利用連續(xù)函數(shù)性質(zhì)討論方程根的情況

張 盈

(陜西省西安市延安大學西安創(chuàng)新學院 710100)

一、預備知識

介質(zhì)定理:設f(x)是閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，且有f(a)=A，f(b)=B，則至少存在一點ξ∈(a,b)，使f(ξ)=C，其中C是介于A與B之間的一個數(shù).

零點(或根值)定理：設f(x)是閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，若f(a)·f(b)<0，則至少存在一點ξ∈(a,b)，使f(ξ)=0.

若存在x=x0，使方程f(x0)=0，則稱x0是函數(shù)f(x)的零點. 函數(shù)的零點x0又稱方程f(x)=0的實根.

證明方程存在實根有兩層含義：一是在區(qū)間(a,b)內(nèi)根的存在性；二是在區(qū)間(a,b)內(nèi)根的唯一性.

二、用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)討論方程的根

1.證明方程根的存在性

解題思路：用連續(xù)函數(shù)的零點(或根值)定理.

(1)若題設給出方程，首先將方程寫成F(x)=0的形式；然后，設函數(shù)F(x)，并驗證該函數(shù)在所給的閉區(qū)間[a,b]上滿足零點定理的條件，即可得到結(jié)論.

(2)若題目不是證明方程存在根，而是證明存在ξ∈[a,b](或x0∈[a,b])，使一含ξ的等式成立. 這時，先將欲證的含ξ的等式寫成F(ξ)=0的形式，這相當于證明方程F(x)=0存在根ξ. 這只要作輔助函數(shù)F(x)即可.

(3)根值定理的推廣：根值定理中的閉區(qū)間[a,b]，可推廣到開區(qū)間，半開區(qū)間和無限區(qū)間.

(4)根值定理是確定方程f(x)=0在開區(qū)間(a,b)內(nèi)存在根. 若欲證方程f(x)=0在區(qū)間(a,b]，[a,b)和[a,b]上存在根，除用根值定理證明方程在(a,b)內(nèi)存在根，對區(qū)間的端點還應加以討論.

2.證明方程根的唯一性

解題思路：(1)先證方程F(x)=0在(a,b)內(nèi)存在根，再驗證函數(shù)F(x)在[a,b]上單調(diào).

(2)反證法：設方程有兩個根，而導出矛盾.

(3)證明f(ξ)=C.

證明函數(shù)f(x)在點x=ξ的函數(shù)值f(ξ)等于某一確定的常數(shù)C，即f(ξ)=C.常用證明方法有兩種思路：

(1)用零點定理: 將f(ξ)=C寫成f(ξ)-C=0，作輔助函數(shù)F(x)=f(x)-C. 只要證明方程F(x)=0存在根ξ即可.

(2)用介質(zhì)定理：若f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且最大值與最小值分別為M和m，只要能證明常數(shù)C介于m與M之間，由連續(xù)函數(shù)的介質(zhì)定理便得到欲證的結(jié)論.

例1設a

證已知方程可改寫作

(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)+(x-a)(x-b)=0.

設f(x)=(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)+(x-a)(x-b)，因為f(x)在[a,b]上連續(xù)，且f(a)=(a-b)(a-c)>0，f(b)=(b-c)(b-a)<0，

所以由根值定理，存在ξ1∈(a,b)，使得f(ξ1)=0，ξ1是方程f(x)=0的根.

同理可證存在ξ2∈(b,c)，使得f(ξ2)=0，ξ2是方程f(x)=0的根.

先證根的存在性.

于是，由零點定理，在區(qū)間(0,1)內(nèi)F(x)=0至少存在一個根.

注意到當x>1時，F(xiàn)(x)恒大于0，故在區(qū)間(1,+)內(nèi)方程F(x)=0不可能有根.

例3設函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且a

例4試證方程x=asinx+b(a>0,b>0)至少有一個正根，且不超過a+b.

證本例即證方程在區(qū)間(0,a+b]上有根即可.

設函數(shù)F(x)=x-asinx-b，F(xiàn)(x)是初等函數(shù)，在閉區(qū)間[0,a+b]上連續(xù). 由于

F(0)=-b<0，F(xiàn)(a+b)=a[1-sin(a+b)]≥0(a>0,sin(a+b)≤1).

若F(a+b)>0，則由零點定理知存在ξ∈(0,a+b)，使F(ξ)=0，即ξ=asinξ+b是方程的根.

若F(a+b)=0，則(a+b)為方程F(x)=0，即為方程x=asinx+b的正根.

綜上，方程x=asinx+b至少有一個正根，且不超過a+b.