(shù)學(xué)情境共進(jìn)則是更妙的選擇.

表1 各版教科書(shū)三角恒等變換章/節(jié)頭導(dǎo)言和情境

續(xù)表

2.2 “多頭”探究

現(xiàn)行教材遵從《標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定：經(jīng)歷推導(dǎo)兩角差余弦公式的過(guò)程，由此推導(dǎo)其余的和角、差角、倍角的公式. 雖然各版本教材推導(dǎo)兩角差余弦公式創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題情境(見(jiàn)表1)不同，但都直接指向兩角差余弦. 需要思考的是：怎能想到先搞定兩角差余弦，為什么不是兩角和正弦，其它是否可以？

事實(shí)上，Cα-β，Cα+β，Sα-β，Sα+β四個(gè)公式，只需證明之一，就可借由誘導(dǎo)公式或變量代換推得另外三個(gè). 即，四個(gè)公式誰(shuí)領(lǐng)銜都不為過(guò). 自上世紀(jì)50年代開(kāi)始，教材經(jīng)歷了4次之變. 最早的教材是先證明Sα+β，70年代改Cα-β為首，90年代再改Cα+β為始.[1]自2003年《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》頒布后，又回歸到Cα-β. 可見(jiàn)，Cα-β，Cα+β，Sα-β，Sα+β誰(shuí)為首席，教材編寫(xiě)者為學(xué)生操碎了心. 問(wèn)題是學(xué)生領(lǐng)情嗎？為此我們調(diào)研了上研究課的學(xué)生，問(wèn)卷和統(tǒng)計(jì)結(jié)果見(jiàn)表2. 統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明：近五成的學(xué)生首選和角作為先導(dǎo)，只有三成多學(xué)生將差角作為首選. 各組研究的順序，基本上以正弦或余弦為始.

表2 學(xué)生調(diào)研統(tǒng)計(jì)

續(xù)表

考慮到學(xué)習(xí)者為北京市某示范高中校的數(shù)學(xué)優(yōu)生，我們將和、差、倍角三組公式的整體“多頭”推導(dǎo)，作為了三角恒等變換起始課的內(nèi)容，不僅強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合的邏輯推理，而且將三組公式納入到相應(yīng)的知識(shí)框架中，為靈活解決相關(guān)問(wèn)題奠基.

3 合作探究

3.1 和差倍角何為首

教師請(qǐng)選擇倍角為首的學(xué)生L發(fā)言：“倍角可看成兩個(gè)角相加的特例，我原來(lái)想特殊到一般，現(xiàn)仔細(xì)一琢磨，倍角公式證明了，也無(wú)法直接應(yīng)用到和角或差角上，還得再?gòu)念^證明”. “也不是完全無(wú)用”教師總結(jié)道，“從特殊到一般是一種常用的研究方法，至少可讓我們通過(guò)特殊的樣態(tài)，推知一般的形式”.

經(jīng)過(guò)比較，學(xué)生明確了由和角或差角出發(fā)研究均可，因?yàn)樽C明了和角或差角公式，經(jīng)過(guò)換元或特殊化即可得到另外兩組公式.

3.2 齊頭并進(jìn)誰(shuí)爭(zhēng)雄

至于選擇哪個(gè)具體三角函數(shù)開(kāi)始研究，毫無(wú)懸念地學(xué)生一致認(rèn)可正弦或余弦函數(shù). 于是根據(jù)前測(cè)，將學(xué)生分為四組探求公式，并確定了研究任務(wù)和順序(表3).

表3 研究任務(wù)和順序

3.2.1 起始公式的探究

4個(gè)組都無(wú)意間將α、β、α±β限制到銳角范圍，不約而同地通過(guò)構(gòu)造三角形，利用銳角三角函數(shù)的定義、相關(guān)三角形以及相關(guān)線段的關(guān)系等知識(shí)構(gòu)造方程，得到相應(yīng)的結(jié)論.

為什么要構(gòu)建三角形？各組都回應(yīng)了理由. 比如，“構(gòu)造直角三角形，就能利用銳角三角函數(shù)的定義表示各邊，然后利用三角形的等積變換以及相關(guān)三角形面積間的關(guān)系，列出以sin(α+β)為未知數(shù)的方程(圖1)”“構(gòu)造了含α、β、α-β的直角三角形，利用銳角三角函數(shù)的定義以及相關(guān)線段間的關(guān)系，列出以sin(α-β)為未知數(shù)的方程(圖6)”“構(gòu)造了含α、β、α-β的直角三角形，利用銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理以及相關(guān)直角三角形間的關(guān)系，列出以cos(α-β)為未知數(shù)的方程(圖7)”.

表4 初始公式證明

續(xù)表

續(xù)表

雖然探究有局限，但數(shù)形結(jié)合使學(xué)生對(duì)公式本質(zhì)有了深刻認(rèn)識(shí)，得到的公式結(jié)構(gòu)為進(jìn)一步嚴(yán)格證明指明了方向.學(xué)生在課后總結(jié)時(shí)說(shuō)：“在解決問(wèn)題時(shí)，要抓主要矛盾，當(dāng)然選擇策略也很重要！”“自己推導(dǎo)的公式，覺(jué)得特別清楚，印象深刻”.

圖9

圖10

學(xué)生剛學(xué)完向量知識(shí)，卻沒(méi)有人用此工具解決問(wèn)題. 無(wú)論是想用因受阻而放棄，還是不熟悉而不愿意用，當(dāng)他們用自己熟悉的構(gòu)造三角形的方法和方程思想部分解決問(wèn)題后，再回到向量方法，不僅找到了新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，而且也開(kāi)闊了問(wèn)題解決的視角，理解了現(xiàn)行教材以差角的余弦為始的用意，對(duì)向量作為工具的認(rèn)識(shí)有了提升.

3.2.2 其余公式的探究

Cα-β，Cα+β，Sα-β，Sα+β作為起始公式分組證明后，學(xué)生推導(dǎo)同角的余弦或正弦公式的方法主要有三種：構(gòu)造三角形、利用同角基本關(guān)系式、逆用誘導(dǎo)公式. 比較后，學(xué)生領(lǐng)悟到通過(guò)誘導(dǎo)公式可以充分利用已證明的公式，也省去了分類(lèi)討論的繁瑣. 值得指出的是，逆用誘導(dǎo)公式，本質(zhì)上是恒等變形(等式1). 學(xué)生在變形中，聯(lián)想、轉(zhuǎn)化、構(gòu)建等活動(dòng)，讓他們體驗(yàn)到戰(zhàn)勝挑戰(zhàn)的滿(mǎn)足，同時(shí)思維得到了鍛煉.

=cosαcosβ-sinαsinβ.

等式1 采用誘導(dǎo)公由Sα+β推導(dǎo)Cα+β

當(dāng)甲組的同學(xué)W亮出和角正切的推導(dǎo)過(guò)程及結(jié)果(等式2)時(shí)，乙組的一名同學(xué)質(zhì)疑：能否只用兩角的正切表示兩角和的正切？見(jiàn)W有些遲疑，教師提示到：看看式子的結(jié)構(gòu).W喃喃到：“分子分母均為二次齊項(xiàng)式，分子分母可同除以cosαcosβ”. 于是他繼續(xù)推導(dǎo)(等式3)，此時(shí)教室里響起了掌聲，這該是對(duì)同學(xué)W獨(dú)立思考的獎(jiǎng)賞吧.

等式2Tα+β的推導(dǎo)過(guò)程1

等式3Tα+β的推導(dǎo)過(guò)程2

4 思考建議

4.1 先行組織者與逐步分化循序漸進(jìn)

奧蘇伯爾(D·P·AuSubel，1918-2008 )從學(xué)生獲取信息的角度，提出了教學(xué)順序：起點(diǎn)應(yīng)先確定在學(xué)習(xí)層級(jí)的較高點(diǎn)，即先呈示一個(gè)一般的、有較大包容性的、較抽象的概念和原理，即所謂組織者. 由于組織者一般是在學(xué)習(xí)內(nèi)容之前呈現(xiàn)的，故被稱(chēng)為先行組織者. 然后采用逐步分化原則，再學(xué)習(xí)一些具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容.[2]這一主張，為數(shù)學(xué)章節(jié)教學(xué)提供了一種思路，即整體——部分——整體. 首先章節(jié)的起始課，應(yīng)構(gòu)建“先行組織者”，為后續(xù)學(xué)習(xí)提供導(dǎo)航作用的知識(shí)框架，以及為思維參與提供支撐的思維支架. 其次章節(jié)的后續(xù)學(xué)習(xí)，采用逐漸分化的原則，體現(xiàn)了從整體到部分的認(rèn)知過(guò)程. 最后章節(jié)的復(fù)習(xí)課，再次復(fù)盤(pán)“先行組織者”，既有利于新內(nèi)容的學(xué)習(xí)，又能深化己有相關(guān)內(nèi)容的理解．這樣的教學(xué)順序，與知識(shí)的組織方式契合，也符合學(xué)生的認(rèn)知，有助于幫助學(xué)生形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu). 本節(jié)課的設(shè)計(jì)，正是構(gòu)建“先行組織者”的起始課.

近幾年，國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)一步拓展了“先行組織者”的理論，提出“先行組織者”在包容性和抽象概括程度上既可以高于學(xué)習(xí)材料，也可以低于學(xué)習(xí)材料．[3]根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科本身的系統(tǒng)性、邏輯性，從結(jié)構(gòu)上說(shuō)，“先行組織者”主要有上位組織者、下位組織者、并列組織者及類(lèi)比組織者等.[2]

4.2 知識(shí)積累與思維訓(xùn)練并駕齊驅(qū)

杜威(Dewey，1859-1952)概括了思維的三種價(jià)值：有意識(shí)、有目的的行為的可能；系統(tǒng)化預(yù)測(cè)的可能；拓寬了客觀事物的含義.[4]前兩者屬于實(shí)際價(jià)值，能讓學(xué)生更好地遇見(jiàn)當(dāng)今或未來(lái)的社會(huì)生活；而第三種價(jià)值，在于讓學(xué)生精神世界的豐盈. 本課例起始公式的探究中，教師創(chuàng)設(shè)“多頭”探究活動(dòng)，以及放手讓學(xué)生在數(shù)與形的構(gòu)建中分組遨游，沒(méi)有牽引學(xué)生直接應(yīng)用解析幾何及向量工具快速證明，其意義在于既重視實(shí)用思維的價(jià)值，更尊重學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，關(guān)注其學(xué)科價(jià)值的充實(shí). 實(shí)踐表明只有在充分思維訓(xùn)練過(guò)程中獲得的知識(shí)，才是“活”的、能得以有效運(yùn)用的知識(shí).