引領(lǐng)小學(xué)生品味“哥德巴赫猜想”的途徑

【摘要】本文論述教師在數(shù)學(xué)文化視角下，引領(lǐng)小學(xué)生品味人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級下冊教材“你知道嗎？”欄目中的“哥德巴赫猜想”的途徑，認(rèn)為教師可以通過趣味游戲引入教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想，讓學(xué)生感悟發(fā)現(xiàn)規(guī)律的一般方法，運(yùn)用數(shù)學(xué)家的故事激發(fā)學(xué)生發(fā)憤圖強(qiáng)、刻苦學(xué)習(xí)。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué) 哥德巴赫猜想 數(shù)學(xué)文化

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2020）29-0118-03

“哥德巴赫猜想”是人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級下冊教材“你知道嗎？”欄目的一個(gè)數(shù)學(xué)文化內(nèi)容。如果教師只按課文文本來品讀“哥德巴赫猜想”，會(huì)導(dǎo)致教學(xué)停留在表層，未能突顯教材編寫意圖。筆者認(rèn)為，教師應(yīng)該從數(shù)學(xué)文化的視角引領(lǐng)學(xué)生去品味“哥德巴赫猜想”中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)精神，讓學(xué)生修養(yǎng)品德、提升思維、培養(yǎng)精神和陶冶性情。

一、教材分析與學(xué)情分析

數(shù)學(xué)文化能起到教養(yǎng)品德、提升思維、培養(yǎng)精神和陶冶性情的作用。我們把數(shù)學(xué)當(dāng)作“日常生活的工具”，關(guān)注數(shù)學(xué)對人類物質(zhì)生活所帶來的影響;把數(shù)學(xué)當(dāng)作“思維的體操”，重視數(shù)學(xué)文化對人的思維方式的影響;我們把數(shù)學(xué)當(dāng)作“科學(xué)精神”，重視數(shù)學(xué)對人類精神方面產(chǎn)生的巨大作用，特別強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)文化對人類精神生活的重大影響。齊民友先生認(rèn)為，數(shù)學(xué)精神是“徹底的理性探索精神”，培養(yǎng)科學(xué)精神是中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂的靈魂。

“哥德巴赫猜想”是小學(xué)五年級“因數(shù)與倍數(shù)”單元末尾的內(nèi)容，學(xué)生已經(jīng)能正確分辨質(zhì)數(shù)、合數(shù)，對于學(xué)習(xí)“哥德巴赫猜想”有一定的知識(shí)與技能基礎(chǔ);人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材設(shè)置了“找規(guī)律”的內(nèi)容，五年級的學(xué)生已經(jīng)初步具有通過“觀察歸納”找規(guī)律的能力和經(jīng)驗(yàn)，也能感悟到從特殊到一般的“歸納思想”，知道“歸納”是一種合情推理，數(shù)學(xué)結(jié)論的真理性必須經(jīng)受極為嚴(yán)格的邏輯和實(shí)踐的雙重檢驗(yàn)。

我們從表層知識(shí)（基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能）、深層知識(shí)（數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法）和數(shù)學(xué)文化（數(shù)學(xué)學(xué)科精神等）三個(gè)方面來閱讀教材中的“哥德巴赫猜想”文本，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下。

（一）經(jīng)歷“哥德巴赫猜想”的發(fā)現(xiàn)過程，理解“哥德巴赫猜想”的具體內(nèi)容，感悟從特殊到一般的歸納推理思想，學(xué)會(huì)用“觀察歸納”找數(shù)學(xué)規(guī)律。

（二）沿著數(shù)學(xué)家探索“哥德巴赫猜想”的歷史足跡，培養(yǎng)“理性探索”和“嚴(yán)謹(jǐn)求真”的數(shù)學(xué)精神。

（三）了解陳景潤甘于清貧、耐受寂寞，醉心科學(xué)探索、執(zhí)著追求真理，在逆境中忘我鉆研，勇攀科學(xué)高峰的精神，形成發(fā)憤圖強(qiáng)、艱苦攻堅(jiān)、科學(xué)報(bào)國的意愿。

（四）了解中國數(shù)學(xué)家在探索“哥德巴赫猜想”中取得的享譽(yù)世界的成就，增強(qiáng)民族自豪感和愛國主義情感。

教學(xué)重點(diǎn)：感悟和發(fā)現(xiàn)“哥德巴赫猜想”的“觀察歸納”方法;培養(yǎng)“理性探索”和“嚴(yán)謹(jǐn)求真”的數(shù)學(xué)科學(xué)精神。

教學(xué)難點(diǎn)：感悟數(shù)學(xué)思想和方法，理解“哥德巴赫猜想”是世界著名難題。

二、教學(xué)過程

（一）趣味游戲，觀察猜想

教師通過一個(gè)小游戲引入課堂主題，游戲規(guī)則：兩人一組，一人給出大于2的偶數(shù)，另一人找出和為這個(gè)偶數(shù)的兩個(gè)質(zhì)數(shù)。（如圖2）

設(shè)計(jì)意圖：好奇是興趣的開始，興趣是最好的老師。通過游戲引入新課，符合小學(xué)五年級學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，能讓學(xué)生將注意力快速轉(zhuǎn)移到課堂學(xué)習(xí)中。

師：在剛才的游戲中，我們列出了很多等式。10=3+7，28=11+17，12=7+5，100=3+97，18=7+11，36=7+29……觀察這些等式，它們有哪些共同的特點(diǎn)？

（預(yù)設(shè)：等式左邊是偶數(shù)，等式右邊是兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和）

師（問題1）：你能從這些等式中發(fā)現(xiàn)什么“規(guī)律”？如何表達(dá)？

（師生共同概括規(guī)律：每個(gè)大于2的偶數(shù)都可以表示成兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和）

師：270多年前，哥德巴赫憑借著對數(shù)學(xué)敏銳的洞察力，最早從這些等式中間歸納發(fā)現(xiàn)了這一規(guī)律，因此人們把這一規(guī)律稱作哥德巴赫猜想。它還被高斯譽(yù)為“數(shù)學(xué)皇冠上的明珠”。

師：很多人曾經(jīng)被忽悠說證明哥德巴赫猜想就是要證明“1+1=2”，更過分的是很多人就相信了，老師曾經(jīng)也信了?，F(xiàn)在你學(xué)習(xí)了“哥德巴赫猜想”，你還會(huì)被忽悠嗎？

師（問題2）：“1+1”是什么？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生用觀察歸納的方法厘清事實(shí)、概括經(jīng)驗(yàn)、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，學(xué)生開始了探索數(shù)學(xué)規(guī)律的過程。

（二）感悟思想，掌握方法

師（問題3）：在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常有找規(guī)律的活動(dòng)，我們經(jīng)常使用的方法有哪些？

（預(yù)設(shè)：觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比、直覺等）

師（問題4）：發(fā)現(xiàn)哥德巴赫猜想也是在“找規(guī)律”，我們所使用的數(shù)學(xué)思想方法是哪一種？

（預(yù)設(shè)：觀察歸納）

師：著名數(shù)學(xué)家歐拉告訴我們一個(gè)秘訣——數(shù)學(xué)結(jié)論是靠觀察得來的。觀察歸納是小學(xué)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“找規(guī)律”活動(dòng)中最常用的方法。

師（感悟）：我們在學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的過程中，要學(xué)會(huì)觀察、學(xué)會(huì)歸納，掌握數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的藝術(shù)。“沒有大膽的猜想，就沒有偉大的發(fā)現(xiàn)”。

事物的普遍性往往寓于事物的特殊性之中。歸納是從特殊到一般的推理思想，也是邏輯推理方法，其一般形式如圖4所示。我們是從一些特殊事例中，通過觀察歸納得到了一個(gè)普遍規(guī)律性的結(jié)論。教師可以通過具體的故事讓學(xué)生對此產(chǎn)生直觀的感受。

師：我們來聽一個(gè)小故事。水果店有一筐果子，一位顧客品嘗第一顆果子是甜的，嘗的第二顆果子也是甜的，又嘗了第三顆果子還是甜的，就下結(jié)論說這框果子都是甜的，把它全買回去了。很遺憾，這位顧客回去后發(fā)現(xiàn)有一些果子不甜，而且很酸。

師（問題5）：你從這個(gè)故事中受到什么啟發(fā)？有些什么感悟？

（預(yù)設(shè)：這位顧客用歸納的方法得到了結(jié)論;由歸納得到的結(jié)論只能算是一個(gè)猜想，可能是正確的，也可能是錯(cuò)誤的）

師（感悟）：我們發(fā)現(xiàn)一個(gè)規(guī)律后，還需要弄清其真?zhèn)?。也就是說，我們還必須要做兩件事，第一件事是再繼續(xù)研究一系列的特例，或許能找到一個(gè)使結(jié)論不成立的反例，從而推翻我們之前的猜想，又或許在更多的特殊情況中該猜想仍被證實(shí)，猜想就變得更加可靠。但是“更加可靠”還不是“一定可靠”，仍需要去證明，所以我們要做的第二件事就是進(jìn)行嚴(yán)密的推理論證，證明發(fā)現(xiàn)的猜想是真理，從而形成結(jié)論。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)之道在于“悟”，“悟”是學(xué)習(xí)的一種較高境界。教師通過數(shù)學(xué)家的故事以及日常生活中買果子的故事，讓學(xué)生在聽故事的過程中“悟”出方法，在學(xué)習(xí)過程中主動(dòng)領(lǐng)會(huì)，內(nèi)化吸收。

（三）理性探索，嚴(yán)謹(jǐn)求真

師（問題6）：為什么一個(gè)小學(xué)生能發(fā)現(xiàn)也能明白的“哥德巴赫猜想”成了數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一座可望而不可及的高峰，成為世界上著名的數(shù)學(xué)難題？它到底難在哪里？

師：哥德巴赫在提出猜想后也應(yīng)該做這兩件事，要么證明它，要么找個(gè)反例推翻它。但是哥德巴赫經(jīng)過了長時(shí)間的努力都沒有成功證明這一猜想，于是他又驗(yàn)證了很多偶數(shù)，發(fā)現(xiàn)猜想也都成立，沒能成功找到反例推翻猜想。他覺得很困難，于是給他的好友歐拉寫信求助。歐拉在回信中說，“我相信這個(gè)猜想是真的，但我也無法證明它”。著名的數(shù)學(xué)家歐拉都沒有辦法證明這一猜想，該猜想立馬引起了各國數(shù)學(xué)家的注意。此后，數(shù)學(xué)家們爭先恐后地研究這一猜想。我們來了解一下數(shù)學(xué)家們探究“哥德巴赫猜想”的歷史足跡吧。（如圖5）

師：270多年過去了，許多數(shù)學(xué)家企圖證明這個(gè)猜想，但是直到今天為止也沒有人成功。于是，有人稱哥德巴赫猜想是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一座可望而不可及的高峰。

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家身上“理性探索”“嚴(yán)謹(jǐn)求真”的數(shù)學(xué)精神，明確數(shù)學(xué)結(jié)論必須經(jīng)受極為嚴(yán)格的邏輯和實(shí)踐的雙重檢驗(yàn)。在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，要養(yǎng)成良好的“說理”習(xí)慣，發(fā)展理性思維，鑄就“追求真理”的精神。

（四）精神偶像，時(shí)代典范

師：20世紀(jì)50年代以來，我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚、王元、陳景潤等在證明“哥德巴赫猜想”方面做了很多努力，取得了非凡的成就，享譽(yù)世界，這是中國數(shù)學(xué)的驕傲。1973年，我國數(shù)學(xué)家陳景潤證明了“1+2”，即“一個(gè)大的偶數(shù)=1個(gè)質(zhì)數(shù)+不超過2個(gè)質(zhì)因數(shù)的乘積”，引起世界巨大轟動(dòng)，這個(gè)結(jié)果距離哥德巴赫猜想的最后解決只有一步之遙，陳景潤的這一成果至今仍在“哥德巴赫猜想”研究中處于世界領(lǐng)先水平。

徐遲的《哥德巴赫猜想》一文詳細(xì)描述了陳景潤餐霜飲雪、踏破鐵鞋、無盡攀登的故事。陳景潤白天在圖書館的小書庫一角，夜晚在小房間煤油燈底下，潛心鉆研，光是計(jì)算的草紙就足足裝了幾麻袋。經(jīng)過10多年的推算，在1973年，《中國科學(xué)》發(fā)表了他的論文《大偶數(shù)表示一個(gè)素?cái)?shù)及一個(gè)不超過2個(gè)素?cái)?shù)的乘積之和》，取得享譽(yù)世界的輝煌成就。一夜之間，陳景潤家喻戶曉，成了那個(gè)時(shí)代的精神偶像。2018年，陳景潤入選100位改革開放杰出貢獻(xiàn)人員名單，被譽(yù)為“激勵(lì)青年勇攀科學(xué)高峰的典范”。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生了解中國數(shù)學(xué)家在探索“哥德巴赫猜想”中取得的享譽(yù)世界的成就，增強(qiáng)民族自豪感和愛國主義情感。我們?nèi)缃袢匀恍枰惥皾櫋案视谇遑?、耐受寂寞，醉心科學(xué)探索、執(zhí)著追求真理，在逆境中忘我鉆研，勇攀科學(xué)高峰”的精神，教師以此激勵(lì)學(xué)生發(fā)憤圖強(qiáng)、艱苦攻堅(jiān)、科學(xué)報(bào)國。

學(xué)習(xí)“哥德巴赫猜想”后，學(xué)生認(rèn)識(shí)到，體會(huì)觀察、歸納是尋找數(shù)學(xué)規(guī)律的最常用的方法;通過了解“哥德巴赫猜想”的歷史足跡，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家身上“理性探索”“嚴(yán)謹(jǐn)求真”的數(shù)學(xué)精神;了解我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚、王元、陳景潤等在探索“哥德巴赫猜想”方面取得的非凡成就，增強(qiáng)民族自豪感;“激勵(lì)青年勇攀科學(xué)高峰的典范”陳景潤精神激勵(lì)學(xué)生發(fā)憤圖強(qiáng)、刻苦學(xué)習(xí)，報(bào)效祖國。教師從數(shù)學(xué)文化的視角出發(fā)，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)精神，符合發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的教學(xué)要求。

注：本文系桂林師范高等?？茖W(xué)校第一批“課程思政”教育教學(xué)改革示范課程“高等數(shù)學(xué)與小學(xué)數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)”（JG201910）的研究成果。

作者簡介：李織蘭（1967— ），女，廣西百色人，副研究館員，研究方向?yàn)榻逃芾怼?shù)學(xué)教學(xué)、圖書館學(xué)。

（責(zé)編 劉小瑗）