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    應(yīng)用螢火蟲算法求解基于學(xué)習(xí)效應(yīng)的PFSP 問題

    2015-04-17 02:46:30葉春明凌遠(yuǎn)雄
    關(guān)鍵詞:螢火蟲亮度工件

    杜 貞,葉春明,凌遠(yuǎn)雄

    DU Zhen,YE Chunming,LING Yuanxiong

    上海理工大學(xué) 管理學(xué)院,上海200093

    Department of Management,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China

    1 引言

    置換流水車間調(diào)度問題(Permutation Flow-shop Scheduling Problem,PFSP)是實(shí)際生產(chǎn)車間中一類重要的流水車間調(diào)度問題,尤其適用于單件大批量生產(chǎn)背景的制造型企業(yè)。該問題可以被描述為:n個(gè)工件在m臺(tái)不同的機(jī)器上加工,每個(gè)工件有m道不同的工序,每道工序要在不同的機(jī)器上加工完成;n個(gè)工件通過m臺(tái)機(jī)器的順序相同,它們在每臺(tái)機(jī)器上的加工順序也相同;每臺(tái)機(jī)器每次只能加工一個(gè)工件,每個(gè)工件每次只能由一臺(tái)機(jī)器加工;已知每個(gè)工件在每臺(tái)機(jī)器上的加工時(shí)間;求解的目標(biāo)是確定最優(yōu)加工順序,使得按照該順序加工工件時(shí)總完工時(shí)間最小。

    對(duì)PFSP 的求解方法,可以分為三種類型:精確方法、啟發(fā)式算法以及智能優(yōu)化算法。研究表明,精確算法只適用于小規(guī)模問題的求解,啟發(fā)式算法求解質(zhì)量較差[1],而當(dāng)m>2 時(shí),PFSP 問題已是NP 難題[2],因此隨著問題規(guī)模的增加,調(diào)度問題的解空間容量巨大,其求解過程更加復(fù)雜。由于精確方法和啟發(fā)式算法的局限性,目前對(duì)該問題的求解方法趨向于使用更高效的智能優(yōu)化算法,包括遺傳算法、禁忌搜索算法、模擬退火法、蟻群優(yōu)化算法以及粒子群算法等[3]。本文采用的螢火蟲算法[4-5]是一種比較新穎的算法,在生產(chǎn)調(diào)度方面的研究剛剛起步,但也取得了一些成果:文獻(xiàn)[6-8]分別應(yīng)用該算法求解PFSP 和Job-shop 調(diào)度問題,通過對(duì)PFSP 中的典型Car 類測試問題和Job-shop 調(diào)度問題的FT、LA 兩類測試問題進(jìn)行仿真測試,并將結(jié)果與粒子群等算法的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,驗(yàn)證了算法的可行性和有效性。

    在經(jīng)典的排序理論中,工件的加工時(shí)間都沒有考慮與工件的加工位置的關(guān)系。然而,在一些實(shí)際排序問題中,由于工人或機(jī)器在長時(shí)間加工相同或類似的工件時(shí),加工效率可能會(huì)逐漸提高,從而使后加工的工件的加工時(shí)間變小,這種現(xiàn)象被稱為具有學(xué)習(xí)效應(yīng)[9]。學(xué)習(xí)效應(yīng)在生產(chǎn)中的影響最早是由Wright[10]提出的,之后國內(nèi)外很多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了研究,研究發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)行業(yè)存在學(xué)習(xí)效應(yīng),且由于環(huán)境、工藝、工序、生產(chǎn)設(shè)備等因素的差異,不同的行業(yè)學(xué)習(xí)率有所不同。相關(guān)學(xué)者對(duì)將學(xué)習(xí)效應(yīng)應(yīng)用到工件排序問題中進(jìn)行了研究,其中孫林輝等[9]對(duì)工件具有學(xué)習(xí)效應(yīng)的2 臺(tái)機(jī)器流水作業(yè)排序問題進(jìn)行了研究,給出了問題的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型,同時(shí)對(duì)大規(guī)模問題給出3 個(gè)啟發(fā)式算法并驗(yàn)證了這3 個(gè)算法解決所研究問題具有有效性;張新功[11]對(duì)具有學(xué)習(xí)效應(yīng)的最小化總完工時(shí)間的重新排序問題進(jìn)行了研究,對(duì)于最大序列錯(cuò)位、總序列錯(cuò)位和最大時(shí)間錯(cuò)位下的最小化總完工時(shí)間問題給出了多項(xiàng)式時(shí)間算法,對(duì)于總時(shí)間錯(cuò)位下的最小化總完工時(shí)間問題提出了動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法,并證明這個(gè)算法是擬多項(xiàng)式時(shí)間的。

    本文結(jié)合生產(chǎn)實(shí)際情況,將學(xué)習(xí)效應(yīng)模型加入到PFSP 中,建立基于學(xué)習(xí)效應(yīng)的PFSP 模型,應(yīng)用螢火蟲算法進(jìn)行模型的求解,并將不同學(xué)習(xí)率下對(duì)應(yīng)的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,找出差距,為制造企業(yè)提供理論依據(jù)。

    2 數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建

    2.1 學(xué)習(xí)效應(yīng)模型

    本文采用Biskup[12]提出的一種與工件的加工位置有關(guān)的學(xué)習(xí)效應(yīng)模型:Pjr=Pj·ra,j,r=1,2,…,n,其中,a≤0 是學(xué)習(xí)效應(yīng)因子,a=lgl/lg 2,l為學(xué)習(xí)率;Pj和Pjr分別為工件的基本加工時(shí)間和實(shí)際加工時(shí)間;r為工件的加工位置。

    2.2 基于學(xué)習(xí)效應(yīng)的PFSP 模型

    假設(shè)有n個(gè)工件在m臺(tái)機(jī)器上加工;工件的待加工序列為π(r1,r2,…,rn),其中ri表示排序中第i個(gè)位置上待加工工件對(duì)應(yīng)的工件編號(hào);編號(hào)為ri的工件在機(jī)器j上的正常加工時(shí)間為P(ri,j)(i=1,2,…,n;j=1,2,…,m),若每個(gè)機(jī)器有相同的學(xué)習(xí)率,則其實(shí)際加工時(shí)間為P(ri,j)·ia,其中a為學(xué)習(xí)效應(yīng)因子;C(ri,j)是編號(hào)為ri的工件在機(jī)器j上的完工時(shí)間;目標(biāo)函數(shù)是最小化最大完工時(shí)間(Makespan)。則基于學(xué)習(xí)效應(yīng)的置換流水車間調(diào)度問題的模型為:

    目標(biāo)函數(shù):

    3 螢火蟲算法

    3.1 算法原理

    自然界的螢火蟲具有發(fā)光的特性。它們在晚上群聚時(shí),通過散發(fā)熒光素來實(shí)現(xiàn)求偶、照明、警戒等信息交流活動(dòng)。螢火蟲算法就是模擬螢火蟲的這一特性產(chǎn)生的。在螢火蟲算法中,每只螢火蟲被看做解空間的一個(gè)解,螢火蟲種群作為初始解隨機(jī)分布在目標(biāo)函數(shù)的定義空間內(nèi)。通過該算法中包含的亮度這一要素,將螢火蟲在解空間中的位置與目標(biāo)函數(shù)值對(duì)應(yīng)起來:螢火蟲越亮表示它所在的位置越好,即它所對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值越優(yōu),從而能夠吸引亮度低的螢火蟲向自己所在的方向移動(dòng)。螢火蟲算法的另一要素——吸引度,與螢火蟲自身的亮度成正比關(guān)系,亮度越大,吸引度越高,它決定螢火蟲移動(dòng)的距離。算法的優(yōu)化過程為:亮度高的螢火蟲吸引亮度低的螢火蟲朝自己方向移動(dòng),螢火蟲的亮度和吸引度就會(huì)不斷變化,螢火蟲的位置也相應(yīng)地不斷得到更新,最終使大部分螢火蟲聚集在位置較優(yōu)處,從而實(shí)現(xiàn)目標(biāo)優(yōu)化[8,13]。

    3.2 數(shù)學(xué)描述

    對(duì)螢火蟲算法的優(yōu)化機(jī)理從數(shù)學(xué)角度有以下定義[8,13]:

    定義1螢火蟲亮度的計(jì)算公式為:

    其中I0為最大熒光亮度,即亮度較大的螢火蟲j自身發(fā)出的亮度,與目標(biāo)函數(shù)值呈正比;γ為光強(qiáng)吸收系數(shù),由于距離的增加和傳播媒介的吸收,熒光亮度會(huì)逐漸減弱,這里設(shè)置光強(qiáng)吸收系數(shù)來體現(xiàn)此特性,可以設(shè)為常數(shù);rij表示螢火蟲i與j之間的空間距離。

    定義2螢火蟲吸引度的計(jì)算公式為:

    其中β0為最大吸引度,即亮度較大的螢火蟲j所在位置的吸引度;γ、rij意義同上。

    定義3螢火蟲i被螢火蟲j吸引向其所在方向移動(dòng)的位置更新公式為:

    其中,χi、χj分別為螢火蟲i和j所處的空間位置;α為步長因子,在[0,1]范圍內(nèi)取值;rand為隨機(jī)因子,在[0,1]上服從均勻分布。式中α·(rand-1/2)的作用是對(duì)螢火蟲進(jìn)行隨機(jī)擾動(dòng),避免過早陷入局部最優(yōu)。

    3.3 算法設(shè)計(jì)

    在搜索空間中,螢火蟲的位置用n維向量χi=(xi,1,xi,2,…,xi,n)表示,n個(gè)分量均由隨機(jī)方式產(chǎn)生。針對(duì)PFSP 問題,采用基于ROV 規(guī)則的隨機(jī)鍵編碼方式,既螢火蟲位置向量的每一個(gè)分量代表一個(gè)工件,對(duì)向量中的分量進(jìn)行升序排序,通過對(duì)每個(gè)分量的位置與下標(biāo)進(jìn)行映射將螢火蟲的位置向量和機(jī)器上各工件的加工序列π(r1,r2,…,rn)聯(lián)系起來。

    在螢火蟲位置更新過程中,考慮外界因素的影響,螢火蟲的位置向量會(huì)發(fā)生一定的交叉和變異。為了增加算法的搜索精度,在算法設(shè)計(jì)過程中增加交叉和變異操作。

    3.4 算法流程

    步驟1進(jìn)行基本參數(shù)初始化設(shè)置,依次設(shè)置螢火蟲數(shù)目k、最大吸引度β0、光強(qiáng)吸收強(qiáng)度γ、步長因子α的取值,算法最大迭代次數(shù)maxGen,以及獨(dú)立運(yùn)行次數(shù)。

    步驟2初始化螢火蟲位置,計(jì)算每只螢火蟲對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值,并將其作為螢火蟲各自的最大熒光亮度。

    步驟3根據(jù)式(6)和式(7)分別計(jì)算螢火蟲的亮度和吸引度,由熒光亮度決定螢火蟲的移動(dòng)方向,并更新螢火蟲位置。

    步驟4對(duì)更新后的螢火蟲位置進(jìn)行交叉和變異操作,并重新計(jì)算螢火蟲的相對(duì)亮度,更新最優(yōu)解。

    步驟5當(dāng)達(dá)到最大搜索次數(shù)時(shí)轉(zhuǎn)步驟6,否則,將搜索次數(shù)增加1,轉(zhuǎn)步驟3 進(jìn)行下一輪搜索。

    步驟6輸出全局最優(yōu)解,并將每次迭代后的最優(yōu)解繪制成圖。

    算法流程圖如圖1 所示。

    圖1 螢火蟲算法流程圖

    4 仿真測試

    本文選取Car 類基準(zhǔn)測試問題[14]來驗(yàn)證螢火蟲算法的有效性,并對(duì)建立的含學(xué)習(xí)效應(yīng)的PFSP 模型進(jìn)行測試求解。

    算法在處理器主頻2.10 GHz,物理內(nèi)存2 GB,Windows 7操作系統(tǒng)的PC機(jī)下進(jìn)行,應(yīng)用MATLAB R2012a編譯軟件編碼。算法參數(shù)設(shè)置為:螢火蟲數(shù)目k=40,最大吸引度β0=1,光強(qiáng)吸收強(qiáng)度γ=1,步長因子α=0.3,最大迭代次數(shù)maxGen=300,算法獨(dú)立運(yùn)行20 次。

    4.1 對(duì)不含學(xué)習(xí)效應(yīng)的PFSP 問題進(jìn)行測試

    應(yīng)用螢火蟲算法對(duì)測試問題進(jìn)行仿真測試,并與粒子群算法(PSO)和遺傳算法(GA)的測試結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。其中粒子群算法的粒子數(shù)為40,學(xué)習(xí)因子C1=C2=1.5,采用Wstart=0.9、Wend=0.4 的線性遞減慣性權(quán)重,最大迭代次數(shù)也為300,獨(dú)立運(yùn)行20 次。遺傳算法結(jié)果取自文獻(xiàn)[15]。結(jié)果如表1 所示。

    表1 car類問題優(yōu)化結(jié)果

    表1中,C*是理論最優(yōu)解,SR表示尋優(yōu)成功率,BRE表示最優(yōu)相對(duì)誤差,ARE表示平均相對(duì)誤差。其中,BRE=(min(Cmax)-C*)/C*×100%,ARE=(avg(Cmax)-C*)/C*×100%。從測試數(shù)據(jù)可以看出,螢火蟲算法不論在尋優(yōu)成功率還是在相對(duì)誤差方面性能都明顯優(yōu)于粒子群算法和遺傳算法,驗(yàn)證了螢火蟲算法求解PFSP問題的可行性和有效性。

    根據(jù)學(xué)習(xí)因子的計(jì)算公式a=lgl/lg 2 可知,不含有學(xué)習(xí)效應(yīng)的PFSP問題既是學(xué)習(xí)率為100%的PFSP問題。

    4.2 對(duì)含有學(xué)習(xí)效應(yīng)的PFSP 問題進(jìn)行求解

    行業(yè)不同,流水車間存在的學(xué)習(xí)率也不同,因此對(duì)學(xué)習(xí)效應(yīng)在PFSP問題中的應(yīng)用要考慮不同的學(xué)習(xí)率。當(dāng)學(xué)習(xí)率l分別是90%、80%、70%、60%、50%時(shí)學(xué)習(xí)效應(yīng)因子a分別是-0.152、-0.322、-0.515、-0.737、-1。在獨(dú)立運(yùn)行螢火蟲算法20 次后得到的優(yōu)化結(jié)果如表2 所示。

    表2 含學(xué)習(xí)效應(yīng)的Car類問題優(yōu)化結(jié)果

    圖2 優(yōu)化結(jié)果的線性擬合情況

    4.3 結(jié)果分析

    (1)擬合分析

    對(duì)Car 類問題在不同學(xué)習(xí)率下的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行線性擬合(圖2),從圖2 中可以看出,隨著學(xué)習(xí)率的降低,各測試問題目標(biāo)函數(shù)值的減小趨勢均十分明顯。因此在PFSP 問題中加入學(xué)習(xí)效應(yīng)后,工件的最小化最大完工時(shí)間縮短,并隨著學(xué)習(xí)效果的增強(qiáng),最小化最大完工時(shí)間呈明顯的減小趨勢。

    (2)敏感性分析

    敏感性分析是一種定量描述模型輸入變量對(duì)輸出變量的重要性程度的方法。敏感度系數(shù)是敏感性分析的評(píng)價(jià)指標(biāo),它是目標(biāo)值變化的百分率與敏感因素變化的百分率之比,計(jì)算公式為:

    式中,SAF為評(píng)價(jià)指標(biāo)A對(duì)于不確定因素F的敏感度系數(shù);ΔF/F為不確定因素F 的變化率;ΔA/A為不確定因素F發(fā)生ΔF變化時(shí),評(píng)價(jià)指標(biāo)A的相對(duì)變化率。SAF>0 表示評(píng)價(jià)指標(biāo)與不確定因素同方向變化;SAF<0表示評(píng)價(jià)指標(biāo)與不確定因素反方向變化。|SAF|越大表明評(píng)價(jià)指標(biāo)A對(duì)于不確定性因素F越敏感;反之則不敏感[16]。

    本文采用敏感性分析來定量地研究學(xué)習(xí)效應(yīng)對(duì)目標(biāo)函數(shù)值的影響程度。根據(jù)公式(9)計(jì)算學(xué)習(xí)率的敏感度系數(shù),匯總于表3 中。由表3 可以看出,除了在敏感因素變化率為-50% 時(shí),Car7 對(duì)應(yīng)的敏感度系數(shù)0.94 小于1 外,其余所有Car 問題在不同學(xué)習(xí)率下的敏感性系數(shù)均大于1,其中部分敏感度系數(shù)大于2,這說明:學(xué)習(xí)率與目標(biāo)函數(shù)值同方向變化,學(xué)習(xí)率越低,學(xué)習(xí)效果越明顯;學(xué)習(xí)率每變化1%,目標(biāo)函數(shù)值將變化1%以上,從而得出結(jié)論——學(xué)習(xí)率屬較敏感的因素。

    綜上可知,學(xué)習(xí)效應(yīng)對(duì)PFSP的目標(biāo)函數(shù)值有很大影響,企業(yè)在實(shí)際生產(chǎn)中考慮學(xué)習(xí)效應(yīng)的存在是十分必要的。

    表3 學(xué)習(xí)率敏感度系數(shù)表

    5 結(jié)束語

    本文通過測試和分析,在驗(yàn)證了螢火蟲算法求解PFSP 問題具有可行性和有效性的基礎(chǔ)上,得出結(jié)論:學(xué)習(xí)率是影響工件加工完成時(shí)間的一個(gè)較敏感因素;由于學(xué)習(xí)效應(yīng)的存在,批量生產(chǎn)的工件的最小化最大完工時(shí)間會(huì)比理論值小,且學(xué)習(xí)效果越好,實(shí)際值與理論值差距越明顯。因此企業(yè)在安排生產(chǎn)計(jì)劃時(shí)考慮學(xué)習(xí)效應(yīng)這一影響總完工時(shí)間的因素,可以使預(yù)測的結(jié)果更接近實(shí)際情況,制定出更加合理準(zhǔn)確的生產(chǎn)計(jì)劃,從而促進(jìn)生產(chǎn)力的提升。本文只針對(duì)學(xué)習(xí)效應(yīng)在PFSP 中的應(yīng)用問題進(jìn)行了研究,鑒于生產(chǎn)調(diào)度的多樣性,基于學(xué)習(xí)效應(yīng)的生產(chǎn)調(diào)度問題還有待作進(jìn)一步研究。

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