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    分?jǐn)?shù)階非線性方程精確解的新方法

    2015-04-14 10:41:32閆立梅劉艷芹
    關(guān)鍵詞:將式行波情形

    閆立梅,劉艷芹

    德州學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東 德州 253023

    1 引言

    目前,分?jǐn)?shù)階微分方程已經(jīng)廣泛地應(yīng)用到流體力學(xué)、生物醫(yī)藥、固態(tài)物理等工程領(lǐng)域[1-4]。尋找分?jǐn)?shù)階非線性發(fā)展方程的解析解或者精確解一直以來(lái)是數(shù)學(xué)工作者的重要研究課題,得到了一些求解分?jǐn)?shù)階非線性方程的解析和數(shù)值方法,其中包括分?jǐn)?shù)階微分變換法[5-6],分?jǐn)?shù)階Adomian分解方法[7],分?jǐn)?shù)階同倫擾動(dòng)法[8-10],迭代Laplace變換方法[11-12],分?jǐn)?shù)階子方程方法[13-14]等。但這些方法大多是求解分?jǐn)?shù)階非線性方程的近似解,而且存在著各自的缺點(diǎn)。本文將分?jǐn)?shù)階復(fù)變換方法[15]與(G′/G)方法[16]相結(jié)合,得到了求解分?jǐn)?shù)階非線性方程精確解的一種輔助方程新方法,該方法簡(jiǎn)單有效。文中的分?jǐn)?shù)階微分算子是Jumarie的修正Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)[17]。

    其中,Γ(·)為Gamma函數(shù),定義為:

    Jumarie的修正Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)具有如下性質(zhì):

    2 方法簡(jiǎn)介

    考慮如下時(shí)空分?jǐn)?shù)階微分方程

    作分?jǐn)?shù)階復(fù)變換:

    其中c為常數(shù),當(dāng)α=β=1時(shí)式(5)就是通常的行波變換。在式(5)的作用下,式(4)變?yōu)椋?/p>

    假設(shè)式(6)的解u可以表示為G′/G的形式:

    其中G=G(ξ)滿足方程

    am,…,a0是待定的常數(shù),am≠0。正整數(shù)m通過(guò)式(6)中的最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和非線性項(xiàng)來(lái)確定。

    將式(7)及式(8)帶入式(6),比較G′/G的系數(shù),得到一組關(guān)于am,…,a0的代數(shù)方程,借助于軟件Mathematica的符號(hào)計(jì)算功能及式(8)的解,得到原方程式(4)的解。

    式(8)的解如下[16]:

    情形1 若λ2-4μ>0,則

    情形2 若λ2-4μ<0,則

    情形3 若λ2-4μ=0,則

    3 數(shù)值例子

    考慮如下時(shí)空分?jǐn)?shù)階Calogero KDV方程:

    對(duì)式(12)作復(fù)變換式(5),得到

    平衡式(13)中的最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和非線性項(xiàng),假設(shè)式(13)的解為:

    將式(14)及式(8)帶入式(13),比較G′/G的系數(shù),得到一組關(guān)于a0,a1,a2的方程,借助于 Mathematica的計(jì)算功能,得到a0,a1,a2的兩組解:

    這樣,得到時(shí)空分?jǐn)?shù)階Calogero KDV方程各種情形下的解:

    (I)

    情形1 當(dāng)λ2-4μ>0時(shí)

    情形2 當(dāng)λ2-4μ<0時(shí)

    情形3 當(dāng)λ2-4μ=0時(shí)

    類(lèi)似地,可以得到(II)時(shí)方程(12)的各種解,為簡(jiǎn)單起見(jiàn),不再贅述。

    4 結(jié)果和討論

    將分?jǐn)?shù)階復(fù)變換方法和G′/G方法相結(jié)合,得到了求解分?jǐn)?shù)階非線性方程精確解的一種新方法。當(dāng)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)α=β=1時(shí),所得到的精確解就是通常的行波解。數(shù)值例子表明,該方法簡(jiǎn)單有效,能夠用來(lái)求解一般的分?jǐn)?shù)階非線性方程。

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