2020年高考全國卷三角試題評析及備考建議*

廣東省中山市教育教學(xué)研究室(528400) 方 勇

2020年高考全國卷三角試題注重對三角函數(shù)、三角恒等變換、解三角形等必備知識的考查,著重考查空間想象能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,對教學(xué)發(fā)揮了正確導(dǎo)向作用,貫徹落實(shí)了《中國高考評價(jià)體系》中的相關(guān)設(shè)想.

一、考查必備知識

數(shù)學(xué)科必備知識是指即將進(jìn)入高等學(xué)校的學(xué)習(xí)者在面對與數(shù)學(xué)相關(guān)的生活實(shí)踐或?qū)W習(xí)探索問題情境時(shí),高質(zhì)量地認(rèn)識問題、分析問題、解決問題所必須具備的數(shù)學(xué)知識.三角學(xué)是數(shù)學(xué)的經(jīng)典內(nèi)容和重要工具,是溝通幾何與代數(shù)的橋梁,其內(nèi)容蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合等重要的數(shù)學(xué)思想方法,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)特征,是數(shù)學(xué)知識體系中的菁華.就中學(xué)來講,三角是中學(xué)數(shù)學(xué)課程體系的重點(diǎn)內(nèi)容,它既是初中三角形知識的拓展與延伸,又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的必備基礎(chǔ).因此,歷年高考都注重對三角知識的考察,每份卷以三角學(xué)知識為考點(diǎn)的試題的分值穩(wěn)定保持在15 分左右.

2020年高考全國卷三角部分知識考查分布如下表：

知識點(diǎn)題號_______________三角函數(shù)定義、Ⅰ(理9),Ⅱ(文17),Ⅱ(理2),Ⅲ(文11),同角三角函數(shù)關(guān)系Ⅲ(理7)___________________________三角函數(shù)誘導(dǎo)公式Ⅱ(文17),Ⅲ(文12),Ⅲ(理7),Ⅲ(理16)三角函數(shù)性質(zhì)Ⅲ(文12),Ⅲ(理16)_________________三角函數(shù)模型y=A sin(ωx+φ)Ⅰ(文7),Ⅰ(理7)三角恒等和角、差角、Ⅰ(文18),Ⅰ(理9),Ⅱ(文13),Ⅱ(文17),變換倍角公式Ⅱ(理17),Ⅲ(文5),Ⅲ(理7),Ⅲ(理9)___解三角形正弦定理、Ⅰ(文18),Ⅱ(文17),余弦定理Ⅱ(理17),Ⅲ(文11),Ⅲ(理7)__________

從上表可以看出,2020年高考全國卷數(shù)學(xué)試題對三角知識的考查,有以下特點(diǎn)：

(1)考查主干知識2020年高考全國卷對三角知識的考查的特點(diǎn)之一便是以三角學(xué)中主干知識作為考查重點(diǎn),主要考查三角函數(shù)定義、同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)及三角模型性質(zhì),重點(diǎn)考查兩角和與差的三角函數(shù)公式、正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用.

(2)考查形式靈活2020年高考全國卷試題采取了靈活多樣的形式對三角知識進(jìn)行考查.在題型上既有選擇題,也有填空題和解答題,甚至還出現(xiàn)了多項(xiàng)選擇填空題(Ⅲ(理16)),采取這種開放式新題型的考查形式是為向新高考過渡做好鋪墊.在試題編排上,Ⅰ卷文理科有一道共用試題(Ⅰ(文7),Ⅰ(理7)),Ⅲ卷文科第11 題和Ⅲ卷理科第7 題采取了同題干,但所求問題不同的考查形式,Ⅲ卷文科第12 題和Ⅲ卷理科第16 題題干相同,四個(gè)選項(xiàng)只有一項(xiàng)不同,但文科中設(shè)置為單項(xiàng)選擇,理科設(shè)置為多項(xiàng)選擇(多選填空).總體來看,因使用Ⅰ卷的省份明年將大部分實(shí)行不分文理科的新高考,故Ⅰ卷在逐漸減少文理科卷之間的差別,而使用Ⅲ卷的省份進(jìn)入新高考稍晚,故試題編排上還繼續(xù)保持著文理科兩卷的差異性.

(3)考查層次多樣為體現(xiàn)疫情時(shí)期對考生的人文關(guān)懷,今年高考全國卷三角試題整體難度較上一年有較大降低,但命題者通過精心設(shè)計(jì),仍實(shí)現(xiàn)了難度上的多層次考查,既有對三角函數(shù)定義、公式的簡單考查(如Ⅰ(理9),Ⅱ(文13),Ⅱ(理2),Ⅲ(理9)等題),亦有對三角恒等變換、正弦定理、余弦定理等知識的基礎(chǔ)性考查(如Ⅰ(文18),Ⅱ(文17),Ⅱ(理17)等題),還有對三角函數(shù)性質(zhì)的綜合性考查(如Ⅲ(文12),Ⅲ(理16)等題).綜合今年全國卷來看,三角試題在難度設(shè)計(jì)上保有層次性,在思維的靈活性、深刻性,方法的綜合性、探究性上保有區(qū)分度,發(fā)揮了服務(wù)選才的功能.

二、考查關(guān)鍵能力

數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力是指即將進(jìn)入高等學(xué)校的學(xué)習(xí)者在面對與數(shù)學(xué)相關(guān)的生活實(shí)踐或?qū)W習(xí)探索問題情境時(shí),高質(zhì)量地認(rèn)識問題、分析問題、解決問題所必須具備的能力.抽象的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力包括知識獲取能力、實(shí)踐操作能力、思維認(rèn)知能力等,而空間想象能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、推理論證能力、抽象概括能力等則是數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的具體表現(xiàn).

2020年高考全國卷三角試題著重考查學(xué)生的空間想象能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

(1)空間想象能力空間想象能力是對空間形式的觀察、分析、抽象的能力,主要表現(xiàn)為識圖、畫圖和對圖形的想象能力.識圖是指觀察研究所給圖形中的幾何元素之間的相互關(guān)系；畫圖是指將文字語言和符號語言轉(zhuǎn)化為圖形語言以及對圖形添加輔助圖形或?qū)D形進(jìn)行各種變換；對圖形的想象則是空間想象能力的高層次要求.

題目1(Ⅰ(文7),Ⅰ(理7))設(shè)函數(shù)在[-π,π]的圖像大致如下圖,則f(x)的最小正周期為( )

解法1函數(shù)圖象過點(diǎn)即又是函數(shù)f(x)圖象與x軸負(fù)半軸的第一個(gè)交點(diǎn),所以解得：則函數(shù)f(x)的最小正周期為故選C.

解法2函數(shù)圖象過點(diǎn)即所以?,解得ω=又由圖像可知π＜T＜2π,即則1＜ω＜2,所以ω=則函數(shù)f(x)的最小正周期為故選C.

評析本題以三角函數(shù)模型y=Acos(ωx+φ) 為載體,考察學(xué)生識圖、用圖的能力.解法1 需要考生識別出點(diǎn)是函數(shù)f(x)圖象與x軸負(fù)半軸的第一個(gè)交點(diǎn),則由余弦函數(shù)圖像變換性質(zhì)可知從而求出ω的值及函數(shù)的周期.解法2 利用余弦函數(shù)的零點(diǎn)求出ω的一般值,再結(jié)合題目所給圖形特殊點(diǎn)位置,判斷出函數(shù)周期π＜T＜2π,從而確定ω的準(zhǔn)確值.兩種解法均需要考生能正確識別圖形中幾何元素的位置關(guān)系并能用代數(shù)關(guān)系式描述出來,考查學(xué)生“形數(shù)結(jié)合”的能力.

題目2(Ⅲ(文12))已知函數(shù)f(x)=則( )

A.f(x)的最小值為2

B.f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱

C.f(x)的圖像關(guān)于直線x=π對稱

D.f(x)的圖像關(guān)于直線x=對稱

(Ⅲ(理16))關(guān)于函數(shù)f(x)=sinx+有如下四個(gè)命題：

①f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱.

②f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱.

③f(x)的圖像關(guān)于直線x=對稱.

④f(x)的最小值為2.

其中所有真命題的序號是____.

解函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧?},定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,又

故函數(shù)f(x) 為奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,選項(xiàng)B錯(cuò)誤,命題①錯(cuò)誤,命題②正確；當(dāng)sinx＜0 時(shí),f(x)=選項(xiàng)A 錯(cuò)誤,命題④錯(cuò)誤；

故f(x)的圖像關(guān)于直線x=對稱,不關(guān)于x=π對稱.選項(xiàng)C 錯(cuò)誤,選項(xiàng)D 正確,命題③正確；

評析本題以學(xué)生熟悉的正弦函數(shù)為切入點(diǎn),綜合考查復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)：對稱性(奇偶性)、最值等.本題的難點(diǎn)在于考查學(xué)生對對稱性的理解.圖形對稱是幾何直觀,但與上題不同的是,本題并沒有給出幾何圖形,學(xué)生也很難作出本題函數(shù)圖形,必須借助代數(shù)工具來探究函數(shù)的對稱性.這就要求學(xué)生能夠用代數(shù)式來刻畫幾何直觀,考查學(xué)生對數(shù)學(xué)語言(圖形語言、符號語言)的理解和靈活運(yùn)用能力.

(2)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力數(shù)學(xué)運(yùn)算能力是指在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上,依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的能力.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)關(guān)于數(shù)學(xué)運(yùn)算的四個(gè)主要表現(xiàn)為：理解運(yùn)算對象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算思路、求得運(yùn)算結(jié)果.三角函數(shù)因其性質(zhì)多樣,變換靈活,一直是高中數(shù)學(xué)運(yùn)算的難點(diǎn)內(nèi)容之一,亦是高考考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的良好載體.下面以2020年高考全國Ⅰ卷文科18 題為例說明高考對數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的考查實(shí)踐.

題目3(Ⅰ(文18))ΔABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知B=150°.

第一問解法1由余弦定理,b2=a2+c2-2accosB,由條件得,28=3c2+c2-2××cos 150°,即28=4c2-解得c=-2(舍去),c=2,從而a=則ΔABC的面積為

第一問解法2由正弦定理得sinA=因?yàn)锳+B+C=180°,所以A=30°-C.故sin(30°-C)=化簡得=cosC,又sin2C+cos2C=1,解得sinC=由正弦定理解得c=2.則ΔABC的面積為

第一問解法3過C點(diǎn)做AB的垂線交AB的延長線于一點(diǎn)D(如圖) 則CD=由b2=CD2+(BD+c)2解得c=2,ΔABC的面積為

第二問解法1在ΔABC中A=30°-C,故

而0°＜C＜30°,所以30°+C=45°,故C=15°.

注也可以由sin(30°+C)=得cos(30°+C)=從而sinC=sin[(30°+C)-30°]=sin(30°+C)cos 30°-cos(30°+C)sin 30°=故C=15°.

第二問解法2在ΔABC中C=30°-A,故

而0°＜A＜30°,所以30°+A=45°,故A=15°,則C=15°.

第二問解法3在ΔABC中A=30°-C,故

結(jié)合上述試題,2020年高考全國卷三角試題對學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的考查,體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

(1)要求學(xué)生能在數(shù)學(xué)情境中確定運(yùn)算對象,提出運(yùn)算問題.

理解并確定運(yùn)算對象,提出運(yùn)算問題是發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的基礎(chǔ).對運(yùn)算對象的理解角度不同,可能會(huì)提出不同的運(yùn)算問題.如上題中,對于第一問條件a=解法1、3 是從三角形邊的關(guān)系來理解,解法2 側(cè)重從三角形角的關(guān)系來理解.兩種不同的理解角度,導(dǎo)致提出不同的運(yùn)算問題,解法1、3 側(cè)重于求邊,解法2 側(cè)重于求角.

(2)要求考生能夠針對運(yùn)算問題,合理選擇運(yùn)算方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序.

運(yùn)算能力是思維能力和運(yùn)算技能的結(jié)合,主要體現(xiàn)在是否能根據(jù)問題的條件選擇或設(shè)計(jì)合理、簡捷的運(yùn)算路徑與方法.運(yùn)算路徑、方法設(shè)計(jì)不合理可能導(dǎo)致的問題有：運(yùn)算無法進(jìn)行、運(yùn)算難度增加、其它新增問題等.如上題第二問中,面對關(guān)系式有的考生選擇利用兩角和公式進(jìn)行化簡(見上文第二問解法1、2),但也有很大一部分考生選擇利用同角三角函數(shù)關(guān)系(sin2C+cos2C=1)建立方程組求解(見上文第二問解法3).從算理上來講,兩種運(yùn)算路徑均是科學(xué)的、合理的,但從簡捷程度上來講,兩種算法差別較大.建立方程組求解時(shí),涉及到根式運(yùn)算、消元化簡、解一元二次方程等運(yùn)算過程.從閱卷反饋的情況來看,非常多的考生在這些環(huán)節(jié)出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤,導(dǎo)致失分.另外,采用這種途徑求解,還導(dǎo)致前面所說的其它新增問題——解方程出現(xiàn)多解.而且,這道題的結(jié)果不是常見的特殊角,許多考生對數(shù)字不敏感,聯(lián)想不到特殊角.許多考生得到兩個(gè)解后,心里感覺不踏實(shí),直覺告訴他們應(yīng)該要舍掉一個(gè)解,但是要舍掉多余的解需要在題目中找隱含條件進(jìn)行討論,這無端增加了解題的繁瑣程度.從答卷情況來看,不少考生沒有討論多解的情況或者采取直接蒙一個(gè)答案的做法,從而導(dǎo)致失分.需要指出的是,這道題第二問與2019年全國高考數(shù)學(xué)Ⅰ卷理科17 題考查要求異曲同工,考生在運(yùn)算過程中暴露的問題幾乎一樣,實(shí)在令人遺憾.

(3)要求考生能夠依據(jù)法則、公式進(jìn)行正確運(yùn)算、變形和數(shù)據(jù)處理.

運(yùn)算法則、公式是運(yùn)算的依據(jù),是推理的基礎(chǔ),也是運(yùn)算結(jié)果具有唯一性的保障.正確運(yùn)用運(yùn)算法則、公式進(jìn)行運(yùn)算是發(fā)展運(yùn)算能力的基礎(chǔ).三角恒等變換靈活多樣,是考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的良好載體.如本題第二問解法1、2 中,需對式子sin(30°-C)+(或sinA+運(yùn)用兩角和、差公式進(jìn)行恒等變換.從答卷情況來看,許多考生運(yùn)算基本功不扎實(shí),出現(xiàn)了形形色色的錯(cuò)誤,比如出現(xiàn)sin(30°-C)+=sin(60°+C)或sin(30°-C)+=sin(60°-C)或sin(30°-C)+=cos(60°+C)等變形錯(cuò)誤.同上文(2)中所述,這種運(yùn)算問題在去年Ⅰ卷理科17 題中已經(jīng)充分暴露,但從考生答卷情況來看,并無明顯改善.這說明我們平時(shí)教學(xué)中,對于學(xué)生運(yùn)算要求并沒有落到實(shí)處.

三、備考建議

2020年高考全國卷三角試題重視考查學(xué)生對必備知識和關(guān)鍵能力的掌握,注重考查學(xué)生的思維能力和學(xué)習(xí)潛能,對教學(xué)發(fā)揮了正確的導(dǎo)向作用.從答卷情況來看,我們在教學(xué)中需要注意下面兩個(gè)問題：

(1)注重落實(shí)“雙基”.新課程改革關(guān)注發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)科核心素養(yǎng),但落實(shí)“雙基”并不是過時(shí)了,恰恰相反,落實(shí)“雙基”是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的的前提條件.學(xué)生必須掌握基本知識、基本技能,在運(yùn)用基本知識、基本技能解決數(shù)學(xué)問題的過程中,發(fā)展數(shù)學(xué)能力,積累解決數(shù)學(xué)問題的經(jīng)驗(yàn),并將這些經(jīng)驗(yàn)內(nèi)化為數(shù)學(xué)思維品質(zhì).在此過程中,學(xué)生逐漸形成良好的情感態(tài)度和數(shù)學(xué)價(jià)值觀,數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到發(fā)展.從本題閱卷情況來看,很多考生暴露出了基本知識不熟悉、基本技能沒掌握的情況,而且這些問題在上一年已經(jīng)出現(xiàn),說明這些問題并沒有引起教師們的足夠重視,教學(xué)中浮在表面、缺少實(shí)效的情況仍然嚴(yán)重,急需改進(jìn).

(2)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)語言能力.數(shù)學(xué)語言是數(shù)學(xué)思維的外在體現(xiàn).要注重?cái)?shù)學(xué)思維訓(xùn)練和數(shù)學(xué)語言訓(xùn)練,幫助學(xué)生形成有邏輯、有條理、規(guī)范、簡潔地使用數(shù)學(xué)語言表達(dá)的習(xí)慣.數(shù)學(xué)解題過程的書寫就是數(shù)學(xué)語言表達(dá)的一種形式,很多考生在答卷中出現(xiàn)論證不嚴(yán)謹(jǐn)、論述次序混亂,數(shù)學(xué)符號使用不規(guī)范,書寫過程繁瑣等問題.這些問題的解決需要教師從低年級起就要嚴(yán)格要求,狠抓訓(xùn)練,逐步改進(jìn).