一道不定積分的幾種解法

張玥 鄒健

摘?要：本文針對一個不定積分的題目進行探討，提出5 種計算方法，分別是湊微分法、正切代換、無理代換、歐拉代換和雙曲代換。以此引導學生突破思維的局限性，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維和綜合能力。

關(guān)鍵詞：不定積分;湊微分法;發(fā)散思維

不定積分是微積分學中最基本的概念之一[1]，能正確地計算不定積分是學生學習微積分學必須掌握的基本能力之一。與微分計算相比較，不定積分的計算方法更靈活多變，有時計算結(jié)果形式上也會不一樣，換句話說就是比較開放，而這種開放性對培養(yǎng)學生的發(fā)散思維很有幫助[2]。本文對課堂教學中的一道不定積分題目的多種解法展開討論，以期培養(yǎng)學生創(chuàng)造性思維的能力。

該方法屬于正切代換的方法，通過正切代換達到去根號的目的。該方法與湊微分方法相比，形式固定，只要掌握基本的三角公式、sectdt的積分公式以及輔助直角三角形法，問題就能得到解決，所以學生容易掌握。

該方法屬于無理代換的方法，與方法2一樣，通過無理代換達到去根號的目的。但該方法比方法2更直接，只要能夠掌握1t2-a2dt的積分公式，問題就能得到解決，所以該方法往往是學生首選的。

該方法屬于歐拉代換的方法，相比于前三種方法，歐拉代換的方法能將無理函數(shù)的不定積分直接化為有理函數(shù)的不定積分，雖然代換方法學生不易接受，但是解題過程卻是最簡單的。

該方法屬于雙曲代換的方法。相比于前四種方法，該方法中變換形式的選擇以達到去根號的目的來確定，因而目的明確，容易掌握。通過與前四種方法的解題過程相比較，該方法的不定積分求解最易。但是最終求解原不定積分需要計算sh-1t，對于基礎較弱的同學來說，也是有一定困難的。教學實踐表明，方法3最易被學生接受;在教學中，雖然方法1最先被講解，但是想要找到合適的函數(shù)來湊微分并不是一件容易的事。通過這一道不定積分題目的多種解法的講解，可以幫助學生靈活地掌握知識之間的聯(lián)系，解放解題思維模式，培養(yǎng)和發(fā)揮創(chuàng)造性。

參考文獻：

[1]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析[M].北京：高等教育出版社，2001（第4版）.

[2]崔靜靜，趙思林.一道考研數(shù)學試題的多種解法[J].西昌學院學報（自然科學版），2019，32（04）：54-56.

[3]譚香.幾類三角函數(shù)有理式不定積分的求法[J].數(shù)學學習與研究，2018，24：2-3.

項目：安徽工程大學校級教學質(zhì)量提升計劃項目《大學數(shù)學課程中立德樹人實現(xiàn)路徑的研究》（項目編號：2018jyxm68）