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    探源涂色問題:兩個計數(shù)原理夠用嗎

    2020-10-26 06:50:28張前晟
    讀寫算 2020年27期
    關(guān)鍵詞:同色種顏色涂色

    張前晟

    摘?要 涂色問題,基本的要求是對圖形中的若干個區(qū)域涂色,顏色種類有限且相鄰區(qū)域顏色不能相同,求總的涂色方法數(shù)。此類問題常常立意新穎,表面敘述簡單易懂,實質(zhì)卻包含著豐富的數(shù)學思想,突出學生能力的考查而成為近年考試中的熱點。

    關(guān)鍵詞 涂色問題;計數(shù)原理

    中圖分類號:G632 文獻標識碼:A 文章編號:1002-7661(2020)27-0200-02

    高三一輪復(fù)習中筆者講了如下的例題:

    例1如圖,矩形的對角線把矩形分成A,B,C,D四部分,現(xiàn)用4種不同顏色給四部分涂色,每部分涂1種顏色,要求共邊的兩部分顏色互異,則共有________種不同的涂色方法.

    解析:區(qū)域A有4處涂色方法;區(qū)域B有3種涂色方法;區(qū)域C的涂色方法可分2類:若C與A涂同色,區(qū)域D有3種涂色方法;若C與A涂不同色,此時區(qū)域C有2種涂色方法,區(qū)域D也有2種涂色方法。所以共有4×3×3+4×3×2×2=84(種)涂色方法。

    總結(jié):在解決區(qū)域涂色問題中,筆者綜合使用了分步乘法原理和分類加法原理。解決問題的關(guān)鍵就是找準突破口,進行恰當?shù)姆诸愑懻摗?/p>

    為了檢驗學生們是否掌握了要領(lǐng),筆者又給出了相似的一個變式。

    變式(03·全國)如圖,一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域,現(xiàn)給地圖著色,要求相鄰地區(qū)不得使用同一顏色,現(xiàn)有4種顏色可供選擇,則不同的著色方法共有____種

    答案:72

    解析:從區(qū)域1入手,有4種顏色,因為區(qū)域1與其他各區(qū)域均相鄰,所以其余4個區(qū)域共有3種顏色可選。以下思路同例題。

    同學們思路很快,基本上都算對了答案,教學效果令人滿意。過了段時間,課后有學生問了一道與例題相似但復(fù)雜一些的題目,又把所有人都難住了。

    例2用4種不同的顏色為正六邊形的六塊區(qū)域涂色,要求有公共邊的區(qū)域涂不同顏色,一共幾種不同的涂色方法.

    本題與例題模式一致,只是由四個區(qū)域增加到六個區(qū)域。如果按照之前的經(jīng)驗,按A、C是否同色分類討論的話,后面還有D,E,F(xiàn)三個區(qū)域,彼此間顏色相互影響,各種情況將非常復(fù)雜。而這又是一道填空題,許多同學對用計數(shù)原理解決涂色問題的通法產(chǎn)生了懷疑。有同學查看了標準答案。

    解法一:對涂色情況進行分類討論。考慮A、C、E用同一種顏色,此時共有4×3×3×3=108種方法;考慮A、C、E用2種顏色,此時共有種方法;考慮A、C、E用3種顏色,此時共有種方法。故共有108+432+192=732種不同的方法。

    整個解題過程只用到兩個基本計數(shù)原理,簡潔精彩。通法沒有錯,關(guān)鍵是以什么為依據(jù)進行分類討論。涂色問題,相鄰區(qū)域不同色,不鄰區(qū)域可同色,所以從A開始A、C、E可能出現(xiàn)同色情況,分別可以用一種、兩種、三種顏色涂,因此分為3種情況。一共六個區(qū)域,由A、C、E區(qū)域顏色,確定B、D、F區(qū)域顏色,類似于二分法求方程的近似根。這樣分類也很高效。一般的,如果由2n個區(qū)域首尾相連時,都可以從某個區(qū)域開始,選擇無不相鄰的n個區(qū)域組成一組,進行分類討論。

    這個思路技巧性很強,而且適用范圍比較窄。如果換做別的題目,方法很難得到遷移。透過兩個計數(shù)原理,隱藏在這類涂色問題背后的數(shù)學本質(zhì)又是什么呢?

    如果忽略涂色區(qū)域的大小與形狀,只考慮不同區(qū)域之間的相鄰關(guān)系。那么,涂色問題可以分為線形、環(huán)形和星形。為敘述方便,統(tǒng)一用“”表示不同的區(qū)域,以“”表示區(qū)域間的相鄰關(guān)系。

    一、線形結(jié)構(gòu)

    這是最簡單的涂色問題,各區(qū)域沿直線依次排開,方法是從左向右按順序涂色。

    第一個區(qū)域沒有任何限制,任意顏色均可;從第二個區(qū)域起,每個區(qū)域都要求和前一個區(qū)域顏色不同即可。

    一般的,若有n個區(qū)域(n≥2),有m種顏色可供選擇,則共有m(m-1)n-1種不同的涂色方法。注意,結(jié)果只和顏色種數(shù)m、區(qū)域個數(shù)n有關(guān),與區(qū)域排列順序無關(guān)。

    二、環(huán)形結(jié)構(gòu)

    環(huán)形區(qū)域結(jié)構(gòu)要稍微要復(fù)雜一些,所有區(qū)域依次連接,

    整體呈圓環(huán)狀(如圖所示)。上面例1、例2都是環(huán)形結(jié)構(gòu)。

    環(huán)形區(qū)域來源于線形區(qū)域,可以看成把一個線形結(jié)構(gòu)第一個

    區(qū)域A1和最后一個區(qū)域An首尾鏈接起來。

    如例1,是n=4的環(huán)狀結(jié)構(gòu)。從A開始按線形結(jié)構(gòu)涂色,共4×33=108種方法;這其中會出現(xiàn)A、D同色的情況,因為A、D相鄰,需要反面排除。當A、D同色時,把兩個看成同一個區(qū)域,這時相當于n=3的環(huán)狀結(jié)構(gòu),共4×3×2=24種。所以,實際有108-24=84種方法。

    區(qū)域涂色是綜合應(yīng)用兩個計數(shù)原理解題的一類典型問題。解決問題的關(guān)鍵就是進行恰當?shù)姆诸愑懻摗?fù)雜的區(qū)域以互不相鄰區(qū)域分組,分組分類討論。除此之外,遇到復(fù)雜的區(qū)域涂色,發(fā)現(xiàn)典型結(jié)構(gòu)靈活轉(zhuǎn)化遞推也是一個重要的方法。

    教學反思:

    高三教學時間緊、任務(wù)重,提升復(fù)習課效率是提升復(fù)習備考質(zhì)量的不二法門。

    高效的教學是精細的教學。例2與例1模式完全相同,只不過區(qū)域個數(shù)增加,方法完全可以通用,按說前一題的經(jīng)驗也很容易遷移過來。但學生們只知方法,不會操作。究其原因是教學不精細,可操作性不強。總結(jié)中提到的關(guān)鍵是進行恰當?shù)姆诸愑懻?,還是思想方法理論層面的,大而化之。除此之外,精細的教學教師還需要給學生以解題經(jīng)驗的傳授。用熟悉的知識解決陌生的問題,豐富、具體的經(jīng)驗積累才是知識遷移的保障。

    高效的課堂充實的課堂,有深度、有廣度。高效課堂不僅僅要通過變式教學、當堂檢測、師生互動等等教學方法、環(huán)節(jié)的優(yōu)化,更需要教師在課前備課中回歸數(shù)學本真,優(yōu)化授課內(nèi)容,給學生們的知識體系橫向織網(wǎng),縱向挖深。把握題目要害,講透解法脈絡(luò)。高三生活對每個人都是一次修行、一次升華。只有教師沉浸在知識的海洋中,把教學內(nèi)容充實精煉,學生們才能跟隨著教師的腳步取得真經(jīng),超越自我。

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