基于在線課程的材料力學疲勞問題教學內容拓展

方明霞 陳 潔

(同濟大學航空航天與力學學院，上海200092)

材料力學是理工科相關專業(yè)的重要專業(yè)基礎課，與工程問題密切相關。通過材料力學的學習，不僅可以培養(yǎng)學生嚴密的邏輯思維能力，為后續(xù)課程學習打基礎，還可以培養(yǎng)學生解決實際問題的能力，強化工程應用意識。將材料力學課程學習與工程應用緊密結合已受到眾多教育工作者的重視。馬國軍等[1]將一些新穎的與教材內容相關、且?guī)в腥の缎缘耐卣怪R引入材料力學教學中，如納米材料的力學性能、預折紋管的局部屈曲等。指出通過新知識的引入，可以有效提高學生學習的積極性和主動性。楊曉峰等[2]以工程問題為導向，進行材料力學的教學改革與實踐，介紹了應用材料力學中的基本原理解決工程問題的思想與方法。胡海巖[3]以航空科技工業(yè)所需的強度工程師為例，分析了人才培養(yǎng)中知識結構的變化情況，指出需要培養(yǎng)大批具有工程意識的工程技術人員。朱公志等[4]分析了以工程實際案例為核心的材料力學教學的基本特點和優(yōu)勢，闡述其在教學中的作用。李俊峰等[5]通過對小行星不規(guī)則引力場及復雜周期軌道的研究，嘗試提煉其中與動力學相關的科學問題。

總體看來，目前嘗試將拓展知識與基礎力學教學有機結合的教學實踐論文正呈上升趨勢。但在當前課時被大量壓縮的情況下，如何在保證教學大綱要求的基礎上，適當引入與知識點相關的工程拓展知識，是目前很多教育工作者思考的問題。本文在如何進一步發(fā)揮在線課程平臺優(yōu)勢、有效整合課程素材資源方面進行了探索，嘗試以擴展閱讀的形式將與課程知識點相關的工程案例和論文等引入在線課程，并有意識地引導學生去在線課程中學習相關內容。如關于材料力學課程中的疲勞強度問題，一般材料力學教材主要針對穩(wěn)定交變應力下金屬材料的疲勞進行介紹，那么不穩(wěn)定交變應力、非金屬材料的疲勞問題如何處理？學生很容易產生這樣的疑問。事實上，這些工況恰恰在工程中更具普遍性，如汽車在路面上行駛，受到的路面激勵具有隨機性，汽車中所有構件的疲勞皆屬于不穩(wěn)定交變應力下的隨機疲勞。而汽車中除金屬材料外，還包含大量非金屬材料，如發(fā)動機懸置、車身連接件—– 橡膠襯套中均包含橡膠，作為連接件的橡膠疲勞破壞問題是汽車設計中必須關注的問題。為此本文以疲勞問題為例，依托在線課程平臺，通過實例將不穩(wěn)定交變應力下金屬材料疲勞、非金屬材料疲勞等與工程密切相關的內容，以擴展閱讀的形式放在疲勞分析的擴展部分進行介紹，以拓展材料力學的教學內容。

1 材料力學教材中對疲勞問題的研究

疲勞破壞是指構件在交變應力下雖處于較低的應力水平(應力滿足強度條件)，但經長期反復工作后，仍會發(fā)生突然斷裂的一種破壞形式。各種交變應力中，周期和應力幅都不變的稱為穩(wěn)定交變應力；周期變化而應力幅不變的稱為等幅疲勞；周期不變而應力幅變化的稱為變幅疲勞；周期和應力幅都變化的稱為隨機疲勞。變幅疲勞和隨機疲勞都是構件受到不穩(wěn)定交變應力而產生的。

材料力學教材中主要研究金屬材料在穩(wěn)定交變應力下的疲勞問題。由于疲勞破壞是低應力破壞，因此不能用靜強度下的屈服極限或強度極限作為依據。在疲勞問題研究中，首先通過試驗獲得不同材料在對稱循環(huán)下的應力?疲勞壽命曲線(也稱σ–N曲線)，如圖1 所示。然后通過計算獲得構件的工作應力，利用該曲線進行疲勞壽命估算，或利用水平線對應的疲勞極限或名義疲勞極限，結合構件外形、尺寸及表面質量等因素，基于無限壽命或有限壽命對構件疲勞強度進行校核。

圖1 金屬材料σ–N 曲線

對稱循環(huán)(r=?1) 下構件疲勞強度校核

非對稱循環(huán)下構件的疲勞強度校核

式(1)和式(2)中，nσ為工作安全系數(shù)，n為規(guī)定安全系數(shù)，σ?1為材料疲勞極限，σmax為最大應力，Kσ為有效應力集中系數(shù)，εσ為尺寸系數(shù)，β為表面質量系數(shù)，σm為平均應力，σa為應力幅，ψσ為不對稱性敏感系數(shù)。

以上介紹的課本中的研究方法主要針對穩(wěn)定交變應力下金屬材料的疲勞問題，作為課本知識的拓展內容，下面分別介紹不穩(wěn)定交變應力、非金屬材料的疲勞問題的解決方法。

2 拓展知識1 —— 不穩(wěn)定交變應力下金屬材料的疲勞問題

由于工程結構在工作中受到的交變應力往往具有不穩(wěn)定性，對不穩(wěn)定交變應力作用下構件的疲勞問題如何處理？現(xiàn)對該問題進行介紹，并以汽車前軸隨機疲勞為例，對不穩(wěn)定交變應力作用下構件的疲勞特性估算進行說明。

2.1 金屬材料在不穩(wěn)定交變應力下疲勞特性分析方法

對于在不穩(wěn)定交變載荷作用下的構件，由于有多個應力幅值，無法直接用上一節(jié)介紹的σ–N曲線進行壽命估算。對于這類問題，一般需要聯(lián)合采用多種方法進行分析。首先通過雨流計數(shù)法，將不穩(wěn)定交變載荷變換成多組均值、幅值塊；然后根據Goodman 經驗公式，對雨流計數(shù)結果進行零均值應力轉換；再利用σ–N曲線，得到轉換后各載荷塊對應的疲勞壽命；最后利用Miner 線性疲勞累積損傷理論，得到構件在變幅載荷作用下的損傷度，進而估計構件的使用壽命。下面對這些方法進行簡要說明。

(1) 采用雨流計數(shù)法對不穩(wěn)定載荷譜進行處理

結構在工作中受到不規(guī)則載荷作用，會激起系統(tǒng)產生多個動態(tài)響應。結構中某一點的響應函數(shù)統(tǒng)稱為應變?時間歷程，可以是應力、應變或其他任何可以說明結構應力信息的量。由于應力?時間歷程的不規(guī)則性，通常采用雨流計數(shù)法將其簡化成“典型載荷譜”。雨流計數(shù)法示意圖如圖2 所示，上半部分為應變?時間歷程，下半部分為對應的循環(huán)應力?應變曲線，由三個小循環(huán)B?C ?B′,E?F ?E′,G ?H ?G′和一個大循環(huán)A ?D ?A構成，逐次將構成較小遲滯回線的小循環(huán)提取出來重新加以組合。處理后圖2 簡化成圖3 的簡單載荷譜，包括四個不同幅值的載荷循環(huán)，它與原載荷譜引起的疲勞損傷是等效的。

圖2 雨流計數(shù)法示意圖

圖3 簡化后的載荷譜

(2) 處理成對稱循環(huán)的等效應力幅

從圖3 中可以看出，簡化后的載荷譜一般均值不為零，可以采用恒壽命圖將其轉化為對稱循環(huán)下的等效應力幅。常用的恒壽命圖模型——Goodman模型如圖4 所示。

圖4 Goodman 恒壽命圖

恒壽命模型認為，應力幅與平均應力之間的不同配合可得出一恒定的疲勞壽命，圖4 中三條斜線各代表一種壽命，利用直線方程把實際應力狀態(tài)(σm，σa)轉化為σm=0、應力幅σn=σa/(1?σm/σb)的情況(其中，σb為抗拉強度極限)。再利用σ–N曲線進行各載荷塊疲勞壽命Nfi的計算。

(3) Palmgren–Miner 累積損傷法則

經雨流計數(shù)法處理后獲得的載荷譜一般具有多個幅值(見圖3)，也將對應多個疲勞壽命。可以采用Palmgren–Miner 累積損傷法則來預測載荷塊產生的總累積損傷

式中，D為總累積損傷度，ni為第i種載荷下的工作循環(huán)次數(shù)，Nfi為第i種載荷對應的疲勞壽命。當D=1 時達到臨界破壞狀態(tài)。

2.2 實例分析—— 汽車前軸隨機疲勞壽命分析

現(xiàn)以汽車前軸隨機疲勞為例對上述方法進行說明。由于汽車前、后軸處于懸架下方，來自地面的隨機激勵得不到緩沖，因此更易產生隨機疲勞破壞，汽車前軸所在位置見圖5。

圖5 汽車前軸位置圖

首先對普通組合路面的載荷譜信號進行采樣、標定(取L0為10 000 km)[6]，通過雨流計數(shù)法得到多個載荷塊，對應的應變均值εmj、幅值εai和工作循環(huán)次數(shù)nij的分布直方圖見圖6。

圖6 應變均值與幅值的分布直方圖

采用Goodman 疲勞經驗公式進行等壽命轉換，若汽車前軸材料為42CrMo，σb=1133.9 MPa，E=2.1×106MPa。由σ=Eε，得

將對應數(shù)據代入式 (4)，可分別求得σ11=0.510 9 MPa，σ12= 0.511 4 MPa，···，σ88=1.886 8 MPa。

將獲得的結果代入σ–N曲線，得到前軸疲勞壽命Nfij。由σ11=0.510 9 MPa，可得Nf11=8 307 172次，類似可得：Nf12=83 071 140 次，Nf88=7 216 057次。

由nij和Nfij，可得該車前軸的損傷度Dij。如n11=15，Nf11=8 307 172，得D11=1.8×10?6。利用Miner 線性累積損傷理論，得汽車前軸總損傷度

由于L0= 10 000 km，該車前軸對應壽命里程Lz=L0/D= 2 323 831 km。至此獲得汽車前軸的隨機疲勞壽命。

3 拓展知識2 —— 非金屬材料的疲勞問題

由于非金屬材料與金屬材料的本構特性不同，非金屬材料在進行疲勞分析時一般不能采用傳統(tǒng)的σ–N曲線，這給非金屬材料的疲勞分析帶來很大困難。

目前國內外非金屬材料疲勞分析主要采用軟件計算或疲勞試驗獲得。由于軟件分析時往往以準靜態(tài)進行模擬，有很大局限性；而依賴負荷測試雖有優(yōu)勢，但不能用于產品設計階段。因此將理論計算和疲勞試驗相結合，從能量角度對非金屬材料的疲勞壽命進行分析是較合理的方法[7-8]。現(xiàn)以比較典型的非金屬材料—— 橡膠為例，說明汽車中橡膠襯套壽命估算方法。

圖7 橡膠襯套所在位置及實物模型

橡膠襯套作為彈性連接件，廣泛應用于汽車車身與副車架、動力總成之間。圖7 為汽車中橡膠襯套所處的位置及其實物結構圖。對于橡膠材料的疲勞分析，可以采用有限元計算和疲勞試驗相結合的方法，以應變能密度作為疲勞損傷參數(shù)，從能量角度對橡膠元件的疲勞特性進行分析。首先通過試驗獲得橡膠本構模型

式中，U為應變能密度，I1為主伸長比的第一不變量，Ci0為材料系數(shù)。Ci0可以通過試樣單軸拉伸試驗獲得(見圖8)。

利用獲得的材料本構模型參數(shù)，在ANSYS 中建立橡膠襯套三維實體有限元模型。通過計算得到不同載荷P下橡膠的最大應變能密度Umax，見圖9。然后通過疲勞試驗獲得橡膠襯套在對應載荷P下的疲勞壽命Nf，見圖10。由此得到橡膠襯套在不同載荷工況P下的Umax與Nf之間的關系曲線，如圖11所示。利用冪函數(shù)模型得到橡膠疲勞壽命預測公式

式中，a，b為材料常數(shù)。對于實際工況下橡膠襯套疲勞壽命估算，只要獲得其在汽車不同行駛工況下的最大應變能密度，代入式(6)，即可獲得其疲勞壽命的估算值。

圖9 橡膠襯套有限元模型和應變能密度分布云圖

圖10 橡膠襯套疲勞試驗

圖11 橡膠最大應變能密度?疲勞壽命關系曲線

4 總結

本文以材料力學課程中與工程緊密相關的疲勞問題為研究對象，將課本中介紹的金屬材料在穩(wěn)定交變載荷作用下的疲勞問題，拓展到不穩(wěn)定交變應力下金屬材料的疲勞及非金屬材料在不同載荷作用下的疲勞問題，主要工作如下：

(1)課本中介紹的金屬材料在穩(wěn)定交變載荷作用下的疲勞問題，主要通過試驗獲得不同材料在對稱循環(huán)下的σ–N曲線。利用該曲線可以對工程結構進行疲勞壽命估算，或基于無限壽命或有限壽命設計對構件疲勞強度進行校核。

(2)以汽車前軸隨機疲勞為例，引入不穩(wěn)定交變應力下金屬材料疲勞壽命的估算方法。通過試驗提取關鍵節(jié)點的應力時程曲線，根據雨流計數(shù)法將其等效為不同應力幅的循環(huán)；同時根據Goodman 修正公式，對載荷譜進行零均值應力轉換，并利用Miner線性疲勞累積損傷理論得到構件的疲勞破壞特性。

(3) 以汽車中彈性連接件—— 橡膠襯套為例，介紹非金屬材料疲勞壽命估算方法。采用有限元計算和疲勞試驗相結合的方法，以應變能密度作為疲勞損傷參數(shù)，利用超彈性本構模型，從能量角度對橡膠元件疲勞特性進行分析，并利用冪函數(shù)模型得到橡膠最大應變能密度與疲勞壽命之間的關系，獲得橡膠疲勞壽命估算公式。

在基礎力學各門課程課時比較緊張的情況下，利用在線課程將拓展知識放在書本知識的擴展部分進行介紹，并在課堂上將其作為思考題，有意識地引導學生去學習相關內容。通過這種形式將基礎力學與工程實踐緊密結合，對提高基礎力學的教學深度和廣度將起到重要的促進作用。