“命題的否定”與“否命題”概念辨析

丁陽會(huì)

摘 ?要：“命題的否定”與“否命題”是學(xué)生學(xué)習(xí)常用邏輯用語的過程中經(jīng)常遇到的疑惑點(diǎn)，只有深刻理解兩個(gè)概念的本質(zhì)并充分運(yùn)用數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化與化歸的思想才能撥云見日.

關(guān)鍵詞：命題，否定，否命題

問題1 在數(shù)學(xué)中，有很多“若p，則q”形式的命題，有的是真命題，有的是假命題.例如

①若x>1，則2x+1>5;（假命題）

②若四邊形為等腰梯形，則這個(gè)四邊形的對角線相等.（真命題）

這里，命題①②都是省略了量詞的全稱量詞命題.

有人認(rèn)為，①的否定是“若x>1，則2x+1≤5”，②的否定是“若四邊形為等腰梯形，則這個(gè)四邊形的對角線不相等”.你認(rèn)為對嗎？如果不對，請你正確地寫出命題①②的否定.

問題2 判斷下列命題是否正確：

①“若2x+1>5，則3x+1<10”的否定是“若2x+1>5，則3x+1≥10”;

②“平行四邊形是矩形”的否定是“平行四邊形不是矩形”;

③“ ”的否定是“ ”;

④“等腰梯形的對角線相等”的否命題是“等腰梯形的對角線不相等”;

⑤“ ， ”的否命題是“ ， ”;

⑥“若 ，則 ”的否命題是“若 ，則 ”.

其中，問題1是2019年新人教版普通高中教科書《數(shù)學(xué)》（必修第一冊）第一章習(xí)題1.5“拓廣探索”中給出了一道思考題，顯然“若x>1，則2x+1≤5”是一個(gè)假命題，它不是命題“若x>1，則2x+1>5”的否定，“若四邊形為等腰梯形，則這個(gè)四邊形的對角線不相等”雖然是一個(gè)假命題，但它也不是②的否定，那么正確答案是什么呢？新人教版（2019）教科書與原人教版（2007）相比，只保留了充分條件與必要條件，全稱量詞命題和存在量詞命題及其否定（原人教版教材稱為“全稱命題與特稱命題”），刪除了四種命題及其關(guān)系和簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞.但是我們要解決問題1，還要從“命題的否定”與“否命題”兩個(gè)基本概念談起.

對一個(gè)命題進(jìn)行全盤否定，就得到一個(gè)新命題，這一新命題就稱為原命題的否定，它和原先的命題只能一真一假，不能同真或同假.【1】對于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定，我們把這樣的兩個(gè)命題叫做互否命題，如果把其中一個(gè)命題叫做原命題，那么另一個(gè)叫做原命題的否命題.互否命題針對的是“若p，則q”形式的命題.【2】顯然“命題的否定”與“否命題”是兩個(gè)不同的概念.

有人認(rèn)為命題“若p，則q”的否命題是既否定條件，又否定結(jié)論，而它的否定則是只否定結(jié)論，不否定條件，這種說法前半句正確，后半句則是錯(cuò)誤的，例如命題“若 ，則 ”是假命題，“若 ，則 ”也是假命題，顯然它不是原命題的否定.那么，“若 ，則 ”的否定該如何書寫呢？

我們要書寫一個(gè)命題的否定首先要明確這個(gè)命題的結(jié)構(gòu)，在高中教材中，常見的命題按結(jié)構(gòu)可以分為以下幾類：單稱命題（例如2是偶數(shù)）、若 ，則 型、復(fù)合命題（含有邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”）、全稱量詞命題、存在量詞命題.單稱命題的否定是直接進(jìn)行否定，例如“2是偶數(shù)”的否定是“2不是偶數(shù)”，復(fù)合命題“ ”的否定分別為“ ”，全稱量詞命題“ ”的否定為存在量詞命題“ ”、存在量詞命題“ ”的否定為全稱量詞命題“ ”.對于“若 ，則 ”型的命題，我們在中學(xué)階段一般只書寫他的逆命題、否命題、逆否命題，如果要書寫它的否定，則需要把它改寫成全稱量詞命題，然后再書寫它的否定，例如上面的命題“若 ，則 ”改寫為全稱量詞命題“ ， ”，其否定就應(yīng)該是“ ， ”，這是一個(gè)真命題，與原命題真假性相反.同樣，我們要書寫一個(gè)命題的否命題，首先也要把它改寫成“若 ，則 ”型的命題，例如書寫命題“2是偶數(shù)”的否命題，應(yīng)該先把它改寫成“若一個(gè)整數(shù)是2，則這個(gè)整數(shù)是偶數(shù)”，再書寫它的否命題為“若一個(gè)整數(shù)不是2，則這個(gè)整數(shù)不是偶數(shù)”.問題1中的兩個(gè)命題是省略了量詞的全稱量詞命題，應(yīng)該將兩個(gè)命題加上量詞并改寫成如下命題：“x>1，2x+1>5”，“所有的等腰梯形的對角線都相等”.它們的否定分別為：“ x>1，2x+1≤5”（真命題），“存在一個(gè)等腰梯形，它的對角線不相等”（假命題）.

問題2中的說法都是錯(cuò)誤的.具體分析如下：

①中的兩個(gè)命題都是假命題，因而是錯(cuò)誤的，應(yīng)該先把原命題化簡再改寫成全稱量詞命題“x>2，x<3”，其否定應(yīng)該是“ x>2，x≥3”，這是一個(gè)真命題.

②中兩者也都是假命題，顯然錯(cuò)誤，原命題是省略了量詞的全稱量詞命題，應(yīng)將其改寫為“所有的平行四邊形都是矩形”，其否定應(yīng)該是“至少有一個(gè)平行四邊形不是矩形”，這是一個(gè)真命題.

③“ ”等價(jià)于“ ”，“ ”等價(jià)于“ ”，兩者顯然不能互為否定，“ ”的否定為“ ”，所以“ ”的否定是“ ”.

④應(yīng)該將原命題改寫為“若一個(gè)四邊形是等腰梯形，則它的對角線相等”，它的否命題為“若一個(gè)四邊形不是等腰梯形，則它的對角線不相等”.

⑤應(yīng)該將原命題改寫為“若 ，則 ”，它的否命題是“若 ，則 ”;

⑥應(yīng)該將原命題化為等價(jià)命題“若 ，則 ”，它的否命題是“若 ，則 ”.

小結(jié)：不論是書寫命題的否定還是否命題，都要先分清命題的結(jié)構(gòu)，再嚴(yán)格按照定義來寫，必要的時(shí)候還要對原命題進(jìn)行化簡，進(jìn)行等價(jià)變形，否則也容易出錯(cuò)，對于命題否定的書寫是否正確，要養(yǎng)成用命題與命題的否定真假性相反這一規(guī)則進(jìn)行檢驗(yàn)的習(xí)慣.

參考文獻(xiàn)：

[1]人民教育出版社 課程教材研究所 中學(xué)數(shù)學(xué)程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)必修第一冊（A版）[M].北京：人民教育出版社，2019

[2]人民教育出版社 課程教材研究所 中學(xué)數(shù)學(xué)程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)選修2-1（A版）[M].北京：人民教育出版社，2007