化歸思想在高中數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)中的運用

摘?要：在高中數(shù)學(xué)教學(xué)板塊中，函數(shù)作為一個重要內(nèi)容，其本質(zhì)就是客觀描述世界中的變化規(guī)律。采用化歸思想融入高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)方法中，能夠有效地激發(fā)高中生的化歸思想意識，提升其解題能力，大大增強(qiáng)課堂教學(xué)成效。文章立足于化歸思想的概念、意義和運用原則，對高中數(shù)學(xué)中相關(guān)的函數(shù)試題進(jìn)行探討，舉例提出了化歸思想的主要應(yīng)用方法。

關(guān)鍵詞：化歸思想;高中數(shù)學(xué);函數(shù)教學(xué)

化歸思想的運用形式就是將繁雜的問題劃歸為簡單的方式進(jìn)行處理，幫助學(xué)生從表面上看似不理解或者是具有一定難度的函數(shù)題轉(zhuǎn)化為簡單的問題。函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，幫助學(xué)生積極運用化歸思想，掌握相應(yīng)的解題技能，不僅能夠進(jìn)一步理解函數(shù)的相關(guān)規(guī)律，熟練靈活的解決函數(shù)難題，還能提升學(xué)生的思維能力，促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

一、 化歸思想概述

化歸思想就是指個體在解決某些難題的時候，將需要解決的問題逐步轉(zhuǎn)化成為個體已經(jīng)掌握的知識點，通過分解形式間接的計算出主要問題的正確結(jié)果，達(dá)到刪繁就簡的目的。在高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中，運用化歸思想的主要優(yōu)勢就是能夠幫助學(xué)生將復(fù)雜的問題規(guī)范化、模式化，將學(xué)生感到困難的問題轉(zhuǎn)換為學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗來計算。在運用化歸思想的過程中，應(yīng)當(dāng)注意轉(zhuǎn)換問題的條件，從中提取具有核心價值的信息，通過各種條件、結(jié)論和過程的轉(zhuǎn)化，使得那些讓學(xué)生手足無措的題目，漏出其本來的面目，從而方便學(xué)生正確解題，獲得高分。

二、 化歸思想在高中數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)中的意義

（一）鞏固和深化函數(shù)知識

高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識的教學(xué)更加側(cè)重于對學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的培訓(xùn)，運用化歸思想能夠進(jìn)一步有將各種函數(shù)題型中難以理解的原理和相關(guān)規(guī)律逐步分解，讓學(xué)生更加容易掌握。學(xué)生在對各個分解的小問題逐一解答的過程中，能夠?qū)χR進(jìn)行全面的分析，從而不斷強(qiáng)化化歸思想的使用方法，有效地鞏固和深化學(xué)生的函數(shù)知識和解題能力。

（二）培養(yǎng)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)思維

運用化歸思想不僅能夠有效地讓學(xué)生更容易掌握函數(shù)知識，還能夠讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)的價值，開拓數(shù)學(xué)思維，進(jìn)而將數(shù)學(xué)解題技能靈活遷移到生活實際中。通過課堂上詳細(xì)系統(tǒng)的學(xué)習(xí)和總結(jié)，學(xué)生在腦海中構(gòu)建函數(shù)知識框架，并從復(fù)雜的知識點中探索規(guī)律，在潛移默化中養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維能力。

（三）培養(yǎng)數(shù)學(xué)的分析能力

學(xué)生運用化歸思想能夠?qū)┈嵉膯栴}簡單化，能夠自主進(jìn)行探索分析，不斷提升自己解決數(shù)學(xué)問題的能力，提升數(shù)學(xué)綜合水平。從而將數(shù)學(xué)方法進(jìn)行綜合，鞏固了所學(xué)知識，數(shù)學(xué)的分析能力也獲得提升。

三、 化歸思想在高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中的運用原則

（一）熟悉化原則

對于高中生來說，其已經(jīng)具備了一定的基礎(chǔ)知識，且形成了獨立的認(rèn)知規(guī)律，個體的學(xué)習(xí)是將未知的問題轉(zhuǎn)換為熟悉的已知問題。也就是說，將化歸思想運用在高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中，就是要將新概念納入個體的已知結(jié)構(gòu)中，構(gòu)建個體熟悉的解題模型，才能順利的實施到下一步的解題步驟中。

（二）簡單化原則

顧名思義，簡單化原則就是將復(fù)雜的問題和知識轉(zhuǎn)換為簡單的形式，在不同的問題情境中，化歸思想的運用都不能夠盲目的進(jìn)行，而是應(yīng)當(dāng)積極保證化歸目標(biāo)的簡單性，通過簡單的轉(zhuǎn)化使得后續(xù)的解題過程更加簡單。

（三）具體化原則

在學(xué)習(xí)新知識的過程中，個體對于任何事物生動直觀的感受比抽象的理解能加容易達(dá)到預(yù)期目標(biāo)?；瘹w思想的運用就是一個抽象到具體的過程，通過難懂的理論文字表述，從中提煉有效信息，然后運用直觀的圖形表示出來，給個體一目了然的感覺，將問題中各個變量之間的關(guān)系變得具體清晰，更加容易把握其中的規(guī)律和有效信息。

（四）和諧統(tǒng)一性原則

對于高中數(shù)學(xué)知識來說，其更加關(guān)注于學(xué)生的思維模式，所以通常情況下，給出問題的條件比較雜亂，給學(xué)生的思考帶去一定的挑戰(zhàn)。學(xué)生在這個時候就需要有意識地將各個問題數(shù)據(jù)的表現(xiàn)形式變得和諧，將各個變量和結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系變得統(tǒng)一。運用化歸思想的和諧統(tǒng)一原則，從而在體現(xiàn)數(shù)學(xué)美的基礎(chǔ)上，更加便于正確求解方式。

（五）形式標(biāo)準(zhǔn)化原則

形式標(biāo)準(zhǔn)化原則具體來講就是標(biāo)準(zhǔn)化的模式科學(xué)，高中數(shù)學(xué)知識包含了公式、法則、定理等，例如在教學(xué)函數(shù)內(nèi)容時，學(xué)生往往就會運用到相關(guān)公式法則。又如，圓錐曲線對應(yīng)的圖像和幾何性質(zhì)也是針對標(biāo)準(zhǔn)方程制定的。這種將某一種問題朝著標(biāo)準(zhǔn)的形式轉(zhuǎn)化的方法就叫作形式標(biāo)準(zhǔn)化原則。

（六）低層次化原則

在學(xué)生分析高層次的數(shù)學(xué)問題時候，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)其有意識地將相關(guān)條件劃歸為更加直觀簡單的低層次問題，這種方式能夠?qū)⒕哂须y度的問題變得簡單化，方便學(xué)生求解。例如，對高維空間問題與高次問題分別進(jìn)行降維、降次處理，對含多個變元的問題消元轉(zhuǎn)化為變元稍少的問題，這種降低問題復(fù)雜性的方式就是低層次化原則。

四、 化歸思想在高中數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)中的主要運用

（一）化歸思想在函數(shù)中的動靜間轉(zhuǎn)化

在高中函數(shù)學(xué)習(xí)過程中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生不斷發(fā)現(xiàn)問題，深入挖掘各個變量之間的依賴關(guān)系，探尋生活中的具體規(guī)律，從文字?jǐn)?shù)據(jù)中提煉具有關(guān)鍵性的因素，并準(zhǔn)確的明晰各個抽象變量之間的關(guān)系。學(xué)生通過學(xué)習(xí)之后，能夠從中得知函數(shù)的單調(diào)性和最值等，循序漸進(jìn)的解決相關(guān)問題，獲得舉一反三的能力。這樣一個構(gòu)造函數(shù)的過程就是化歸思想在函數(shù)中的動靜轉(zhuǎn)化過程。

教師可以將這道題作為函數(shù)動靜轉(zhuǎn)化的典型案例，從題目中我們能夠得知，觀察log312與log35是兩個靜止的數(shù)值，學(xué)生通過認(rèn)真思考能夠發(fā)現(xiàn)這兩個值均為對數(shù)形式，基于這一基礎(chǔ)例題，教師就可以構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)實現(xiàn)由靜到動的轉(zhuǎn)化。

（二）化歸思想在函數(shù)中的數(shù)形間轉(zhuǎn)化

在函數(shù)學(xué)習(xí)的過程中，函數(shù)圖像是其主要的標(biāo)識方法之一，學(xué)生應(yīng)當(dāng)對不同的函數(shù)圖像了然于心，并以此來探討相應(yīng)的函數(shù)性質(zhì)。運用化歸思想達(dá)到數(shù)形結(jié)合的目的，再用數(shù)形結(jié)合的方法巧妙地將函數(shù)的解析式和函數(shù)圖像結(jié)合起來，從而將困難的問題轉(zhuǎn)化為簡單的題目，學(xué)生一眼就能夠看出其中的規(guī)律，找到解題的突破口。

教師就可以引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)變思路，將題干中的數(shù)字劃歸為圖形，通過函數(shù)圖像的表示（如圖1），從圖上面更加直觀的觀察區(qū)間[-1，5]上，兩函數(shù)共有6個交點，且這6個交點關(guān)于點（2，0）成3組對稱點。具體來說，就是（2，0）是每組對稱點的中點，學(xué)生就能夠利用中點坐標(biāo)公式求交點橫坐標(biāo)之和。

（三）化歸思想在函數(shù)中向母題的轉(zhuǎn)化

數(shù)學(xué)家笛卡爾說：“每一個問題都可以成為一個范例，并借助這個范例來解決其他問題?！庇纱丝梢?，一個數(shù)學(xué)問題能夠為解決另外一個數(shù)學(xué)問題提供參考，而這里的“范例”就被稱之為“母題”。母題在高中函數(shù)教學(xué)中能夠為學(xué)生的解題提供明確的化歸方向。

（四）化歸思想在函數(shù)中的等價轉(zhuǎn)化法

將原有的函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為等價命題，從而達(dá)到化歸目的，順利得出正確結(jié)果，這種函數(shù)解題方式就叫等價轉(zhuǎn)化法。首先，學(xué)生在分析函數(shù)題目的時候，一定要做到準(zhǔn)確審題、仔細(xì)閱讀，并搞清楚各個數(shù)據(jù)之間的邏輯關(guān)系。然后，學(xué)生在解題的過程中，為了保證函數(shù)轉(zhuǎn)化的等價性，還必須要準(zhǔn)確地掌握參數(shù)的取值范圍。

（五）化歸思想在函數(shù)中的換元法

針對高中函數(shù)板塊中的整式、有理式，個別學(xué)生可能會覺得有一定難度，那么就是就可以采用換元法，幫助學(xué)生對題目進(jìn)行簡化或降冪處理。在使用換元法的時候，一定要注重各個參數(shù)取值的范圍，避免馬虎出現(xiàn)誤差，降低了解題結(jié)果的準(zhǔn)確性。與此同時，學(xué)生要確保換元前后的參數(shù)取值范圍統(tǒng)一，進(jìn)一步把握換元法使用的關(guān)鍵點，靈活熟練的對其運用。

分析：通常情況下，學(xué)生通過閱讀題干就能夠找出解題思路。但是為了確保計算結(jié)果的準(zhǔn)確性，教師在解析講解的時候就可以借助換元法對其加以處理。

五、 結(jié)語

化歸思想作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一種重要的思想方法，其可以融入數(shù)學(xué)知識的方方面面。由于高中數(shù)學(xué)函數(shù)題目本身就具備較大的差異，且各個題目都具有各自本身的特點，教師為了提升課堂教學(xué)質(zhì)量，提升學(xué)生解題技能，就應(yīng)當(dāng)積極滲透化歸思想，讓學(xué)生通過分析函數(shù)的特點，找到問題的切入點，并深入感受化歸思想的具體運用，最終促使學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力得到全面發(fā)展。

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作者簡介：

朱艷燕，上海市，上海市曹楊第二中學(xué)。