利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題

毛小紅

摘 要：勾股定理是初中幾何教學(xué)中的重點(diǎn)知識(shí)，其對(duì)于學(xué)生空間想象能力、抽象思維能力、數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的培養(yǎng)都有著重要影響。而且，勾股定理與現(xiàn)實(shí)生活之間也有著比較密切的關(guān)聯(lián)，其可以為很多實(shí)際問(wèn)題的解決給予科學(xué)輔助與有效驅(qū)動(dòng)?？梢哉f(shuō)，利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題，已成為初中幾何教學(xué)中必須關(guān)注的重點(diǎn)內(nèi)容與核心議題。因此，教師在勾股定理教學(xué)中，應(yīng)該加強(qiáng)對(duì)于其與實(shí)際問(wèn)題之間關(guān)聯(lián)的融合與滲透，以促使學(xué)生在靈活使用勾股定理來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題中獲得認(rèn)知提升、素養(yǎng)增強(qiáng)、能力蛻變。

關(guān)鍵詞：初中幾何;勾股定理;利用;實(shí)際問(wèn)題;解決

在諸多實(shí)際問(wèn)題中，涉及的旗桿問(wèn)題、梯子問(wèn)題、最短路徑問(wèn)題、吸管擺放問(wèn)題等，都可以利用勾股定理獲得精準(zhǔn)而完美的解答。然而，很多初中教師在進(jìn)行幾何教學(xué)時(shí)，往往更側(cè)重對(duì)于勾股定理理論的講授與灌輸，對(duì)于學(xué)生實(shí)踐探索應(yīng)用、實(shí)際問(wèn)題解答等綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)的滲透少之又少，以致勾股定理在學(xué)生實(shí)際生活中作用的發(fā)揮大打折扣。殊不知，數(shù)學(xué)的內(nèi)涵與主導(dǎo)便是對(duì)生活現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的解答，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的培養(yǎng)。一方面，學(xué)生在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，其對(duì)于勾股定理的理解、認(rèn)知、學(xué)習(xí)將會(huì)更加充分、到位、深入、有效，數(shù)學(xué)教學(xué)的效率與質(zhì)量也會(huì)得到顯著提升。另一方面，學(xué)生在借助勾股定理解答實(shí)際問(wèn)題的探究中，其數(shù)學(xué)思辨能力、實(shí)踐能力、思維能力、想象能力等基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)將會(huì)更加完備、健全、精準(zhǔn)、科學(xué)，對(duì)應(yīng)的學(xué)習(xí)興趣、探究熱情、發(fā)展夙愿自會(huì)被無(wú)限激活與充分實(shí)現(xiàn)。因此，教師在進(jìn)行初中勾股定理教學(xué)時(shí)，應(yīng)該加強(qiáng)對(duì)勾股定理的指導(dǎo)與探究，并竭力使勾股定理與實(shí)際問(wèn)題緊密結(jié)合起來(lái)，為促使學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)培育而給予輔助，為確保數(shù)學(xué)教學(xué)效率提升而奠基鋪路。

一、加強(qiáng)對(duì)勾股定理內(nèi)涵的探究，使其更好服務(wù)于實(shí)際問(wèn)題解決

勾股定理是反映客觀(guān)世界基本規(guī)律的一條重要結(jié)論，其自提出到投身實(shí)踐應(yīng)用經(jīng)歷了比較漫長(zhǎng)的歷程，有著比較悠久的歷史。而且，隨著人們對(duì)勾股定理認(rèn)識(shí)、理解、使用的深入，其作用和價(jià)值也正在被無(wú)限開(kāi)掘。但是，對(duì)于初次接觸勾股定理的初中學(xué)生而言，由于其數(shù)學(xué)思維、意識(shí)、能力、素養(yǎng)正處于培育期、塑造期、發(fā)展期，著使得教師在勾股定理教學(xué)指導(dǎo)中，應(yīng)該從學(xué)生認(rèn)知實(shí)際入手，通過(guò)對(duì)勾股定理內(nèi)涵的探索與分析，使學(xué)生充分感知、體悟、認(rèn)識(shí)勾股定理的由來(lái)過(guò)程、具體作用、實(shí)踐功能等，進(jìn)而積極投身實(shí)際問(wèn)題解決。一是探索勾股定理由來(lái)，為實(shí)際問(wèn)題解決給予理論鋪墊。教師可以通過(guò)對(duì)直角三角形的引入，讓學(xué)生以直角三角形各邊為邊長(zhǎng)作正方形，并在觀(guān)察、探究、計(jì)算、分析中得出：“以直角邊為邊長(zhǎng)的兩個(gè)正方形的面積之和等于以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積”這一結(jié)論，進(jìn)而使學(xué)生對(duì)勾股定理由來(lái)過(guò)程獲得深入理解。隨后繼續(xù)進(jìn)行推導(dǎo)，如果一個(gè)直角三角形三邊分別為a，b，c（斜邊），那么這個(gè)直角三角形的面積則為a2+b2=c2。同時(shí)，在實(shí)際應(yīng)用中，教師必須明確：（1）勾股定理僅限于直角三角形;（2）必須判別清楚直角邊與斜邊。二是凸顯勾股定理作用，使其深度應(yīng)用于生活實(shí)際問(wèn)題的解答、分析、解決。教師可以在學(xué)生充分理解勾股定理內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，適時(shí)引入實(shí)際問(wèn)題，并組織學(xué)生開(kāi)展分析探究，使學(xué)生在勾股定理與現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的關(guān)聯(lián)、過(guò)渡中更好服務(wù)于學(xué)生認(rèn)知發(fā)展。

例如，教師結(jié)合幾何應(yīng)用題：已知旗桿頂端到地面的垂直距離是比繩長(zhǎng)多1m，小剛將旗桿下端的繩子斜向拉拉開(kāi)5m后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面。請(qǐng)問(wèn)旗桿高度是多少？這便是勾股定理應(yīng)用中最典型的“旗桿問(wèn)題”。對(duì)此，教師可以通過(guò)組織學(xué)生畫(huà)圖、想象、解答的方式，讓學(xué)生自主構(gòu)建“斜邊長(zhǎng)為5m，一直角邊長(zhǎng)為1m。另一直角邊長(zhǎng)為xm”這一數(shù)學(xué)模型，借助具體圖示，進(jìn)行計(jì)算，得出：x2+52=（x+1）2，進(jìn)而通過(guò)計(jì)算得知旗桿長(zhǎng)度為12米。

二、凸顯對(duì)勾股定理外延的拓展，使其充分作用于實(shí)際問(wèn)題探析

通過(guò)對(duì)勾股定理深度分析發(fā)現(xiàn)，如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿(mǎn)足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。這一結(jié)論便是勾股定理的逆定理，其對(duì)于學(xué)生判別直角三角形有著重要幫助。因此，教師可以通過(guò)對(duì)勾股定理及其逆定理的適當(dāng)拓展，使學(xué)生在利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)思路更加廣闊，思維更加靈活，導(dǎo)向更加寬泛。一方面，可以通過(guò)對(duì)一些特殊勾股定理數(shù)據(jù)、問(wèn)題的總結(jié)與整合，讓學(xué)生在面對(duì)基礎(chǔ)性實(shí)際問(wèn)題時(shí)靈活應(yīng)對(duì)。諸如3，4，5;5，12，13;8，15，17等一些常用勾股數(shù)的識(shí)記;若a2+b2>c2，則△ABC是銳角三角形;若a2+b2

三、確保對(duì)勾股定理特性的發(fā)揮，使其有效體現(xiàn)于實(shí)際問(wèn)題應(yīng)用

勾股定理及其逆定理在表述上比較簡(jiǎn)單，而且較為抽象。但是，其應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題的解決則有著更多要求，更高標(biāo)準(zhǔn)。因此，教師在指導(dǎo)學(xué)生利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，應(yīng)該明確其特點(diǎn)與核心，切忌由于學(xué)生理解不深入、認(rèn)識(shí)不精準(zhǔn)、應(yīng)用不規(guī)范而出現(xiàn)錯(cuò)誤，影響其判斷及分析。一是遇到非直角三角形時(shí)，可以指導(dǎo)學(xué)生利用做輔助線(xiàn)的方式，即時(shí)構(gòu)建直角三角形，進(jìn)行實(shí)際問(wèn)題分析。二是利用勾股定理對(duì)應(yīng)的直角三角形，構(gòu)建對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)方程，在數(shù)形結(jié)合中找尋問(wèn)題解答思路與方向。三是必須明確直角三角形的直角邊與斜邊，切忌因?yàn)榛煜霈F(xiàn)謬誤。四是學(xué)會(huì)對(duì)勾股定理及其逆定理的轉(zhuǎn)換與靈活使用，以避免由于生搬硬套而影響學(xué)生探究與認(rèn)知。隨著學(xué)生對(duì)勾股定理理解、認(rèn)識(shí)、分析的深入，其利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題的能力也會(huì)得到切實(shí)提升與全面增強(qiáng)。

四、結(jié)論

總之，將勾股定理應(yīng)用與實(shí)際問(wèn)題解決，既有利于數(shù)學(xué)教學(xué)效率的提升，又有助于學(xué)生素養(yǎng)的培育，而且也是新課改導(dǎo)向下初中幾何教學(xué)的必然趨勢(shì)。教師在利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題的教學(xué)指導(dǎo)中，應(yīng)該以學(xué)生實(shí)際與教學(xué)需要為基礎(chǔ)，加強(qiáng)對(duì)勾股定理內(nèi)涵的拓展、外延的延伸，并將其與現(xiàn)實(shí)生活緊密關(guān)聯(lián)起來(lái)，以促使學(xué)生在充分學(xué)習(xí)勾股定理、深度利用勾股定理的同時(shí)實(shí)現(xiàn)發(fā)展與提升。同時(shí)，針對(duì)不同學(xué)生之間的差異性與個(gè)性化特點(diǎn)，教師在教學(xué)措施優(yōu)化、教學(xué)方式革新、教學(xué)路徑拓展上也應(yīng)該加強(qiáng)研究與探析，進(jìn)而在確保勾股定理作用得以最大化發(fā)揮的同時(shí)，使其為學(xué)生解決問(wèn)題能力提升，數(shù)學(xué)素養(yǎng)塑造而提供強(qiáng)勁助力，諸如新鮮血液。

參考文獻(xiàn)

[1]周飛玲.淺析勾股定理在生活中的應(yīng)用研究[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2018（22）：136.