親歷“化數(shù)為形”，培養(yǎng)直觀想象能力

許榮

【摘要】數(shù)學(xué)教學(xué)改革注重培養(yǎng)學(xué)生的直覺想象力，發(fā)展學(xué)生思維，開闊智慧，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。而“化數(shù)為形”作為直觀想象的基礎(chǔ)，這就要求我們在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要重視“化數(shù)為形”，堅(jiān)實(shí)直觀想象的思維基礎(chǔ);讓學(xué)生親歷“化數(shù)為形”，積累直觀想象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn);要強(qiáng)化“化數(shù)為形”，培養(yǎng)直觀想象的核心能力，從而能更好地培養(yǎng)直觀想象這種數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué);化數(shù)為形;直觀想象

“直觀想象”是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一。 雖然小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中沒有“直覺想象”的定義，但對小學(xué)數(shù)學(xué)中許多問題的表述和分析，充分體現(xiàn)了“直覺想象”的作用和價(jià)值?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：直覺想象就是借助幾何直觀圖形和空間想象來感知事物的形態(tài)和變化，利用圖形來理解和解決數(shù)學(xué)問題的過程。主要包括：借助圖形理解事物的位置關(guān)系、形狀變化和運(yùn)動(dòng)規(guī)律，借助圖形分析和解決數(shù)學(xué)問題，從而建立數(shù)與形之間的內(nèi)在關(guān)系。直覺想象不僅是發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的重要手段，而且是建立數(shù)學(xué)問題可視化模型、探索解決問題的簡單途徑的重要手段。 這說明圖形是培養(yǎng)學(xué)生直覺想象力的重要載體。因此，讓學(xué)生體驗(yàn)“化數(shù)為形”，運(yùn)用好“數(shù)變形”策略，培養(yǎng)學(xué)生的直覺想象能力，具有重要意義。

一、重視“化數(shù)為形”，堅(jiān)實(shí)直觀想象的思維基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)家克萊因指出：“數(shù)學(xué)不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直觀上，數(shù)學(xué)的直觀就是對概念、證明的直接把握?！苯柚庇^想象，可以將復(fù)雜抽象的數(shù)學(xué)問題簡化和形象化，有助于探索問題的解決策略和預(yù)測結(jié)果。而小學(xué)生正處于從形象思維向抽象思維的過度階段，形象思維占優(yōu)勢，空間想象還比較弱。因此，讓學(xué)生親歷“化數(shù)為形”，初步感知直觀想象，還是十分有必要的。

1.重視“化數(shù)為形”——感知模糊變?yōu)榍逦?/p>

學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展大致經(jīng)歷了三個(gè)階段：動(dòng)作感知——表征形成——概念確立。在小學(xué)階段，“化數(shù)為形”是符合這一規(guī)律的，抽象思維對象是“圖形化”的。首先，通過簡單的圖表（圖形直觀、簡潔）讓學(xué)生體驗(yàn)。例如在教學(xué)五年級“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識”時(shí)，通過簡單的圖畫一畫、圈一圈的方法感受“分?jǐn)?shù)”“平均分”的含義，認(rèn)識了。 運(yùn)用這種直觀的教學(xué)方法，借助圖形，可以被清晰地解釋為：把一個(gè)整體平均分為四個(gè)部分，表示有三個(gè)這樣的部分，也就是。 模糊的“分?jǐn)?shù)”與具體的形相結(jié)合，學(xué)生就能直觀感受到“化數(shù)為形”的重要作用，為直觀想象意識的培養(yǎng)助力。

2.重視“化數(shù)為形”——體驗(yàn)抽象變?yōu)榫唧w

數(shù)學(xué)家華羅庚對“數(shù)”與“形”有過非常精辟的刻畫：形使數(shù)更直觀，數(shù)使形更入微。 數(shù)形結(jié)合作為一種重要的思想方法， 是把數(shù)學(xué)問題中的運(yùn)算、數(shù)量關(guān)系等與幾何圖形和圖像結(jié)合起來思考，從而使“數(shù)”與“形”優(yōu)勢互補(bǔ)，展現(xiàn)邏輯思維與形象思維的完美統(tǒng)一。如在六年級“聯(lián)絡(luò)方式”教學(xué)時(shí)，讓學(xué)生嘗試：你能畫圖表示出聯(lián)絡(luò)方式嗎？

學(xué)生從對簡單圖形的感知逐漸滲透，用“形”來描述和解釋數(shù)學(xué)知識，感受直覺想象的價(jià)值，滲透直覺想象的意識。

二、親歷“化數(shù)為形”，積累直觀想象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

直觀想象能力的培養(yǎng)不是一蹴而就的，必須經(jīng)過長期的、有意識的訓(xùn)練。在小學(xué)階段，學(xué)生直觀想象能力比較弱，進(jìn)行直觀想象的起點(diǎn)較低，常要借助生活中的情境才行。并且在小學(xué)教學(xué)中也往往也忽略了直觀想象的訓(xùn)練。所以在教學(xué)中，我們要善于創(chuàng)設(shè)情境，創(chuàng)造機(jī)會(huì)讓學(xué)生親歷親歷“化數(shù)為形”，讓學(xué)生積累直觀想象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

1.創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生親歷“化數(shù)為形”

有一些問題看起來與生活的關(guān)系非常密切，但是還是缺乏具體的“形”，小學(xué)生學(xué)習(xí)這些問題時(shí)還存在比較大的困難。他們往往還需要一定的情境重現(xiàn)，才能“化數(shù)為形”，展開直觀想象，進(jìn)行推理分析、抽象概括等學(xué)習(xí)活動(dòng);才能更好地讓學(xué)生掌握知識技能，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟基本數(shù)學(xué)思想。

例如，教學(xué)比賽場次時(shí)，先讓四位學(xué)生模擬乒乓比賽情境，讓學(xué)生獲得豐富的感性材料后，再用圖形來描述比賽情形與場次。在這個(gè)過程中，讓學(xué)生親身經(jīng)歷用點(diǎn)表示參賽的隊(duì)員，用兩點(diǎn)之間的連線表示比賽場次，通過數(shù)連線的方法來探索解決問題的策略。

通過畫圖，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)簡單情境中蘊(yùn)含的規(guī)律，體驗(yàn)畫圖的簡潔性和有效性，把抽象的數(shù)學(xué)知識與形象的圖形結(jié)合起來，就可以把復(fù)雜的問題簡單化，抽象問題形象化。同時(shí)學(xué)生也不單經(jīng)歷觀察、猜測、抽象、概括的過程，還經(jīng)歷了直觀想象、 推理解釋的過程。讓學(xué)生掌握知識技能，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟基本數(shù)學(xué)思想，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。

2.創(chuàng)造機(jī)會(huì)，讓學(xué)生親歷“化數(shù)為形”

很多數(shù)學(xué)問題都是以文字的形式呈現(xiàn)，語言表達(dá)相對簡單枯燥，這使得他們往往無法理解題目的意義，直覺想象也沒有起點(diǎn)，因此學(xué)生很少有機(jī)會(huì)進(jìn)行直覺想象。根據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)，滲透“化數(shù)為形”的思維方法，讓學(xué)生自己在紙上涂涂畫畫。借助直觀的圖形，將抽象的數(shù)學(xué)問題具體化，還原問題的真實(shí)本質(zhì)，讓孩子能弄懂問題的含義，拓展學(xué)生解題的思維，幫助他們找到解決問題的鑰匙，提高學(xué)生解題問題的能力。與此同時(shí)，也不斷地積累了活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟了數(shù)形結(jié)合的思想，提高直觀想象的能力。

比如，在教學(xué)“雞兔同籠” 問題時(shí)，筆者充分運(yùn)用“化數(shù)為形”的方法來幫助學(xué)生探索解決問題的策略。“雞兔同籠共有10個(gè)頭，32 條腿， 問雞兔各有幾只？”出示問題后， 筆者先讓學(xué)生獨(dú)立思考，嘗試解答。然而在巡視中發(fā)現(xiàn)，有一部分學(xué)生無從下筆。但在討論交流的時(shí)候，筆者也發(fā)現(xiàn)了一位學(xué)生用畫圖的方法來探索。于是，筆者讓他做匯報(bào)：先用10個(gè)圓表示動(dòng)物的頭，用線表示腿。假設(shè)全部都是雞，一共有 20 條腿，但還有12（32-20=12）條腿沒畫出來。然后把沒畫出來的腿再添上，每只再添2條腿，還得添6（12÷2=6）只，這樣就可得出兔子有6只， 雞有 4 只。

這時(shí)，筆者趁熱打鐵，“假設(shè)全部是兔子，能不能也用畫圖的方法來解決？” 學(xué)生們迫不及待地拿起筆畫畫寫寫，然后很快就有了答案。在這個(gè)過程中，通過“化數(shù)為形”的方法把看似抽象的問題形象化，使問題的解決變得簡單、容易，這樣既保護(hù)了學(xué)生的學(xué)習(xí)信心，又激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還積累了直觀想象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。同時(shí)也讓學(xué)生獲得數(shù)形結(jié)合的思想，提高了直觀想象能力。

三、強(qiáng)化“化數(shù)為形”，培養(yǎng)直觀想象的核心能力

直觀想象是創(chuàng)造性思維能力的重要體現(xiàn)，很多數(shù)學(xué)問題的解決，其靈感往往來源于我們的直觀想象。讓學(xué)生親歷親歷“化數(shù)為形”，進(jìn)行直觀想象可加強(qiáng)對數(shù)學(xué)信息及其數(shù)量關(guān)系的理解，從整體上把握問題，獲得有效的解題策略。

1.以形促聯(lián)，直觀解決難題

斯蒂恩說：“如果一個(gè)特定的問題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖像，那么就整體地把握了問題?！?此時(shí)，在解題的過程中，提倡數(shù)與形的結(jié)合，促進(jìn)量與形的關(guān)系，從形式上簡化問題，建立已知條件與待解決問題之間的邏輯關(guān)系，是非常重要的。例如，“A、B兩輛汽車同時(shí)從甲乙兩城相對開出，A車的速度是64千米/時(shí)，B車的速度是58 千米/時(shí)。兩車在途中距離中點(diǎn) 32 千米的地方相遇。求甲乙兩城的距離?！睂W(xué)生在解決這樣的行程問題時(shí)，往往弄不清數(shù)量之間的關(guān)系，無法找到思考點(diǎn)，難度大，出錯(cuò)率高。為了解決這類問題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生形成“化數(shù)為形”的意識，主動(dòng)畫線圖，通過“形”促進(jìn)聯(lián)系。學(xué)生在畫圖時(shí)，借助于“形”，問題就容易解決了。

利用線段圖幫助學(xué)生把抽象的數(shù)學(xué)問題形象化、具體化，讓學(xué)生洞察到了相遇時(shí)AB兩車所行的路程差是： 32×2=64（千米 ）;然后組織學(xué)生討論交流、合作探究：為什么A車比B 車多行了64千米？學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)了它們的速度差是：64-48=58（千米），只要用路程差÷速度差就可求出相遇時(shí)間，然后用速度和×相遇時(shí)間就兩城的距離了。所以當(dāng)學(xué)生在解決問題中卡住時(shí)，我們要根據(jù)情境引導(dǎo)學(xué)生借助“化數(shù)為形”的方法來思考，通過具體的“形”，讓學(xué)生把問題具體化、直觀化，使他們能夠理解問題的含義，分析數(shù)量關(guān)系，從而找到解決問題的契機(jī)，從而形成自己的解題思路。在“化數(shù)為形”中，學(xué)生經(jīng)歷了從文字到圖形、從圖形到思維、從“外顯”到“內(nèi)化”的轉(zhuǎn)變。在運(yùn)用“形”解決問題的過程中，學(xué)生認(rèn)識到了學(xué)習(xí)方法，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)策略，體驗(yàn)了“形”所包含的數(shù)與形的組合、對應(yīng)和變換的數(shù)學(xué)思想，發(fā)展了學(xué)生的直觀想象思維，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

2.借形思法，頓悟創(chuàng)造性想象推理

借助視覺想象，學(xué)生可以進(jìn)行推理和推理，從而得出解決問題的一般思路。當(dāng)學(xué)生的直覺想象能力發(fā)展到一定水平時(shí)，學(xué)生也可以找到一條新的途徑，直觀地實(shí)現(xiàn)一些有創(chuàng)意的方法，形成創(chuàng)造性的解決方案。

如，教學(xué)“長方體和正方體的認(rèn)識”時(shí)，學(xué)生提出了這樣的一個(gè)問題：一個(gè)長寬都是5分米方體水箱裝了50升的水，已知水箱高度是水面高度的3倍，這個(gè)水箱還能盛水多少升？于是，筆者引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意畫出直觀圖，并標(biāo)出相關(guān)數(shù)據(jù)：

大部分學(xué)生能找到一般的思路和方法“水箱的容積-水的體積”，用50÷（5×5）×3×5×5-50=100（升）。但也有個(gè)別學(xué)生從圖中可以直接求出空白部分的體積，創(chuàng)造性地用50×2=100（升），這說明學(xué)生積累了一定的“化數(shù)為形”經(jīng)驗(yàn)之后，已經(jīng)能熟練地進(jìn)行直觀想象，借形思法，頓悟創(chuàng)造性想象推理。

總之，讓學(xué)生親歷“化數(shù)為形”是培養(yǎng)直觀想象能力的有效途徑。 所以我們在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，要充分挖掘教材能體現(xiàn)“化數(shù)為形”思想的內(nèi)容，幫助學(xué)生養(yǎng)成“化數(shù)為形”意識，逐步培養(yǎng)他們運(yùn)用直觀想象來描述和分析問題的能力，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

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