四類變截面懸臂梁在側向三角形載荷下的撓度1)

廖 晗 姜呂鋒 李恒達 楊興昌 李映輝

(西南交通大學力學與工程學院, 成都610031)

工程中有大量非均勻懸臂結構，如風電葉片、塔架、直升機旋翼等，這類結構都可簡化為變截面懸臂梁進行研究，此類結構的設計中需要計算剛度和強度。付俊強等[1]基于Euler 梁理論，通過求解與均勻梁的相似系數(shù)得其靜彎曲剛度；陸念力等[2]從二階撓曲線方程出發(fā)，對慣性矩沿軸向二次變化的變截面Euler 梁在彈性約束下的剛度進行了分析；孫江宏等[3]討論了線性變截面梁的建模方法；王曉臣等[4]推導了變截面平面梁的單元剛度矩陣。但現(xiàn)有研究缺少針對各類回轉變截面懸臂梁最小撓度的探討。本文將基于圓柱型、圓錐型、拋物型和雙曲型回轉懸臂梁慣性矩沿長度方向的分布規(guī)律，得到其在任意側向分布載荷下的撓曲線方程；基于三角形分布載荷下的撓曲線方程，得到其端部撓度值，在等長度和等體積狀態(tài)下，探討在三角形分布載荷作用下四類回轉懸臂梁的最小撓度。

1 截面慣性矩

圖1 所示為四類回轉懸臂梁，其母線方程分別為

其中，r為圓柱半徑(圖1(a))，h為圓錐底面半徑(圖1(b))，p/2 為拋物線焦點到頂點的距離(圖1(c))，a和b分別為雙曲線實半軸和虛半軸長(圖1(d))，d=a+l。

圖1 四類回轉懸臂梁模型

對長為l，彈性模量為E的四類回轉梁，截面慣性矩分別為

其中，I01=πr4/4，I02=πh4/4，I03=π(pl)2，I04=πb4(2α+α2)2/4 分別為四類回轉梁在左端處x= 0的慣性矩，其中α=l/a。

2 撓曲線方程

受側向分布載荷f(x)作用的懸臂梁，其中f(x)以沿y軸正向為正，彎矩M(x) 以順時針方向為正，撓度以y軸正向為正，其截面彎矩為

其中，MB和RB分別為右端截面B處的彎矩和反力。

忽略剪力并基于小變形假設，撓曲線方程為

其中，EIz為彎曲剛度，將M(x) 代入式(2) 得

對式(3) 積分，由邊界條件w′′(l)=0，w′′′(l)=0 得

利用梁左端邊界條件

可確定待定系數(shù)C和D。

3 三角形分布載荷下的最大撓度

對三角形分布載荷f(x)=?q(x?l)/l，其中f(x)以y軸正向為正，q >0，得到撓曲線方程為

3.1 四類回轉型懸臂梁的最大撓度

對圓柱型懸臂梁，將EIz=EI1代入式(6)，并由邊界條件(5) 得其撓曲線方程

得到

對圓錐型懸臂梁，將EIz=EI2代入式(6)，并由邊界條件(5) 得其撓曲線方程

得到

對拋物型回轉懸臂梁，將EIz=EI3代入式(6)，并由邊界條件(5) 得其撓曲線方程

對雙曲型回轉懸臂梁，將EIz=EI4代入式(6)，并由邊界條件(5) 得其撓曲線方程

得到

3.2 三角形分布載荷下結論

在回轉體長度l和體積V相同情況下，四類回轉懸臂梁的特征參數(shù)為

上述四類回轉懸臂梁最大撓度可由l和V表示為

由于g(a/l)在(0,+∞)上先遞減后遞增，當a/l趨近0 時，g(a/l) 取得最大值，此時g(a/l) 趨近2/27；當a/l= 0.485 時，g(a/l) 取得最小值，此時g(a/l) = 0.052 6。由牛頓法得，當a/l= 0.117 9時，g(a/l)=1/18。

因此得到結論，當0

當a/l>840 時，雙曲型回轉梁撓曲線不斷接近拋物型回轉梁撓曲線。

可見，在三角形分布載荷情況下，等體積和等長度梁，

(1) 當雙曲型回轉梁特征參數(shù)0.117 9< a/l <840 時，雙曲型回轉梁最大撓度最小。

(2) 當雙曲型回轉梁0< a/l <0.117 9 范圍內，拋物型回轉梁優(yōu)于回轉雙曲型梁。

(3) 且當雙曲型回轉梁a/l=0.485 0 時，雙曲型回轉梁最大撓度最小。

4 等體積模型驗證

用有限元法驗證結論正確性，有限元模型中，梁長l= 0.5 m，梁總體積V= 0.2 m3，這時r=11.283 8 mm，h=19.544 1 mm，p=0.254 6 mm，對雙曲線梁，取a/l= 0.1 和0.5 兩種情況。材料彈性模量E= 210 GPa，載荷q= 3 000 N/m，用200個兩結點四自由度平面梁單元。結果如表1，可見本文與有限元結果有很好的一致性。

表1 本文解與有限元解比較

5 結論

研究了圓柱型、圓錐型、拋物型和雙曲型回轉懸臂梁在側向三角形分布載荷情況下的最大撓度。在等長度和等體積情況下，拋物型和雙曲型梁最大撓度最??；特征參數(shù)在特定范圍時，雙曲型梁撓度最小；特征參數(shù)另一范圍時拋物型梁撓度最小。