立足圖像表征 凸顯面積計算本質(zhì)

白丹娜

摘 要：圖像表征是學生建立概念、理解概念的有效方式。借助圖像表征不僅可以幫助學生推導、理解面積計算公式，更能幫助學生深化面積本質(zhì)，溝通平面圖形面積計算的聯(lián)系，建立空間觀念。筆者以《長方形和正方形面積的計算》為課例，從解構——提取——演變——創(chuàng)建圖像表征四個方面來闡述如何讓學生完善面積概念、理解公式內(nèi)涵、內(nèi)化計算本質(zhì)、拓展應用途徑。

關鍵詞：圖像表征;面積計算;小學數(shù)學

面積計算是學生進一步理解面積含義，并對面積概念進行應用、提升的過程，更是建立空間觀念的學習載體。小學中高段的學生的思維還處在向抽象思維與抽象概括能力發(fā)展的過渡期，對面積計算的推導、空間觀念的建立還需要具體的圖像表征來支撐。立足于圖像表征，學生才能有效開展對比、溝通、優(yōu)化、遷移等活動，理解面積計算的本質(zhì)。

研究發(fā)現(xiàn)，學生在經(jīng)過一系列的教學活動之后能順利得出公式并理解公式內(nèi)涵，而經(jīng)過一段時間后，大部分學生只記得公式與活動內(nèi)容，卻無法用語言描述公式的本質(zhì)內(nèi)涵。那么，如何讓學生對面積計算本質(zhì)的理解不僅停留在課堂中，還能長留于今后的學習中？筆者認為，圖像表征彌補了語言描述概括的抽象性的弊端，用更直觀的方式體現(xiàn)了面積計算的本質(zhì)。學生借助圖形建構起文字與圖形的聯(lián)系，讓學生在今后的面積學習中，用圖像代替語言，用圖像促進理解，用圖像加深記憶。

一、解構重組，完善面積概念

在建立面積概念的教學中，學生對面積的認識建立與具體事物上，而后續(xù)的教學重點是對各種平面圖形的面積計算。因此，完善平面圖形的面積概念顯得尤為重要。借助對圖形的分割、組合、平移等活動，讓學生認識到單位面積與面積之間的關系，凸顯面積計算的本質(zhì)。

師：你是怎么比較的？

生：把多出的格子移到少的那邊，這樣就變成跟右邊一樣的圖形了。

師：用以多補少的方法，也變成長方形，這個圖形面積的大小不變。

師：還有其他方法嗎？

生：數(shù)里面的格子。

師：小方格的個數(shù)相同，表示的面積也相同。

師：如果1個正方形的面積是1平方厘米，這兩個圖形的面積是幾平方厘米？

生：8平方厘米。

師：為什么是8平方厘米？

生：因為里面有8個小正方形，所以是8平方厘米。

師：如果1個正方形的面積是1平方分米呢？（8平方分米）

師：都是這兩個圖形，怎么一會兒8平方厘米，一會兒8平方分米呢？

師（小結）：也就是說，一個圖形里面有幾個1平方厘米、1平方分米，它的面積就是幾平方厘米、幾平方分米。單位面積不同，整個圖形表示的面積也不同。

上述案例中，借助方格圖，學生經(jīng)歷了兩個層次的面積概念認知。第一層次：借助方格圖對圖形中的方格進行平移、拼補、拆分，讓學生感受到圖形的面積與圖形中的小方格的個數(shù)有關，與圖形的形狀無關，滲透了面積的守恒性，初步架構起學生對單位面積與面積之間的聯(lián)系。第二層次：根據(jù)每一個方格表示的單位面積的不同，圖形的面積也會發(fā)生變化，學生進一步體會到面積的大小與單位面積的大小有關，將兩者的關系在方格圖中建立起來，加深了學生對面積的認識。

可見，借助熟悉的圖像表征，學生能將面積含義、單位面積、面積計算這些零散的知識進行溝通、聯(lián)系，建構起知識之間的相互聯(lián)系，完善面積的認知。

二、提取要素，理解公式內(nèi)涵

完善面積概念是進行系統(tǒng)學習面積知識的起始，是進行面積計算的基礎，而了解單位面積與面積之間的關系是探究面積公式本質(zhì)的關鍵。面積公式是面積計算方法的優(yōu)化結果。教師如何在面積公式的推導中，讓學生逐步感悟這個優(yōu)化過程，理解公式的內(nèi)涵呢？筆者認為，面積公式的推導過程就是一個提取要素的優(yōu)化過程，而這個優(yōu)化、提取的過程學生無法用語言進行準確的描述與表達，但在具體的圖像中，學生通過觀察、比較，能直觀看到關鍵要素，也就更容易提取與理解。

案例二：長方形面積公式推導過程：

1. 小組反饋測量長方形面積（長5厘米，寬3厘米）的方法：

（1）理解鋪法

師：為什么一行只能鋪5個，能鋪3行？

生：因為長是5厘米，寬是3厘米。

2. 擺長方形求面積，找長、寬

師：你擺的長方形的長是幾？寬是幾？

生：長是5厘米，寬是2厘米。

師：你是怎么知道的？

生：因為一個正方形就是1厘米。一行有5個正方形，就是5厘米，豎的有2個正方形，寬就是2厘米。

生：一行擺了5個，長就是5厘米;一列有4個，寬就是4厘米。

師小結：只要知道一行有幾個，有幾行，就能知道長和寬。

生：因為長是6厘米，一行能擺6個。寬是4厘米，表示能擺4行。

4. 觀察表格，抽象出面積公式。

生：長和寬相乘的得數(shù)與面積相同。

生：長乘寬就是長方形面積。

師：長、寬是長度，怎么相乘就變面積了呢？

生：長表示一行有幾個，寬表示有幾行。

師：也就是說長和寬相乘的得數(shù)與小正方形的個數(shù)相同。

上述案例中，學生經(jīng)歷了4個活動推導出了長方形面積公式，每一個活動就是一個提取要素的過程。4個過程環(huán)環(huán)相扣、層層遞進，引領學生利用網(wǎng)絡圖、表格圖征抽象出公式，并理解其內(nèi)涵。

（一）網(wǎng)格圖中提取行列要素

學生通過在長方形中鋪小正方形的活動，得到了這兩種網(wǎng)格圖，初步感知到長是幾，一行就有幾個小正方形，寬是幾，一列就有幾個小正方形，并通過比較，將方格圖優(yōu)化成行列式的網(wǎng)格圖。在優(yōu)化過程中提取出行列要素，讓學生關注一行、一列的小正方形個數(shù)，來求小正方形的總數(shù)，即長方形的面積，從而初步感悟到長方形面積就是小正方形面積之和。

（二）長方形拼圖中提取長寬要素

學生在第2個活動中進行了擺長方形的實踐操作活動，并利用2種不同形式的長方形尋找長寬。從尋找長寬，正是長寬要素提取的過程。通過提取長寬，讓學生感悟到一行有幾個小正方形，長就是幾，一列有幾個小正方形，寬就是幾。與第1個活動的思維相反，幫助學生建立起長寬與行列之間的關系。

緊接著在第3個活動中，讓學生經(jīng)歷的想象過程，對圖像再次優(yōu)化，讓學生進一步關注長寬與行列之間的關系，理解長寬在面積計算中的含義。

（三）表格圖中提取關系要素

學生從理解長寬的含義到理解公式內(nèi)涵還有一段的距離，教師還需要幫助學生打通兩者的關系。借助表格圖教師便能將兩者之間的關系外顯出來，建立起圖與文字的關系，將文字表示的關系外化成圖像，有助于學生發(fā)現(xiàn)和理解公式的內(nèi)涵。

在第4個活動中學生通過表格中多個長方形面積計算的數(shù)據(jù)，對比發(fā)現(xiàn)長寬與長方形面積的關系，抽象出長方形的面積公式。同時，追問“長和寬表示的是長度，怎么相乘后變成了面積？”進一步讓學生思考長寬的含義與面積的關系，并將這種聯(lián)系以文字和圖示的形式表示出來。如下圖，借助了圖示，學生將公式中長、寬、面積與行、列、總個數(shù)之間進行相互溝通與理解，從而理解公式內(nèi)涵。

學生經(jīng)歷3個要素的提取，從感悟長方形面積與小正方形面積之和的關系，到理解長寬在面積中的含義，最后到打通相互間的關系，理解公式內(nèi)涵。并且通過圖像的形成、優(yōu)化、理解三個活動，將公式內(nèi)涵以圖像和文字兩種形式呈現(xiàn)，幫助學生初步認識面積計算的本質(zhì)。

三、演變推理，內(nèi)化計算本質(zhì)

一種圖像表征的建立，通常是在指定的教學活動中或情境中進行，而這種圖像表征是具有特定性、唯一性的，甚至會造成思維定勢。在面積計算的教學課例中，教師采用的單位面積常常是1平方厘米，形成的圖像中的方格也是以1平方厘米的為例，但要讓學生真正體會到面積計算的本質(zhì)是計算單位面積的個數(shù)，同時單位面積是多種形式的，就需要我們對建立的圖像表征進行變式，豐富學生對圖像作用的認識，從而理解面積計算本質(zhì)。

【變式一】“平移”重組圖像

這個長方形的長是（? ）厘米，寬時（? ）厘米。面積是（? ）平方厘米。

【變式二】“擴大或縮小”測量單位

一行能鋪（? ）個正方形，能鋪（? ）行。長方形面積是（? ）平方厘米。

上面兩種變式中，主要達到兩個目的。第一個目的：第一種變式中改變了圖像中小方格的位置，讓學生更關注長寬與方格邊長數(shù)之間的關系，從而進行平移重組圖像，豐富學生對圖像的認知。第二種變式中改變了測量的單位面積，主要目的是打破認為只能用邊長是1厘米的正方形才能測量的思維定勢。第二個目的：在面積計算時，既可以用面積公式計算長方形面積，也可以用求小正方形面積之和來計算長方形面積，在兩種計算方法的對比中讓學生進一步體會公式的內(nèi)涵，理解面積計算的本質(zhì)。同時感受到面積的守恒性，深化面積概念。

四、多元創(chuàng)建，拓展應用途徑

圖像表征能幫助學生在解決面積問題時，更易找到解決面積問題的關鍵與方法，拓展思考途徑與方法，也更關注面積計算的本質(zhì)，全面認識面積度量。

案例四：解決問題（草坪是一塊塊的草皮拼起來的，每塊草皮是邊長6分米的正方形。用這樣的草拼25塊，能鋪多大面積？）

從上面學生的作品中我們可以發(fā)現(xiàn)：（1）圖像相同，面積計算的方法不同。作品1和作品2都創(chuàng)建了長方形圖形，但作品1采用了求小正方形面積之和的方法，作品2采用了長方形面積公式的方法。兩位學生方法不同，得到的結論卻相同。有助于學生豐富面積計算的方法，杜絕方法的單一性，拓展解題途徑，也讓學生認識到面積的守恒性。（2）圖像不同，面積計算的方法相同。作品1和3圖像不同，但都采用計算小正方形面積之和的方法，而作品2和4根據(jù)圖像，得到25塊草坪拼成長方形或正方形，都利用面積公式進行計算。通過不同圖形之間抽象出相同的計算方法，可以讓學生深刻感悟到面積計算的方法的應用范圍之廣，也對面積計算本質(zhì)的認識再次深化與理解。

總之，對面積計算本質(zhì)的理解從以文字描述為主的方式轉變?yōu)橐詧D像表征為主的方式，更符合學生的認知心理。立足于圖像表征，讓學生更直觀、簡易地理解公式內(nèi)涵，真正做到將本質(zhì)內(nèi)涵內(nèi)化與外化互通，完善概念的理解，提升面積計算本質(zhì)的理解與運用。

參考文獻

[1]葛素兒.通過圖像表征促進小學數(shù)學理解教學[J].課程教學研究，2012（12）.

[2]黃燕舞.在思考與嘗試中走進知識本質(zhì)——長正方形面積公式淺探[J].基礎教育參考，2011（20）.

[3]葉柱.聚焦數(shù)學本質(zhì)，凸顯模型意義——“長方形、正方形面積的計算”課例解讀[J].小學教學（數(shù)學版），2014（09）.