2020年高考全國Ⅰ卷解析幾何題的探究與推廣

廣東省湛江一中培才學校(524037) 魏 欣

解析幾何是“以代數(shù)方法研究幾何問題”,教學中要注意代數(shù)運算與幾何直觀的相互為用.因為研究對象是幾何圖形,所以把握所研究對象的幾何特征、明確面臨的幾何問題.教學中一定要注意“先用幾何眼光觀察,再用坐標法推理、論證和求解”的基本思路.

圓錐曲線的定點、定值和定直線等探索性問題歷來是高考命題中的一個熱點,此類問題往往蘊含具有代表性、引申性的數(shù)學知識、性質(zhì).

2020年高考全國Ⅰ卷解析幾何題,以橢圓、數(shù)量積為背景,主要考查用基本量求曲線方程,直線與橢圓的位置關系以及直線方程、直線過定點問題,很好的體現(xiàn)了對直線與橢圓的核心內(nèi)容和基本思想方法的考查.同時,考查學生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng),考查考生的推理論證能力與運算求解能力,體現(xiàn)試題的區(qū)分功能與選拔功能.這就需要我們進一步去揭示問題的本質(zhì)特征,挖掘其潛在的價值和功能.本文對其進行多角度多方法的解答與分析,通過與教材習題對比、與往年高考試題對比,力求找到命制此題的素材,希望通過加強對高考命題的研究,為師生復習備考指明方向,提高教學質(zhì)量.

一、經(jīng)典試題展示

高考真題(2020年高考全國Ⅰ卷理科第20 題,文科第21 題)已知A,B分別為橢圓E:+y2=1(a＞1)的左、右頂點,G為E的上頂點,=8,P為直線x=6 上的動點,PA與E的另一交點為C,PB與E的另一交點為D.

(1)求橢圓E的方程；

(2)證明：直線CD過定點.

點評第(1)問根據(jù)向量的數(shù)量積求出橢圓的方程,多數(shù)學生都能完成,第(2)問是個探索性問題,重點考查用坐標法研究圓錐曲線中的定點問題,考查數(shù)形結合、函數(shù)方程、分類討論等基本數(shù)學思想,同時考查綜合運用所學數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力,考查學生的邏輯推理、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)學抽象等數(shù)學核心素養(yǎng).本題的呈現(xiàn)形式“平易近人”,是定點問題,但本題的解決過程卻充分體現(xiàn)了坐標法的思想,可以將幾何關系式轉(zhuǎn)化為坐標代數(shù)關系式,然后再用坐標法來處理.本題看起來很平常,實際上卻背景豐富,有一定難度和區(qū)分度,也有很大的教學價值和研究空間,下面重點從多角度研究其解法和相關結論與性質(zhì).

二、多角度的解法探究

(1)如圖1所示,由題意,A(-a,0),B(a,0),G(0,1),所以=(a,1),=(a,-1),=a2-1=8,解得a=3,所以橢圓E的方程為+y2=1.

圖1

點評此問題是人教A 版選修2-1 第41 頁的例題3,也涉及橢圓的第三定義問題.教科書中的例題與習題幫助學生深入理解圓錐曲線的幾何特征,熟練運用坐標法研究圓錐曲線的性質(zhì)以及它們的位置關系,并能解決有一定綜合性的問題,通過解題感悟解析幾何中隱含的數(shù)學思想.

平時注重一題多解、一題多變的訓練是解決此類問題的好幫手.一題多解有利于提高學生思維的發(fā)散性、靈活性,能激發(fā)學生的學習興趣,對于學生從不同角度、不同側(cè)面去分析問題、解決問題,調(diào)動解題積極性,培養(yǎng)發(fā)展思維,創(chuàng)造性品質(zhì)都有著重要的意義.下面從多維度剖析第(2)問.

視角一：從點切入

方法一(單刀直入,細心運算)依題意可設點P(6,m),則直線PA的方程為聯(lián)立得(9+m2)x2+6m2x+9m2-81=0,由韋達定理有-3xC=即xC=將其代入直線的方程,可得PA,所以

易知直線PB的方程為y=聯(lián)立得(1+m2)x2-6m2x+9m2-9=0.由韋達定理有3xD=即將其代入直線PB的方程,可得yD=即

當m=±時,xC=xD=此時直線CD的方程為x=即直線CD過定點當m≠±時,直線CD的斜率為

進而直線CD的方程為y-=化簡得所以直線CD過定點

綜上,直線CD過定點

點評在上面的解法中,我們利用C,D既在直線上又在橢圓上,得到C,D的坐標所滿足的方程,解出C,D的坐標(用m表示),然后再寫出直線CD的方程,經(jīng)過相對復雜的運算可以完成定點的證明.此法雖然思路自然,但對學生的意志品質(zhì)、數(shù)學運算素養(yǎng)都有較高的要求.

視角二：嘗試設線

方法二(設而不求,自然流露) 設直線CD的方程為x=ty+n,-3＜n＜3,設C(x1,y1),D(x2,y2),點P(6,m).聯(lián)立得(9+t2)y2+2tny+n2-9=0.由韋達定理有y1+y2=由A,C,P三點共線,可得

由D,B,P三點共線,可得

由①式和②式,可得3y1(x2-3)=y2(x1+3),所以3y1y2(x2-3)=y22(x1+3).

又y22=所以(x1+3)(x2+3)+27y1y2=0,即

利用上述韋達定理的結論,得到

解得n=或n=3(舍).

綜上,直線CD過定點

點評此法的關鍵在于方程3y1(x2-3)=y2(x1+3)的兩邊乘以y2,然后再將得到的方程右邊的y22整體代換掉,得到了關于y1+y2,y1y2,n的方程,再通過少量的運算便得到了定點.

視角三：恒等變換

方法三(三角變換,多想少算)除了上述設點的方法,我們還可以利用橢圓的參數(shù)方程,引參設點,借助三角恒等變換證得定點,具體過程如下：

設點P(6,m),則直線PA的方程為y=(x+3),直線PB的方程為y=(x-3),設C(3 cosα,sinα),D(3 cosβ,sinβ),由A,C,P三點共線,可得3 cosα+3=9 sinα,即tan同理,由D,B,P三點共線,可得又直線CD的方程為

令y=0,可得

綜上,直線CD過定點

點評利用橢圓的參數(shù)方程,引參設點,借助三角恒等變換證得定點,大大簡化了運算,但該解題思路考生不容易想到,是優(yōu)化后的解法.

視角四：仿射變換

我們知道圓與橢圓有著“千絲萬縷”的聯(lián)系,在仿射變換下橢圓與圓可以實現(xiàn)“互化”.由于圓有著許多重要的性質(zhì),且在射影幾何中起著舉足輕重的作用,一個很自然的想法便是我們可否借助圓的基本性質(zhì)(直徑所對的圓周角是直角)這個“根”來發(fā)橢圓的相關問題這個“芽”呢?

方法四(伸縮變換,化橢圓為圓)

圖2

點評通過伸縮變換,將問題放置于單位圓中處理,將定點問題轉(zhuǎn)化為線段比值,借助于梅涅勞斯定理和圓冪定理,順利解題,方法巧妙自然,對學生平面幾何要求較高,但不失為一個好方法.

方法五(平移坐標系,齊次化變換) 以A為原點,AB所在直線為x′軸建立新平面直角坐標系x′Ay′,則橢圓方程變?yōu)榧磝′2+9y′2-6x′=0,在新坐標系下設直線CD的方程為mx′+ny′=1,于是x′2+9y′2-6x′(mx′+ny′)=0,整理得由韋達定理得kAC ·kAD=解得m=于是直線CD的方程為+ny′=1,過定點故在原坐標系下過定點

點評上述解法可謂是“大道至簡”,利用了過原點直線的斜率的簡潔特性,也展現(xiàn)了截距式直線方程在解題中的妙用,大大降低了運算,揭示了幾何問題的本質(zhì),同時也促進了學生直觀想象素養(yǎng)的發(fā)展.

方法六(熟用結論,優(yōu)美化簡)設C(x1,y1),D(x2,y2),P(6,t),因為A(-3,0),B(3,0),所以

由(1),(2)得

同理

由(4),(5)得

淮山中含有豐富的多糖、蛋白質(zhì)、尿囊素和膽堿等多種生物活性物質(zhì)，具有調(diào)節(jié)免疫、抗氧化、抗衰老、降血糖等功效。

又CD的方程為化簡得y=亦即故直線CD過定點

點評這種解法是利用了課本結論：kAC ·kBC=整體代入消元,大大化簡了運算.

三、教材尋根,探究結論

高考題的命題有些是來源于教材,但往往又高于教材,因而我們的課堂教學需要回歸教材,扎根教材,根深才能葉茂,源遠方能流長.2020年高考全國Ⅰ卷解析幾何題第(1)問來源于人教A 版選修2-1 第41 頁的例3.

題目(人教A 版選修2-1 第41 頁的例3) 已知A(-5,0)、B(5,0),直線AC,CB的斜率之積是求點C的軌跡方程.

分析點C的軌跡方程為可以逆向變式如下：

變式已知A(-5,0)、B(5,0)是橢圓的左右頂點,點C是橢圓上異于A,B的動點,求證：kCA·kCB為定值.

分析設點C(x,y),則從而y2=所以kCA ·kCB==

結論1已知A,B是橢圓=1(a＞b＞0)的左右項點,點C是橢圓上異于A,B的動點,則kCA·kCB=

證明如圖3,設C(x,y),A(-a,0),B(a,0),kCA=

代入前式得kCA·kCB=

圖3

圖4

結論2已知A,B是上雙曲線=1(a＞0,b＞0) 的左右項點,點C是雙曲線上異于A,B的動點,則kCA·kCB=

結論3已知A,B是橢圓=1(a＞b＞0)上關于原點對稱的兩個動點,點C是橢圓上異于A,B的動點,則kCA·kCB=

證明如圖4,設C(x,y),A(x0,y0),P(-x0,-y0),則故即所以kCA · kCB==

結論4已知A,B是雙曲線=1(a＞0,b＞0)上關于原點對稱的兩個動點,點C是橢圓上異于A,B的動點,則kCA·kCB=

四、深化認識,性質(zhì)研究

橢圓、雙曲線和拋物線統(tǒng)稱為圓錐曲線,三者之間有很多可類比的性質(zhì),體現(xiàn)了圓錐曲線的內(nèi)在統(tǒng)一.下面主要是對第(2)問進行探究,得出如下圓錐曲線的三個性質(zhì).

性質(zhì)1已知A,B分別是橢圓E:=1(a＞b＞0)的左、右頂點,不過坐標原點O的動直線CD與E交于C,D兩點,若直線AC與BD相交于點P,則交點P在x=(|m|＜a,m≠0)上的充要條件是直線CD恒過定點(m,0).

特別地,當m=±c,則交點P在右(左)準線上的充要條件是直線CD恒過橢圓右(左)焦點.

證明先證明充分性.設C(x1,y1),D(x2,y2),A(-a,0),B(a,0),由結論1 得kCA·kCB=即=

設直線l:x=ty+m,代入橢圓方程+=1 得(a2+t2b2)y2+2tmb2y+(m2-a2)b2=0,則y1+y2=因此ty1y2=

直線AC的方程為y=(x+a),直線BD的方程為y=(x-a),AC與BD相交于點P,故即因為

所以x=

再證明必要性.(1) 當直線CD斜率不存在時,設CD:x=x0,設C(x0,y0),D(x0,-y0)(y0≠0),直線AC的方程為y=直 線BD的 方程為y=(x-a),AC與BD相交于點P,故解得x0=m.直線CD過定點(m,0).

(2)當直線CD斜率存在時,設直線CD的方程為y=kx+t,C(x1,y1),D(x2,y2),聯(lián)立直線CD與橢圓方程消去y得,(a2k2+b2)x2+2a2ktx+a2t2-a2b2=0,由韋達定理得

直線AC的方程為y=(x+a),直線BD的方程為AC與BD相交于點P,故即兩邊平方得代入橢圓方程化簡得(m2+a2)(x1+x2)-2mx1x2=2a2m,代入韋達定理結果得=2a2m,化簡為(t+mk)tm+a2k=0,所以t=-mk或t=當t=-mk時,直線CD的方程為y=k(x-m),此時直線CD過定點(m,0)；當t=時,直線CD的方程為y=此時直線CD過定點不滿足題意,舍去.綜上直線CD過定點(m,0).

性質(zhì)2已知A,B分別是雙曲線E:=1(a＞0,b＞0) 的左、右頂點,不過坐標原點O的動直線CD與E交于C,D兩點,若直線AC與BD相交于點P,則交點P在x=上的充要條件是直線CD恒過定點(m,0).

特別地,當m=±c,則交點P在右(左)準線上的充要條件是直線CD恒過雙曲線右(左)焦點.

性質(zhì)2 的證明類似性質(zhì)1 的證明,此處不再贅證.

性質(zhì)3已知點O為拋物線E:y2=2px(p＞0)的頂點,不過坐標原點O的動直線CD與E交于C,D兩點,若過點C且平行于對稱軸(x軸)的直線與直線OD相交,則交點在定直線x=-m(m≠0)上的充要條件是直線CD過定點(m,0).

特別地,當m=則交點P在準線x=上的充要條件是直線CD恒過拋物線焦點

證明先證明充分性.設C(x1,y1),D(x2,y2),CD直線方程為x=ty+n,聯(lián)立y2=2px得y2-2pty-2pn=0,y1y2=-2pn,由P,A,D三點共線,則

化簡為y1y2=-2pm,又y1y2=-2pn,所以n=m,即直線CD方程為x=ty+m,該直線過定點(m,0).

再證明必要性.設C(x1,y1),D(x2,y2),CD直線方程為x=ny+m,聯(lián)立y2=2px得y2-2pny-2pm=0,Δ＞0,pn2+2m＞0,y1y2=-2pm,聯(lián)立直線CP、PA方程解得又y1y2=-2pm,所以xP=-m,故動點P在定直線x=-m上.

五、回顧真題,應用性質(zhì)結論

由以上性質(zhì)結論不難發(fā)現(xiàn),在2019 全國ⅠⅠ卷理科第21題、2013 全國大綱卷理科第8 題、2016 山東卷理科第21 題、2010年高考江蘇卷18 題、2010年高考全國Ⅰ卷理第21 題、2013年全國高中數(shù)學競賽、2016年全國高中數(shù)學聯(lián)賽福建預賽,2012年全國高中數(shù)學聯(lián)賽貴州預賽,2008年全國高中數(shù)學聯(lián)賽遼寧預賽節(jié)選,也均可以應用以上圓錐曲線的性質(zhì)結論,體現(xiàn)了高考和競賽試題“?？汲Ｐ?推陳出新”的理念.均可以用上述的通性通法來解答,由于篇幅關系,此處之作簡析.

例1(2019 全國ⅠⅠ卷理科第21 題節(jié)選)過坐標原點的直線交曲線C:=1 于P,Q兩點,點P在第一象限,PE⊥x軸,垂足為E,連結QE并延長交C于點G.證明：ΔPQG是直角三角形.

圖5

證明如圖5,設G(x,y),P(x0,y0),Q(-x0,-y0),E(x0,0),由結論3 得kGP · kGQ=又因為kGQ=kEQ=所以kGP=因此kGP ·kPQ==-1,所以GP⊥PQ,所以ΔPQG是直角三角形.

例2(2013 全國大綱卷理科第8 題)橢圓C:=1 的左、右頂點分別為A1,A2,點P在C上且直線PA2斜率的取值范圍是[-2,-1],那么直線PA1斜率的取值范圍是( ).

解析由結論1 得kPA1· kPA2=故因為故選B.

例3(2016 山東卷理科第21 題節(jié)選)已知以A,B為左右兩個頂點的橢圓標準方程是=1,若P是直線x=4 上且不在x軸上任意一點,直線PA,PB與橢圓的另一個交點分別是M,N,證明直線MN過定點．

簡證由性質(zhì)1 得直線MN過定點橢圓的右焦點(1,0).

例4(2010年高考江蘇卷18 題節(jié)選)在平面直角坐標系xoy中,如圖6,已知橢圓=1 的左、右頂點為A,B,右焦點為F.設過點T(t,n)的直線TA,TB與橢圓分別交于點M(x1,y1)、N(x2,y2),其中t＞0,y1＞0,y2＜0.設t=9,求證：直線MN必過x軸上的一定點(其坐標與t無關).

圖6

簡證由性質(zhì)1 得,a2=9,t=9,T(9,n),設定點為D(m,0),則定直線t=所以=t,即=9,所以m=1.所以直線MN必過x軸上的一定點D(1,0).

例5(2010年高考全國Ⅰ卷理第21 題節(jié)選)已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,過點K(-1,0)的直線l與C相交于A、B兩點,點A關于x軸的對稱點為D.證明：點F在直線BD上.

簡證由性質(zhì)3 得,直線BD必過拋物線的焦點F(1,0).

例6(2013年全國高中數(shù)學競賽節(jié)選) 已知橢圓的離心率為且過點D(2,1).點A、B分別為C的左、右頂點,過點Q(2,0)的直線與橢圓C交于E、F兩點,AE與直線x=3 交于點M,試判斷F,B,M三點是否共線,并證明你的結論.

簡析由性質(zhì)1 得,a2=6,b2=3,m=2,即可得F,B,M三點共線.

例7(2016年全國高中數(shù)學聯(lián)賽福建預賽節(jié)選) 已知橢圓C的離心率e=長軸的左右端點分別為A1(-2,0),A2(2,0).設直線x=my+1 與橢圓C交于P,Q兩點,直線A1P與A2Q交于點S,試問：當m變化時,點S是否恒在一條定直線上?若是,請寫出這條直線方程,并證明你的結論；若不是,請說明理由.

簡析如圖7,由性質(zhì)1 得,a2=4,b2=1,直線x=my+1 過定點(1,0),當m變化時,點S是恒在一條定直線x=4 上.

圖7

圖8

例8(2012年全國高中數(shù)學聯(lián)賽貴州預賽)如圖,已知A、B是橢圓(a＞b＞0)的左、右頂點,P、Q是該橢圓上不同于頂點的兩點,且直線AP與QB、PB與AQ分別交于點M、N.證明：若弦PQ過橢圓的右焦點F2,求直線MN的方程.

簡析如圖8,由性質(zhì)1 得,m=c,即可得直線MN是右準線x=

例9(2008年全國高中數(shù)學聯(lián)賽遼寧預賽節(jié)選) 已知橢圓=1(a＞b＞0) 的左頂點為A,右焦點為F(c,0),且2b、a、c成等比數(shù)列.過點F的直線與橢圓相交于M、N兩點,直線AM、AN分別與右準線l相交于P、Q兩點,求證：為定值.

簡析由性質(zhì)1 得kFP kFQ==-1,便可順利得證=0.

六、備考建議

1.要掌握圓錐曲線核心概念.

根據(jù)圓錐曲線的方程,a,b,c,p,e等是決定圓錐曲線性質(zhì)的關鍵量.圓錐曲線的焦點、頂點、軸、準線、弦及其中點、切線、焦距、長(短)軸的長、焦半徑、面積、內(nèi)接圖形(特別是內(nèi)接三角形、內(nèi)截矩形等)、角(與焦點、中心等相關)等以及它們之間的相互關系,都可以用這些不變量來表示.對此展開一番研究,能極大地提升學生對圓錐曲線的認識水平.解題過程,先是把握圓錐曲線的基本要素、不變量,然后從“相互關系”“相互轉(zhuǎn)化”等角度發(fā)現(xiàn)和提出問題、獲得性質(zhì),然后再通過邏輯推理證明其正確性.在發(fā)現(xiàn)曲線性質(zhì)的過程中,運算、距離、角度、斜率、不變量等核心概念提供了基本思路和方法.綜合與聯(lián)系的目光要聚焦在核心概念上,目的在于促使學生從整體上更好地把握圓錐曲線.

2.解析幾何的核心方法是用代數(shù)的方法研究幾何問題.

在解題過程中,首先要將文字信息、圖形條件進行轉(zhuǎn)換,通過代數(shù)語言描述幾何要素及其關系,將已知的幾何條件表示成代數(shù)式,然后進行適當?shù)拇鷶?shù)運算得出代數(shù)結果,最后通過分析代數(shù)結果的幾何含義解決幾何問題.在這個過程中要經(jīng)歷文字信息、圖形特征和符號語言之問的多重轉(zhuǎn)換,因此,我們必須重視對幾何關系的深入研究,探究用何種代數(shù)形式能恰當表示題目中的幾何關系,同時有利于代數(shù)運算,從而形成正確的解題策略.

3.重視解析幾何的運算教學.

解析幾何的學習對運算能力的要求頗高.鑒于當前學生運算技能水平不高的實際狀況,為了使學生更好地把握坐標法的基本思想,控制代數(shù)運算的難度和技巧是必須的.但必要的運算是不可避免的,這是由解析幾何的學科特點決定的.關鍵是要把握解析幾何中運算的特點.解析幾何中的運算是建立在幾何背景下的代數(shù)運算,所以先用幾何眼光觀察,分析清楚幾何圖形的要素及其基本關系,再用代數(shù)語言表達,而且在運算過程中時刻注意利用圖形的幾何特征及圖形間的關系來簡化運算,這是解析幾何教學中突破運算難點的關鍵舉措.解析幾何教學中,提高運算能力不能僅僅從代數(shù)角度入手,還要努力提高學生的幾何圖形分析能力,也就是要在落實數(shù)形結合思想上下功夫.

4.充分發(fā)揮歷年高考題的教學功能.

首先教師所選擇的歷年高考題要有典型性,課堂上通過歷年高考題的教學,要能輻射到多種思想方法,或能起到構建知識框架的作用,或能揭示一般性的解題策略等等,從而達到教學效果的最大化,是解題教學的理想境界.

5.重視教科書中的例題與習題.

教科書中的例題深入理解圓錐曲線的幾何特征,熟練運用坐標法研究圓錐曲線的性質(zhì)以及它們的位置關系,并能解決有一定綜合性的問題,通過解題感悟解析幾何中萄含的數(shù)學思想.具體的題目主要是研究圓錐曲線的性質(zhì).教學中應注意這些題目的的教學功能,使學生認識到認真解答這些題目的重要性,必要時可以對有關題目進行適當?shù)淖兪酵卣?、一題多解、構建思想方法、還原知識體系等等.

6.加強解題后反思,進一步發(fā)展思維和提升能力.

圓錐曲線的定點、定值和定直線等探索性問題歷來是高考命題中的一個熱點,此類問題往往蘊含具有代表性、引申性的數(shù)學知識、性質(zhì).由一個問題往往能引申出多個結論.它的延伸、推廣,可以呈現(xiàn)出豐富多彩的數(shù)學內(nèi)容.因此,在平常備考時,我們要有意加強對圓錐曲線性質(zhì)的推導與證明,注重對歷年高考題進行適當?shù)陌l(fā)散研究,可以讓達到深化認識、舉一反三的目的,使得我們在高考中就能快速作答.