一類(lèi)競(jìng)爭(zhēng)的病菌傳染模型在一定條件下的穩(wěn)定性研究

◎左曉虹

（三門(mén)峽職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共教學(xué)部，河南三門(mén)峽472000）

2020 年新型冠狀病毒肺炎疫情發(fā)生以來(lái)，中國(guó)政府采取積極的防控策略和措施，經(jīng)過(guò)兩個(gè)多月的不懈努力，有效控制了新發(fā)病例的增長(zhǎng)，本地傳播已經(jīng)完全控制，但全球疫情卻不容樂(lè)觀，本次新冠病毒肺炎疫情暴發(fā)讓筆者再次深刻體會(huì)到傳染病的巨大威力，所體現(xiàn)出來(lái)的人與人、人與動(dòng)物、動(dòng)物與動(dòng)物之間的關(guān)系及其疾病關(guān)系是立體的也是復(fù)雜的，黃永鵬教授強(qiáng)調(diào)要正視人與動(dòng)物共病關(guān)系防范惡性疫病傳播，他指出人與動(dòng)物交錯(cuò)生活在一個(gè)共病的體系中，多數(shù)疾病人與動(dòng)物的致病概率是一樣的。世界衛(wèi)生組織根據(jù)近年的統(tǒng)計(jì)資料提出，在已知的能感染人的病原中有一半以上能在人與動(dòng)物之間互相傳染。近30 年來(lái)新發(fā)現(xiàn)的傳染病達(dá)40 余種，幾乎每年都有一兩種新發(fā)傳染病。新發(fā)現(xiàn)的或重新出現(xiàn)的傳染病中80%是人與動(dòng)物共患病[1]。

1 研究現(xiàn)狀及模型的建立

用數(shù)學(xué)建模思想描述傳染病在不同種群之間的關(guān)系，并用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行研究，用具體數(shù)字刻畫(huà)傳染病傳染規(guī)律，使得不同種群、相同種群之間的傳染得到合理的解釋和控制，用數(shù)學(xué)方法研究傳染病的規(guī)律，實(shí)現(xiàn)對(duì)傳染病的預(yù)防與控制，比如通過(guò)對(duì)新冠肺炎疫情全球大流行現(xiàn)狀分析[2]，對(duì)新冠肺炎COVID-19 疫情傳染機(jī)理和統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)研究，擬合疫情變化趨勢(shì)圖,建立有控制的SIR 傳染模型[3]，為科學(xué)有效的傳染病疫情防控提供參考。為此筆者在文獻(xiàn)4 的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究了一類(lèi)競(jìng)爭(zhēng)的病菌傳染模型

探討當(dāng)τ，σ 充分小時(shí)模型正平衡態(tài)的穩(wěn)定性，得出具體結(jié)論并帶入具體數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證。

文獻(xiàn)4 是以Lotka 和Volterra 提出的Lotka-Volterra 模型[5]為基礎(chǔ)建立了一類(lèi)競(jìng)爭(zhēng)的生態(tài)模型[4]。

（α,β,γ 均為實(shí)數(shù)，且 α＞0,β＞0,γ≥0,δ≥0,θ為正奇數(shù)）

并進(jìn)行了初步探討，各參數(shù)的生態(tài)意義分別為：α 表示種群乙被帶有病菌的種群甲感染病菌的比率，β 表示種群甲被帶有病菌的種群乙感染病菌的比率，γ 表示種群甲的康復(fù)率，δ 表示種群乙的康復(fù)率，αm（t-τ）表示種群甲的抗病菌率，βh（t-σ）表示種群乙的抗病菌率，θ 為外界對(duì)種群的干擾參數(shù)。

模型（1.2）滿足如下初始條件：

其中 τ1=max ｛τ, ｝σ ，Φi（i=1,2）非負(fù)且在[-τ1，0]上連續(xù)有界，h(o)=Φ1(0)＞0，m(o)=Φ2(0)＞0.

在文獻(xiàn)4 的基礎(chǔ)上筆者就一類(lèi)競(jìng)爭(zhēng)的病菌傳染模型（1.2）討論其當(dāng)T，σ 充分小時(shí)模型正平衡態(tài)穩(wěn)定性，給模型(1.2)各參數(shù)賦值，并運(yùn)用Matlab 繪出相應(yīng)的數(shù)值解圖形，對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行了驗(yàn)證。

2 當(dāng)τ，σ 充分小時(shí)模型正平衡態(tài)穩(wěn)定性

設(shè) h（t）=X（t）+h*，m（t）=Y（t）+m*，則模型（1.2）有線性近似系統(tǒng)為：

假設(shè)模型（1.2）中 τ=σ 且充分小，即 α=β，

γ=δ，則在很小的一個(gè)時(shí)間間隔里[t-b,t]，有

代入系統(tǒng)（1.2），則系統(tǒng)（1.2）的近似系統(tǒng)為：

整理可得

則當(dāng) α＞γ，且 ασ＞1 時(shí)，系統(tǒng)（2.5）有虛根.

綜上討論便有如下結(jié)論：

定理 對(duì)于模型

（1）當(dāng) α＞γ 且 ασ＜1 時(shí)，其平衡態(tài)（h*，m*）為中心且穩(wěn)定；

（2）當(dāng) α＞γ 且 ασ＞1 時(shí)，其平衡態(tài)為鞍點(diǎn)且不穩(wěn)定.

3 實(shí)例分析

對(duì)于系統(tǒng)

的正平衡態(tài)，現(xiàn)由定理1 則可以得出（3.1）的如下結(jié)論：

（1）若取τ=σ=0.5，此時(shí)該模型的正平衡態(tài)是穩(wěn)定的（如圖3-1）。

（2）若取τ=σ=2.5，此時(shí)該模型的正平衡態(tài)是漸進(jìn)穩(wěn)定的（如圖3-2）。

（3）若取]τ=σ=4，此時(shí)該模型的正平衡態(tài)是不穩(wěn)定的（如圖3-3）。

運(yùn)用Matlab 繪出相應(yīng)的數(shù)值解圖形，由圖形再次驗(yàn)證定理1 的正確性.

圖1 τ=σ=0.5 時(shí)的曲線擬合圖

圖2 τ=σ=2.5 時(shí)的曲線擬合圖

圖3 τ=σ=4 時(shí)的曲線擬合圖