2020年高考全國Ⅰ卷解析幾何試題分析及備考建議

廣州市第十六中學(xué) 郭施敏

一、2020年全國Ⅰ卷解析幾何試題分布概覽

科分難別題型及題號(hào)值考查內(nèi)容度選擇題6 5直線與圓的位置關(guān)系、弦長問題易文選擇題11 5雙曲線的定義、焦點(diǎn)三角形問題中全科(1)橢圓幾何性質(zhì)及其與向量的綜合應(yīng)用中國解答題21 12(2)直線與橢圓位置關(guān)系、定點(diǎn)問題難Ⅰ選擇題4 5直線與拋物線的位置關(guān)系,求焦參數(shù)易卷理選擇題11 5直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系,圓的幾何性質(zhì)中科選擇題15 5雙曲線的幾何性質(zhì),雙曲線的離心率易(1)橢圓幾何性質(zhì)與向量的綜合應(yīng)用中解答題20 12(2)直線與橢圓位置關(guān)系、定點(diǎn)問題難

2020年全國Ⅰ卷理科解析幾何試題分值為27 分,題型設(shè)定為三道客觀題,一道解答題；文科解析幾何試題分值為22 分,題型設(shè)定為兩道客觀題,一道解答題.文理科的解答題設(shè)定為同一試題并且分值一致,或許是在為2021年更進(jìn)一步的高考改革做鋪墊.

二、2020年高考全國Ⅰ卷解析幾何客觀題解析

題目1(全國Ⅰ卷文科第6 題)已知圓x2+y2-6x=0,過點(diǎn)(1,2)的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為( )

A.1 B.2 C.3 D.4

分析從幾何角度分析,圓中弦長公式為l=其中d表述弦的圓心的距離.解題思路是：要求lmin,只需求dmax.由上述分析可知,當(dāng)直線和圓心與點(diǎn)(1,2)的連線垂直時(shí),所對(duì)應(yīng)的弦長最短,即可得出結(jié)論.

解答把圓的一般方程x2+y2-6x=0 化為標(biāo)準(zhǔn)方程(x-3)2+y2=32,可知：圓心C坐標(biāo)為C(3,0),半徑為3；設(shè)P(1,2),當(dāng)過點(diǎn)P的直線和直線CP垂直時(shí),圓心到過點(diǎn)P的直線的距離最大,所求的弦長最短,此時(shí)根據(jù)弦長公式得最小值為故選B.

本題考查圓與直線的位置關(guān)系以及幾何法求圓中弦長,屬于基礎(chǔ)題.

題目2(全國Ⅰ卷文科第11 題) 設(shè)F1,F2是雙曲線C:x2-=1 的兩個(gè)焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P在C上且|OP|=2,則ΔPF1F2的面積為( )

分析由ΔF1F2P是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形得到|PF1|2+|PF2|2=16,再利用雙曲線的定義得到||PF1|-|PF2||=2,聯(lián)立即可得到|PF1||PF2|,代入中計(jì)算即可.

解答由已知,不妨設(shè)F1(-2,0),F2(2,0),則a=1,c=2,因?yàn)閨OP|=2=所以點(diǎn)P在以F1F2為直徑的圓上,即ΔF1F2P是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形,故|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,即|PF1|2+|PF2|2=16,又||PF1|-|PF2||=2a=2,所以4=||PF1|-|PF2||2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=16-2|PF1||PF2|,解得|PF1||PF2|=6,所以SΔF1F2P=故選：B.

本題考查雙曲線的定義及雙曲線中焦點(diǎn)三角形的問題,考查學(xué)生的平面幾何知識(shí)的應(yīng)用和數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.

題目3(全國Ⅰ卷理科第4 題) 已知A為拋物線C:y2=2px(p＞0) 上一點(diǎn),點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12,到y(tǒng)軸的距離為9,則p=( )

A.2 B.3 C.6 D.9

解答設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x,y),由點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離為9可得x=9,由點(diǎn)A到C焦點(diǎn)的距離為12,可得x+=12,解得p=6.故選C.

題目4(全國Ⅰ卷理科第11 題)已知⊙M:x2+y2-2x-2y-2=0,直線l:2x+y+2=0,P為l上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作⊙M的切線PA,PB,切點(diǎn)為A,B,當(dāng)|PM|·|AB|最小時(shí),直線AB的方程為( )

A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0

C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=0

分析由題意可判斷直線與圓相離,根據(jù)圓的知識(shí)可知,四點(diǎn)A,P,B,M共圓,且AB⊥MP,根據(jù)|PM|·|AB|=4SΔPAM=4|PA|可知,當(dāng)直線MP⊥l時(shí),|PM|·|AB|最小,求出以MP為直徑的圓的方程,根據(jù)圓系的知識(shí)即可求出直線AB的方程.

解答圓的方程可化為(x-1)2+(y-1)2=4,點(diǎn)M到直線l的距離為所以直線l與圓相離.依圓的知識(shí)可知,四點(diǎn)A,P,B,M四點(diǎn)共圓,且AB⊥MP,所以

而|PA|=當(dāng)直線MP⊥l時(shí),|MP|min=|PA|min=1,此時(shí)|PM|·|AB|最小.所以MP:y-1=即由解得x=-1,y=0.所以以MP為直徑的圓的方程為(x-1)(x+1)+y(y-1)=0,即x2+y2-y-1=0,兩圓的方程兩端分別相減可得：2x+y+1=0,即為直線AB的方程,故選D.

本題主要考查直線與圓,圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用以及圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用,考查學(xué)生的問題等價(jià)轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,屬于中檔題.

題目5(全國Ⅰ卷理科第15 題) 已知F為雙曲線的右焦點(diǎn),A為C的右頂點(diǎn),B為C上的點(diǎn),且BF垂直于x軸.若AB的斜率為3,則C的離心率為____.

分析根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可知,|BF|=|yB|,|AF|=c-a,即可根據(jù)斜率列出等式求解即可.

解答設(shè)B(c,yB),yB=所以|BF|=依題可得,=3,|AF|=c-a,即變形得c+a=3a,c=2a,因此,雙曲線C的離心率為2,故答案為2.

三、2020年高考全國Ⅰ卷解析幾何解答題解析

題目6(全國Ⅰ卷文科第21 題、理科第20 題)已知A、B分別為橢圓(a＞1)的左、右頂點(diǎn),G為E的上頂點(diǎn),P為直線x=6 上的動(dòng)點(diǎn),PA與E的另一交點(diǎn)為C,PB與E的另一交點(diǎn)為D.

(1)求E的方程；

(2)證明：直線CD過定點(diǎn).

1 考點(diǎn)分析

第一問主要考查橢圓的幾何性質(zhì)及向量內(nèi)積的運(yùn)算.具體考點(diǎn)如下：

圖1

(2)考查考生能否選擇恰當(dāng)?shù)姆绞教幚?8,從而求得a.

第二問著重考查了直線與橢圓的位置關(guān)系與動(dòng)直線的不動(dòng)點(diǎn)問題(定點(diǎn)問題).具體考點(diǎn)如下：

(1)考查考生能否選擇恰當(dāng)?shù)姆绞桨褞缀螚l件“P、A、C和P、B、D分別三點(diǎn)共線”代數(shù)化；

(2)考查考生能否把幾何條件“直線AC和直線BD分別與橢圓相交”代數(shù)化；

(3)考查考生能否把幾何問題“動(dòng)直線CD過定點(diǎn)”代數(shù)化.

2 試題解析

第(1)問解法1由題設(shè)得A(-a,0),B(a,0),G(0,1).則=(a,1),=(a,-1).由=8,得a2-1=8,即a=3,所以E的方程為+y2=1.

第(1)問解法2由題設(shè)得由得所以得a2+1+a2+1+16=4a2,即a=3,所以E的方程為+y2=1.

第(1)問解法3由題設(shè)得由得

第(1)問解法4由題設(shè)得由得則

得a2-1=8,即a=3,所以E的方程為

第(2)問解法1如圖1,設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),P(6,t).若t≠ 0,設(shè)直線CD的方程為x=my+n,由題意可知-3＜n＜3.將x=my+n代入+y2=1 中,得(m2+9)y2+2mny+n2-9=0,所以

由于直線PA的方程為y=(x+3),所以y1=(x1+3).直線PB的方程為y=(x-3),所以y2=(x2-3).可得3y1(x2-3)=y2(x1+3).

解得n=-3(舍去) 或n=故直線CD的方程為即直線CD過定點(diǎn)若t=0,則直線CD的方程為y=0,過點(diǎn)

綜上所述,直線CD過定點(diǎn)

第(2)問解法1′(思路同解法1)同解法1得3y1(x2-3)=y2(x1+3).由于故=可得3y1y2=-(x1-3)(x2-3),即(3+m2)y1y2+m(n-3)(y1+y2)+(n-3)2=0.將解法1 中①式代入上式得

解得n=3(舍去)或n=其余同解法1.

第(2)問解法2設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),P(6,t).若直線CD的斜率存在,設(shè)直線CD的方程為y=kx+m,代入中,得(1+9k2)x2+18kmx+9m2-9=0,所以Δ=36(9k2+1-m2)＞0,m2＜9k2+1,

由于直線PA的方程為y=(x+3),所以y1=(x1+3).直線PB的方程為y=(x-3),所以y2=(x2-3).可得3y1(x2-3)=y2(x1+3).

將①代入②式得：2m2+15km+18k2=0.解得m=-6k(舍去) 或m=故直線CD的方程為即直線CD過定點(diǎn)若直線CD的斜率不存在,則直線CD的方程為x=過點(diǎn)

綜上所述,直線CD過定點(diǎn)

第(2)問解法3設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),P(6,t).由于直線PA的方程為y=(x+3),代入+y2=1,得(9+t2)x2+6t2x+9t2-81=0,則-3x1=所以

直線PB的方程為y=(x-3),代入得(1+t2)x2-6t2x+9t2-9=0,則3x2=所以所以kCD==直線CD的方程為可整理為所以當(dāng)時(shí),直線CD過定點(diǎn)當(dāng)t=時(shí),點(diǎn)C,D的坐標(biāo)為或直線CD為x=過定點(diǎn)

綜上所述,直線CD過定點(diǎn)

第(2)問解法3′(思路同解法3) 直線PA的方程為直線PB的方程為y=k2(x-3),因?yàn)樗詋2=3k1,直線CD的方程為

第(2)問解法3′′(思路同解法3) 直線PA的方程為x=m1y-3,直線PB的方程為x=m2y+3,因?yàn)樗詍1=3m2,直線CD的方程為

第(2)問解法4第一部分同解法3 得到：由橢圓的對(duì)稱性知,直線CD的定點(diǎn)必在x軸上,設(shè)Q(m,0).則又所以即t(3-2m)(t2+3)=0,當(dāng)t/0 時(shí),m=故直線CD過定點(diǎn)當(dāng)t=0 時(shí),直線CD過點(diǎn)

綜上所述,直線CD過定點(diǎn)

第(2)問解法5設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),P(6,t).由A,C,P三點(diǎn)共線,得則所以由D,B,P三點(diǎn)共線,得則所以

由橢圓的對(duì)稱性知,直線CD恒過的定點(diǎn)在x軸上,設(shè)Q(m,0),則又所以

即t[3(λ+μ)+m(λ-μ)]=0,當(dāng)t≠ 0 時(shí),上 式化 為3(λ+μ)+m(λ-μ)=0,因?yàn)辄c(diǎn)C,D在橢圓上,所以得即μ=-3λ.所以-6λ+4mλ=0.所以m=故直線CD過定點(diǎn)當(dāng)t=0 時(shí),直線CD過點(diǎn)

綜上所述,直線CD過定點(diǎn)

第(2)問解法6當(dāng)t≠ 0 時(shí),設(shè)P(6,t),設(shè)直線CD的方程為x=my+n,設(shè)直線PA的方程為x=m1y-3,直線PB的方程為x=m2y+3,則得所以m1=3m2.下面的PA,PB,AB,CD構(gòu)成曲線方程：(x-m1y+3)(x-m2y-3)+λy(x-my-n)=整理得代入m1=3m2,得6m2-4m2n=0,所以n=故直線CD的方程為x=my+過定點(diǎn)當(dāng)t=0 時(shí),直線CD過定點(diǎn)

綜上所述,直線CD過定點(diǎn)

試題評(píng)析

本題共兩個(gè)問題.第一問考查的是教科書的平面向量與橢圓的基本知識(shí)和基本技能.詳細(xì)內(nèi)容見人教版《必修4》第二章平面向量中的“2.3 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示”和“2.4 平面向量的數(shù)量積”及《選修2-1》第二章圓錐曲線中的“2.2 橢圓”.課標(biāo)中指出：“學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí),不能依賴死記硬背,而應(yīng)以理解為基礎(chǔ),并在知識(shí)的應(yīng)用中不斷鞏固和深化.”本問的考查學(xué)生能否熟練運(yùn)用向量的知識(shí)和方法解決橢圓中的問題,體現(xiàn)了“四基”中的基本知識(shí)和基本技能.

本題運(yùn)算量低綜合性好區(qū)分度高,有一定的知識(shí)板塊交融和創(chuàng)新,既能考查橢圓幾何性質(zhì),又能考查解決向量問題的基本方法,還融入了向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)的次序問題考查學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致,實(shí)屬解析幾何范疇的好問題.

第二問著重考查了直線與橢圓的位置關(guān)系與定點(diǎn)問題.考查考生是否能把幾何條件(或問題)代數(shù)化及其選用何種方式把幾何條件(或問題)代數(shù)化.以上六種解法可歸為三大類,具體分類見圖2：

圖2

結(jié)合數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)談?wù)劦诙柨疾榈膬?nèi)容實(shí)質(zhì).

首先,本問題主要研究三個(gè)關(guān)系：①P、A、C和P、B、D分別三點(diǎn)共線；②kPB=3kPA；③兩直線與橢圓相交.

其次,本問題主要有以上兩類解決方法,體現(xiàn)了重要的高中數(shù)學(xué)思想—分類討論和數(shù)形結(jié)合以及重要的數(shù)學(xué)問題分析方法—邏輯推理.分類討論體現(xiàn)在結(jié)合本問題的幾何意義或代數(shù)求解的等價(jià)性,考慮直線斜率是否存在或者P是否在x軸上；數(shù)形結(jié)合體現(xiàn)在點(diǎn)、直線與橢圓之間的幾何關(guān)系代數(shù)化過程；邏輯推理體現(xiàn)在解決問題考慮從特殊到一般,考查考生是否能由橢圓的對(duì)稱性推知定點(diǎn)Q必在x軸.考生對(duì)以上兩個(gè)問題的領(lǐng)悟程度的不同直接導(dǎo)致本題得分的差異.

再次,本問題不管使用何種方法都離不開定點(diǎn)問題的解題實(shí)質(zhì)：定主元——消參.第一類方法1 是選擇k和m做主元,通過“直線PA、直線PB與橢圓的關(guān)系”(韋達(dá)定理)和“點(diǎn)C、點(diǎn)D在橢圓上”(CD坐標(biāo)滿足橢圓方程)逐步消參從而找到k和m的等量關(guān)系,對(duì)應(yīng)找到直線CD過定點(diǎn)的坐標(biāo).第一類方法2 是選擇P的縱坐標(biāo)t作為主元,一個(gè)主元走天下,用t表示點(diǎn)C和點(diǎn)D,從而表示直線CD方程,整理化簡(jiǎn)得到直線CD過的定點(diǎn).兩類方法比較第一類方法1使用的消參技巧要求更高,第一類方法2 使用的消參技巧要求較低,第一類方法2 操作的預(yù)見性更強(qiáng),更易于學(xué)生掌握.

最后,本問題考查的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要是以下三個(gè)方面：直觀想象、邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算.直觀想象是本題分析的先決條件,點(diǎn)P是動(dòng)態(tài)的,從而帶動(dòng)點(diǎn)C與點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng),在動(dòng)態(tài)的直線中尋找不動(dòng)點(diǎn),學(xué)生必須具備一定的直觀想象能力才能結(jié)合圖形進(jìn)行分析理解題意,把握問題的關(guān)鍵；邏輯推理是本題破題的關(guān)鍵,能夠從特殊到一般分析問題,可以采用“先猜后證”的方法解決本問題,達(dá)到事半功倍的效果；數(shù)學(xué)運(yùn)算是本題對(duì)考生最基本的能力考查,不管用何種方法都逃避不過數(shù)與式的精確運(yùn)算,不然再好的方法都會(huì)功虧一簣.

本題屬于高中數(shù)學(xué)圓錐曲線中的經(jīng)典問題,考查高中數(shù)學(xué)的基本知識(shí)、基本技能、基本思想方法,重點(diǎn)考查三個(gè)核心素養(yǎng)：直觀想象、邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算.本題雖然屬于經(jīng)典問題重現(xiàn),但是運(yùn)算量大,運(yùn)算的準(zhǔn)確度要求高,選擇主元和消參的技巧性強(qiáng),是今年高考理科數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷中區(qū)分度較大的一題.本題能夠讓邏輯推理強(qiáng),運(yùn)算能力好的考生充分展現(xiàn)自己的實(shí)力,是一道“入門易,造化難”區(qū)分度較高的一個(gè)題目.

4 高考的同源題目

題目7(2010年高考江蘇卷第18 題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,如圖3,已知橢圓=1 的左、右頂點(diǎn)為A、B,右焦點(diǎn)為F.設(shè)過點(diǎn)T(t,m)的直線TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2),其中m＞0,y1＞0,y2＜0.

(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足PF2-PB2=4,求點(diǎn)P的軌跡；

(2)設(shè)x1=2,x2=求點(diǎn)T的坐標(biāo)；

(3)設(shè)t=9,求證：直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)(其坐標(biāo)與m無關(guān)).

圖3

圖4

解析(1)略；(2)略；(3)如圖4,點(diǎn)T的坐標(biāo)為(9,m)直線TA方程為：即直線TB方程為：即分別與橢圓聯(lián)立方程組,同時(shí)考慮到解得：

若x1=x2,則由及m＞0,得m=此時(shí)直線MN的方程為x=1,過點(diǎn)D(1,0).若則直線MD的斜率直線ND的斜率得kMD=kND,所以直線MN過D點(diǎn).

綜上所述,直線MN必過x軸上的點(diǎn)(1,0).

5 追本溯源

本問題的背景是高等幾何中極點(diǎn)和極線的內(nèi)容[1].

定義[2]對(duì)于圓錐曲線

已知點(diǎn)P(x0,y0)(非中點(diǎn))及直線

我們稱點(diǎn)P(x0,y0)為直線l關(guān)于圓錐曲線G的極點(diǎn),稱直線l為點(diǎn)P關(guān)于曲線G的極線.

特例1[2]：點(diǎn)P(x0,y0)關(guān)于橢圓的極線為

特例2[2]：直線PT是Q點(diǎn)關(guān)于曲線的極限線,那么,直線PT過點(diǎn)的充要條件是Q在直線x=x0.

定理[2]一個(gè)四邊形的四個(gè)定點(diǎn)在一條二次曲線上,則這個(gè)四邊形的對(duì)邊延長線的交點(diǎn)(假設(shè)四邊形對(duì)邊不平行)及其對(duì)角線交點(diǎn)的組成的三角形的任一頂點(diǎn)是其對(duì)邊的極點(diǎn).如圖5所示,點(diǎn)Q的極線是直線PR,點(diǎn)P的極線是直線QR.

圖5

再解高考題(題目6)[2]點(diǎn)P在x=6 上運(yùn)動(dòng),將x=6看成極線并表示為則據(jù)定義可知其關(guān)于的極點(diǎn)恰為此點(diǎn)就是CD與AB交點(diǎn),AB固定,則CD過定點(diǎn)

四、2021年高考數(shù)學(xué)解析幾何備考建議

基于2020年高考全國Ⅰ卷中解析幾何的命題特點(diǎn)和考生答卷中的典型錯(cuò)誤,給出如下備考建議：

1 夯實(shí)基礎(chǔ),全面復(fù)習(xí)

近三年的解析幾何試題難度下降,結(jié)合課標(biāo)要求,更加明確了備考方向應(yīng)該面向基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能.課標(biāo)中指出：學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的理解與掌握是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本要求,也是評(píng)價(jià)學(xué)生學(xué)習(xí)的基本內(nèi)容.評(píng)價(jià)看著的是對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解和思想方法的把握,避免片面強(qiáng)調(diào)機(jī)械記憶,模仿以及復(fù)雜技巧的運(yùn)用.解析幾何的復(fù)習(xí)中,更加要注重基礎(chǔ)知識(shí)和基本概念的教學(xué),直線、圓、橢圓、雙曲線以及拋物線的幾何性質(zhì)、代數(shù)表示及其相應(yīng)基本圖形辨析,在第一輪復(fù)習(xí)中應(yīng)逐一剖析透徹.堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)更有利于學(xué)生挑戰(zhàn)難題.

解析幾何解答題常常作為倒數(shù)第二題或者壓軸題目出現(xiàn),往往不受待見,但是再難的題目也有基礎(chǔ)分值,所以在備考的時(shí)候不宜放棄或者降低要求.如今年全國Ⅰ卷文科第21題第(1)問(即理科第20 題第(1)問),入門門檻不高,也是大部分學(xué)生可以拿分的地方.所以平時(shí)對(duì)待解析幾何題目要鼓勵(lì)學(xué)生積極的拿分意識(shí).其次再難的題目都有規(guī)律.這需要老師帶領(lǐng)學(xué)生,更加努力摸索難度大的題目不變的規(guī)律,探索出易于學(xué)生掌握的方法.萬丈高樓平地起,多個(gè)基礎(chǔ)問題的疊加就成為一道復(fù)雜的題目,所以讓學(xué)生學(xué)會(huì)解決復(fù)雜的題目就可以先拆分題目,逐個(gè)部分掌握.考場(chǎng)表現(xiàn)就是看平時(shí)的積累.平時(shí)對(duì)每一類解析幾何題目的解法和某些問題的二級(jí)結(jié)論要有一定的積累,才能在考試有限時(shí)間內(nèi)解決這些難度較大的問題.

2 突出素養(yǎng)導(dǎo)向,重視數(shù)學(xué)運(yùn)算

突出學(xué)科核心素養(yǎng),高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象,邏輯推理,數(shù)學(xué)建模,直觀想象,數(shù)學(xué)運(yùn)算,數(shù)據(jù)分析.凸顯主干內(nèi)容,對(duì)于支撐學(xué)科知識(shí)體系的重點(diǎn)內(nèi)容要占有較大的比例,構(gòu)成數(shù)學(xué)試卷的主體,同時(shí)注重學(xué)科的重要的思想方法培養(yǎng),如分類討論的思想,數(shù)形結(jié)合的思想.

這當(dāng)中有為需要重視的是數(shù)學(xué)運(yùn)算.從今年全國Ⅰ卷解析幾何解答題考生的作答情況中發(fā)現(xiàn),第一問不少考生出現(xiàn)簡(jiǎn)單方程解答出錯(cuò)導(dǎo)致失分；第二問直線與橢圓方程聯(lián)立后所得韋達(dá)定理“兩根之和”和“兩根之積”結(jié)果計(jì)算出錯(cuò)的情況比比皆是.還有部分考生使用解法4 的思路解決第二問,從卷面表述看已有較完整的思路,由于無法整理出含參直線的定點(diǎn)形式,從而不能發(fā)現(xiàn)直線過定點(diǎn)導(dǎo)致解題失敗.以上種種情況皆表明學(xué)生的運(yùn)算能力影響了數(shù)學(xué)表達(dá),甚是學(xué)生的運(yùn)算能力低于學(xué)生的問題分析能力.這引起我們對(duì)常規(guī)課堂的反思,是否有出現(xiàn)重思路輕運(yùn)算的數(shù)學(xué)課堂? 數(shù)學(xué)課堂中,對(duì)關(guān)鍵的運(yùn)算步驟和運(yùn)算技巧應(yīng)增加合理的板書；數(shù)學(xué)作業(yè)中,對(duì)學(xué)生的運(yùn)算失誤不僅歸結(jié)于“粗心大意”,更多關(guān)注失誤背后的“深層技術(shù)問題”；數(shù)學(xué)考試中,對(duì)解析幾何題目的選擇可以適當(dāng)增加運(yùn)算量的要求,引導(dǎo)學(xué)生提升自我的運(yùn)算要求.

3 課堂“慢生成”,實(shí)現(xiàn)真效率

教學(xué)中,教師最苦惱的是反復(fù)強(qiáng)調(diào)和重復(fù)的知識(shí),學(xué)生在考試的時(shí)候還會(huì)表現(xiàn)不佳甚至重復(fù)犯錯(cuò).這苦果往往是在數(shù)學(xué)課堂中自己種下的.如今年全國Ⅰ卷文科第21 題(即理科第20 題)第(2)問,不管使用何種方法(題目解析中的解法1 至解法6)都無法回避分類討論,解法3 中分類討論“斜率存在”與“斜率不存在”,解法4 中分類討論與這應(yīng)該是每一位數(shù)學(xué)教師在解析幾何的教學(xué)中都反復(fù)強(qiáng)調(diào)的問題,可是從閱卷情況看,僅有極少數(shù)學(xué)生能夠在獨(dú)立解決問題時(shí)有分類討論的意識(shí)并能正確表述.人們不禁要問：?jiǎn)栴}到底出在哪里? 問題的根源在高中第一節(jié)的解析幾何導(dǎo)論課—直線的斜率.“每條直線都有傾斜角但不是每條直線都有斜率”,這句話的背后深層的數(shù)學(xué)含義：幾何問題代數(shù)化過程要求的嚴(yán)謹(jǐn)性,不同幾何情況的代數(shù)表達(dá)未必能夠形式統(tǒng)一.對(duì)此,學(xué)生并未真正領(lǐng)會(huì),對(duì)教師提出“分類討論”的要求只是進(jìn)行機(jī)械化模仿罷了.

因此,想要學(xué)生真正能夠獲得基本知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),能夠發(fā)現(xiàn)問題—提出問題—分析問題—解決問題,教師需要在數(shù)學(xué)課堂中舍得“下血本”.數(shù)學(xué)知識(shí)的生成往往需要“慢生成”,需要放時(shí)間讓學(xué)生試錯(cuò)、調(diào)整、頓悟,這在40 分鐘的課堂看來是“低效”的,但是從長遠(yuǎn)來看,不需要“反復(fù)強(qiáng)調(diào)”,學(xué)生能真正掌握思想方法解決一類問題的話,這是真正的“高效”.

發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是重要的基地.教師在高三備考的數(shù)學(xué)課堂中需要把主體地位還給學(xué)生,放手讓學(xué)生自主獨(dú)立思考,自己解決問題,經(jīng)歷觀察—思考—分析的過程,經(jīng)歷失敗然后調(diào)整,從而找到問題解決的突破口.這個(gè)過程就是“慢生成”.只有經(jīng)歷這個(gè)“慢生成”,學(xué)生才能“知其然,知其所以然”,實(shí)現(xiàn)真效率.什么是真正的課堂效率,這是高三備考教學(xué)中,教師最需要思考的問題.