基于貝葉斯點估計的次聲事件定位方法

王志峰，溫宏波，楊立學

（1.中國電子科技集團公司第三研究所，北京 100015；2.陸軍裝備部駐北京地區(qū)軍事代表局，北京 100015）

本文采用基于概率的方法，將次聲傳播速度視為未知參數(shù)，同時將聲源位置坐標、時間發(fā)生時間視為未知參數(shù)，通過計算各次聲分別測得目標方位和到達時間的條件下這些未知參數(shù)的最大后驗概率，可得到目標聲源的準確位置，本質(zhì)上屬于基于概率的定位方法［1］。

1 基本原理

在貝葉斯統(tǒng)計中，p(x|ω)表示在未知參數(shù)ω給定的條件下總體的概率密度，其中未知參數(shù)ω有先驗概率密度π(ω)。在假設的參數(shù)ω條件下，可得到樣本的條件似然函數(shù)［2］：

式中，p(xi|ωi)為在參數(shù)ωi的條件下，產(chǎn)生樣本xi的概率密度。

樣本與參數(shù)的聯(lián)合概率密度：

式中，m(x)是樣本x的概率密度，由式（3）邊緣積分確定，且不包含參數(shù)w的信息。

參數(shù)w的后驗概率密度如下：

式（4）即貝葉斯參數(shù)估計的概率密度函數(shù)形式，排除了和參數(shù)w無關的信息，使得后驗概率達到最大的參數(shù)即所求參數(shù)，屬于貝葉斯點估計問題。

2 次聲波定位方法

2.1 建立后驗概率模型

設各次聲臺陣水平方位角向量θ[θ1,…,θn]和到達時間向量t[t1,…,tn]，其中n為臺陣個數(shù)。每個臺陣的位置可由(xi,yi)表示，此為笛卡爾坐標系，可由大地坐標系轉化得到。

樣本為各臺陣的探測結果信息d=[t,θ]，待估計參數(shù)m={t0,x0,y0,v}為次聲源發(fā)生時刻、位置、傳播速度，則代估參數(shù)的后驗概率密度分布函數(shù)為：

式中：P(m)為模型參數(shù)的先驗概率密度分布函數(shù)；P(m|d)為觀測數(shù)據(jù)d在給定參數(shù)m下的條件似然函數(shù)；c(d)為歸一化因子，用于保證P(m|d)的積分等于1。

2.2 先驗概率密度分布函數(shù)

由于參數(shù)向量m={t0,x0,y0,v}各變量間的獨立性，其先驗概率可表示為：

由于傳播度受到傳播方向、距離以及大氣高度等范圍內(nèi)的大氣參數(shù)影響，很難得到準確的聲速分布。為約束從聲源到次聲臺陣未知的傳播速度，本文將傳播速度約束在一定的范圍內(nèi)，定義v的先驗概率密度分布為［3］：

式中，0.28～0.34 km/s 表示傳播速度可能的分布范圍，常數(shù)16.67 用于保證p(v)積分等于1。

根據(jù)貝葉斯估計理論［4］，在無任何先驗知識的前提下，可取p(t0)p(x0,y0)=1。

2.3 條件似然函數(shù)

由于各次聲臺陣探測結果相互獨立，各臺陣計算得到的目標方位角和到達時間也相互獨立，樣本的條件似然函數(shù)可定義為各臺陣水平方位角和到達時間分量的乘積：

對于臺陣i，iΘ度量了觀測的水平方位角與所選模型參數(shù)的符合度，Φi度量了觀測到達時間與給定參數(shù)下預測到達時間的誤差。

兩個分量的測量誤差均符合高斯分布，其中水平方位角的似然函數(shù)分量為：

到達時間似然函數(shù)分量為：

令di=di(x0,y0,xi,yi)表示候選聲源位置到第i個臺陣的距離，則水平方位角和到達時間偏差為：

需要說明的是，水平方位角和到達時間的方差均包含測量誤差和模型誤差。

將式（11）和式（12）帶入式（9）和式（10），并將x0、y0、t0用x、y、t表示，可得：

令：

則有：

由于式（15）是單調(diào)遞增函數(shù)，取最大值時等價于函數(shù)F(x,y,t,v)取得最大值。

2.4 測量誤差分析

假設水平方位角θi和到達時間ti觀測值與預測值的誤差來源于兩個不相關的誤差項之和，即測量誤差和模型誤差：

2.5 次聲源定位

根據(jù)以上分析，在進行次聲源定位時一般采取偏導數(shù)求解方法和網(wǎng)格搜索方法兩種方法。

（1）偏導數(shù)求解方法。對函數(shù)F求偏導數(shù)，并另偏導數(shù)等于零，求解方程組可得到目標解：

利用式（18）進行求解時，需要解算復雜的非線性方程組。要利用優(yōu)化算法進行迭代求解，迭代求解的初始值可利用各臺陣探測到的目標方位進行交叉定位獲得。

（2）網(wǎng)格搜索方法。一般做法是在代估計參數(shù)m={t0,x0,y0,v}的取值空間進行網(wǎng)格搜索，找到使得后驗概率達到最大的參數(shù)點即為所求。

對比這兩種方法，網(wǎng)格搜索方法計算簡單、運算快速，實際中可劃定重點關注區(qū)域，從而在該區(qū)域內(nèi)進行搜索快速獲得目標位置。

2.6 仿真分析

以兩個臺陣為例進行分析，采用網(wǎng)格搜索方法，設兩臺陣間距分別為800 km，臺陣地址誤差為2 m，通過500 次Monte-Carlo 仿真可以得到信號頻率為0.1 Hz 和1 Hz 時，目標距離為400 km 的平均定位誤差均小于10 km，目標距離為1 000 km 的平均定位誤差均小于30 km，目標距離為2 000 km 的平均定位誤差均小于80 km，如圖1 所示。

3 結論

通過分析可見，在有眾多不確定因素的條件下，利用基于概率的定位方法是解決次聲遠距離定位的有效方法，具有一定的實際應用價值。