關(guān)于如何尋找質(zhì)數(shù)的一種嘗試

易照雄

摘 ?要：從小于20的八個(gè)已知質(zhì)數(shù)出發(fā)，由數(shù)值計(jì)算去嘗試尋找質(zhì)數(shù)（包括孿生質(zhì)數(shù)）的公式與簡便方法。

關(guān)鍵詞：質(zhì)數(shù);偽質(zhì)數(shù);贋質(zhì)數(shù);數(shù)值計(jì)算

一、關(guān)于質(zhì)數(shù)的公式

質(zhì)數(shù)（或稱之為素?cái)?shù)）是指只能被1和其自身所整除的自然數(shù)。而合數(shù)則是指通過若干個(gè)質(zhì)數(shù)相乘所構(gòu)成的、可以被拆分的自然數(shù)。正是在這個(gè)意義上，人們將質(zhì)數(shù)視為數(shù)學(xué)中的“原子”-------一切數(shù)的基礎(chǔ)。通過考察已知的質(zhì)數(shù)不難看出，所有兩位及兩位以上的質(zhì)數(shù)的個(gè)位數(shù)只能是1、3、7、9，無一例外。而個(gè)位數(shù)為0、2、4、5、6、8的自然數(shù)以及開方后為整數(shù)的自然數(shù)，均無一例外為合數(shù)。數(shù)值計(jì)算表明，所有大于10的質(zhì)數(shù)似都可以由公式 ? 給出。只不過該公式在給出所有質(zhì)數(shù)的同時(shí)也給出了相當(dāng)數(shù)量的合數(shù)，并不全都是質(zhì)數(shù)。實(shí)際上，質(zhì)數(shù)也僅僅只是其中的一部分甚至是一小部分而已。這里，當(dāng)我們把自然數(shù) 代入該公式后，如果得到的 值為整數(shù)，我們就說自然數(shù) 可以通過“ ”測(cè)試。而由此得到的自然數(shù) ，我們則稱之為 “ ”質(zhì)數(shù)。我們也可以將公式 ， 改寫成 ? ，這樣的公式包含了10以內(nèi)的四個(gè)質(zhì)數(shù)：2、3、5、7。至于2x3重復(fù)出現(xiàn)了兩次，牽強(qiáng)的解釋可能是由2、3可以構(gòu)建5和7，因而2、3顯得比5和7更具基礎(chǔ)性一些。

下面由公式 ， 來嘗試尋找200以內(nèi)的質(zhì)數(shù)。我們先給出由這兩個(gè)公式所得到的計(jì)算值（這里，n=0、1、2、3……）：

將以上的計(jì)算值排列如下：

5 ?7 ?11 13 ?17 ?19 ?23 ?25 ?29 ?31 ?35 ?37 ?41 ?43 ?47 ?49 ?53 ?55 ?59 ?61 ?65 ?67 ?71 ?73 ?77 ?79 ?83 ?85 ?89 ?91 ?95 ?97 ? ? ?101 ?103 ?107 ?109 ?113 ?115 ?119 ?121 ?125 ?127 ?131 ?133 ?137 ?139 ?143 ?145 ?149 ?151 ?155 ?157 ?161 ?163 ?167 ?169 ?173 ?175 ?179 ?181 ?185 ?187 ?191 ?193 ?197 ?199

以上所列出的全部計(jì)算值已經(jīng)包括了200以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)，當(dāng)然也還包括一定數(shù)量的非質(zhì)數(shù)。如何去掉那些非質(zhì)數(shù)是我們這里要找尋質(zhì)數(shù)的關(guān)鍵。我們都知道費(fèi)馬小定理：如果n是一個(gè)質(zhì)數(shù)的話，那么對(duì)于任意的一個(gè)數(shù) ， 的n次方減去之 后都將是n的倍數(shù)。也即 。這樣，我們可以通過應(yīng)用基于費(fèi)馬小定理的費(fèi)馬素性測(cè)試，做到去掉上面所列的自然數(shù)中的非質(zhì)數(shù)。不過 大都是非常大的數(shù)，這給通常的計(jì)算及素性測(cè)試帶來比較大的麻煩和不便。

本文所給出如下一個(gè)比較繁瑣但卻似乎行之有效的方法，也有可能做到去掉上面的非質(zhì)數(shù)，也即我們仿照遠(yuǎn)古時(shí)候找尋質(zhì)數(shù)的“篩法”：（1）按20以內(nèi)的已知質(zhì)數(shù)從5開始，按由小到大的順序，先去掉與5 相關(guān)的合數(shù)：5x5=25，5x7=35，5x11=55，5x13=65，5x17=85，5x19=95（限于100以內(nèi)的自然數(shù)）和進(jìn)一步的5x23=115，5x25=125，5x29=145，5x31=155，5x35=175，5x37=185（限于200以內(nèi)的自然數(shù)），或者更簡便的就是直接去掉上面所列的計(jì)算值中個(gè)位數(shù)為5的數(shù)-------25、35、55、65、85、95和115、125、145、155、175、185;（2）再依次去掉7x7=49，7x11=77，7x13=91（同樣限于100以內(nèi)的自然數(shù)）和7x17=119，7x19=133，7x23=161，7x25=175以及 11x11=121，11x13=143，11x17=187和13x13=169（同樣限于200以內(nèi)的自然數(shù)）。再將這樣的計(jì)算值排列如下：

25 ?35 ?49 ?55 ?65 ?77 ?85 ?91 ?95 ?115 ?119 ?121 ?125 ?133 ?143 ?145

155 ?161 ?169 ?175 ?185 ?187

很顯然，上面的值均為非質(zhì)數(shù)，且全都已經(jīng)包括在前面的計(jì)算值中。將前面的計(jì)算值中的上述非質(zhì)數(shù)全都去掉，這樣，我們就得到了200以內(nèi)的除2和3以外的所有質(zhì)數(shù)：

5 ?7 ?11 ?13 ?17 ?19 ?23 ?29 ?31 ?37 ?41 ?43 ?47 ?53 ?59 ?61 ?67 ?71 ?73 ?79 ?83 ?89 ?97 ? ? 101 ?103 ?107 ?109 ?113 ?127 ?131 ?137 ?139 ?149 ?151 157 ?163 ?167 ?173 ?179 ?181 ?191 ?193 ?197 ?199

由上面的討論可知，部分個(gè)位數(shù)為1、3、7、9的自然數(shù)，實(shí)際上并不是質(zhì)數(shù)，而是一大類可以通過 “ ”測(cè)試的合數(shù)，如91、143、187、169，我們暫且將這類仍屬于“ ”質(zhì)數(shù)的自然數(shù)稱之為偽質(zhì)數(shù)。通過依次并連續(xù)運(yùn)用上面（1）、（2）那樣的方法，就可以去掉所有類似的非質(zhì)數(shù)（包括偽質(zhì)數(shù)）。這里，我們把建立在公式 和 的基礎(chǔ)上并進(jìn)一步"篩掉"所有非質(zhì)數(shù)的方法，暫且稱之為"新篩法"-------（a）從5和7的平方開始，之后為5與7相乘以及5和7與所有的“ ”質(zhì)數(shù)依次相乘;（b）從11的平方開始，11再同樣依次和其后所有的“ ”質(zhì)數(shù)依次相乘;其后依次是13、17、19......，再去掉以上所有相應(yīng)的計(jì)算值。通過這樣的"新篩法"，我們就有可能篩掉公式 ， 所帶來的包括偽質(zhì)數(shù)在內(nèi)的所有的非質(zhì)數(shù)，最終找到我們所要找尋的質(zhì)數(shù)。不難看出，隨著n的增大，一方面給出了真實(shí)的質(zhì)數(shù)，同時(shí)也給出了越來越多必須被篩掉的非質(zhì)數(shù)，從而導(dǎo)致最終實(shí)際存在的質(zhì)數(shù)越來越稀少。

二、贋質(zhì)數(shù)公式

另外一大類不能通過上面的 “ ”測(cè)試的自然數(shù)，如21、87、117、141、177、561、1023、16383、10234029，其個(gè)位數(shù)也是1、3、7、9，這和前面的偽質(zhì)數(shù)相同。因其仍然為合數(shù)，所以我們暫且稱之為贋質(zhì)數(shù)。贋質(zhì)數(shù)可由兩個(gè)連續(xù)的“ ” 質(zhì)數(shù)的算術(shù)均數(shù)中來得到，且所有的贋質(zhì)數(shù)都可以被3整除，也即被稱為贋質(zhì)數(shù)的這類合數(shù)都具有最小的質(zhì)因數(shù)3，或者說兩個(gè)n值不同但連續(xù)的“ ”質(zhì)數(shù)之和都可以被6整除。即：

這也是另外形式的與質(zhì)數(shù)密切相關(guān)的計(jì)算公式。

相較于其他類似的公式，在n=1、2、3……的情形下，如上面的 ，（這個(gè)公式給出的最小的質(zhì)數(shù)為3，）， （其給出的最小的質(zhì)數(shù)為5）以及 （其給出的最小的質(zhì)數(shù)為11）， （其給出的最小的質(zhì)數(shù)也為11）和 ? ?（這兩個(gè)公式給出的最小的質(zhì)數(shù)7為和5），還有三百多年前著名的法國業(yè)余數(shù)學(xué)家費(fèi)馬發(fā)現(xiàn)的質(zhì)數(shù)相關(guān)公式 ? ? ?（這兩個(gè)公式給出的最小的質(zhì)數(shù)為5和7），公式 ， 給出的計(jì)算值不但不包括任何偶數(shù)（ ? ?這兩個(gè)公式的計(jì)算值就包含部分偶數(shù)），也不包括任何贋質(zhì)數(shù)，且所包含的非質(zhì)數(shù)也是這類公式中最少的。若干個(gè)“ ” 質(zhì)數(shù)相乘之后仍能通過“ ”測(cè)試（也即這樣的乘積仍是一個(gè)偽質(zhì)數(shù)）。

孿生質(zhì)數(shù)（即雙生質(zhì)數(shù)）在公式 ， 中的都具有同一個(gè)n值。先“篩掉”與其取相同n值的非質(zhì)數(shù)及質(zhì)數(shù)（或質(zhì)數(shù)及非質(zhì)數(shù)）：如25以及與25取相同n值3的質(zhì)數(shù)23，185以及與185取相同n值30的偽質(zhì)數(shù)187，91以及與91取相同n值14的質(zhì)數(shù)89;再“篩掉”孿生偽質(zhì)數(shù)，如119和121。經(jīng)過這樣的篩選（也即篩掉所有的非質(zhì)數(shù)以及取同一n值的質(zhì)數(shù)），剩下來的就全都是孿生質(zhì)數(shù)了。

三、計(jì)算質(zhì)數(shù)和偽質(zhì)數(shù)以及贋質(zhì)數(shù)的公式 ? （k=0、1、2、3。。。。。。）

從上面我們所探討的還不難看出，對(duì)于個(gè)位數(shù)是1、3、7、9的自然數(shù)，似可以分成三大類：質(zhì)數(shù)、能通過“ ”及“ ”測(cè)試的偽質(zhì)數(shù)以及不能通過“ ”及“ ”測(cè)試的贋質(zhì)數(shù)，偽質(zhì)數(shù)和贋質(zhì)數(shù)本質(zhì)上都是合數(shù)。這里，我們也可以給出包括了質(zhì)數(shù)、偽質(zhì)數(shù)及贋質(zhì)數(shù)的公式 。我們可以先給出100以內(nèi)的相應(yīng)計(jì)算值：

另外顯而易見是，如果我們說質(zhì)數(shù)是一切數(shù)的 “原子”，合數(shù)是由若干個(gè)質(zhì)數(shù)相乘得到的，那么公式 ? ?（n=1、2、3……）似乎也表明，2和3可能是所有大于等于5的質(zhì)數(shù)的“原子”，也即任意一個(gè)大于等于5的質(zhì)數(shù)都是由若干個(gè)2和3相加來構(gòu)成的。還有，5和7出現(xiàn)在前面去掉非質(zhì)數(shù)的"新篩法"中，也即5和7都參與“ ” 質(zhì)數(shù)中的部分非質(zhì)數(shù)的構(gòu)建，但2和3卻沒有出現(xiàn)前面去掉非質(zhì)數(shù)的"新篩法"中。另外，如果取n=0、1、2、3。。。。。。，則上面的公式 和 ? ?所給出的最小計(jì)算值分別為5、7和9。這些似乎都說明了2和3在質(zhì)數(shù)中的基礎(chǔ)性地位和與作用。

以小于20的八個(gè)質(zhì)數(shù)尤其是三對(duì)孿生質(zhì)數(shù)（5和7、11和13、17和19）為基礎(chǔ)，應(yīng)用本文以上所給出的尋找質(zhì)數(shù)的"新篩法"，就可以很容易得到100以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)。在這個(gè)新的基礎(chǔ)上似可以找到小于任意一個(gè)自然數(shù)（比如本文中的200）的所有質(zhì)數(shù)，這至少在原則上來講是可行的和可能的。至于識(shí)別任意一個(gè)自然數(shù)是否為質(zhì)數(shù)或偽質(zhì)數(shù)，我們?cè)谶@里并不能給出類似基于費(fèi)馬小定理的費(fèi)馬素性測(cè)試那種簡單有效的方法。我們只知道個(gè)位數(shù)為0、2、4、5、6、8的自然數(shù)及贋質(zhì)數(shù)（其個(gè)位數(shù)為1、3、7、9）都不是質(zhì)數(shù)。盡管我們?cè)谠瓌t上似可以“篩掉”所有的偽質(zhì)數(shù)，但這里并沒有給出能判定任意一個(gè)個(gè)位數(shù)是1、3、7、9的自然數(shù)是否為質(zhì)數(shù)或偽質(zhì)數(shù)的簡便方法。

總之，用以上這些只涉及初等數(shù)學(xué)的想法與方法去探討和對(duì)待在自然數(shù)中尋找質(zhì)數(shù)這樣的老問題，也許是很有趣的，但這樣的嘗試是否正確和有意義則只能由相關(guān)的專家學(xué)者去評(píng)判了。

參考文獻(xiàn)

[1] ?陳仁政著 ?《說不盡的 》 ?科學(xué)出版社 ?2005年

[2] （英）馬庫斯.杜.索托伊著 ?柏華元譯 《悠揚(yáng)的素?cái)?shù)》 人民郵電出版社 2019年