巧設(shè)曲線方程 提升運(yùn)算效率

李懷忠

(甘肅省景泰縣第二中學(xué) 730400)

一、巧用參數(shù)方程

例2已知直線l：x+y-1=0與拋物線y=x2交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)和點(diǎn)M(-1,2)到A，B兩點(diǎn)的距離之積.

點(diǎn)評(píng)參數(shù)方程把曲線上的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)分別通過(guò)參數(shù)直接表達(dá)出來(lái),比較清楚地指明了曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征.對(duì)于圓錐曲線上與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的最值，以及處理兩線段長(zhǎng)度的積、和、差等問(wèn)題，有著普通方程無(wú)可比擬的優(yōu)越性.

二、巧設(shè)曲線的模糊方程

分析曲線不明確焦點(diǎn)所在的位置，用標(biāo)準(zhǔn)形式求解需要分焦點(diǎn)在x軸和y軸上兩種情況，相對(duì)而言計(jì)算比較麻煩.可采用模糊設(shè)法.

點(diǎn)評(píng)中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸的橢圓、雙曲線的一般方程都可設(shè)為Ax2+By2=1的形式，當(dāng)題設(shè)條件中沒(méi)有明顯的幾何量出現(xiàn)時(shí)，通常情況下使用模糊方程，它既可以避免分類討論，又能簡(jiǎn)化運(yùn)算.

三、巧設(shè)相交曲線系方程

例4已知圓x2+y2+x-6y+m=0與直線x+2y-3=0相交于P、Q兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，且OP⊥OQ，求實(shí)數(shù)m的值.

分析本題常規(guī)解法是由OP⊥OQ得出等量關(guān)系，聯(lián)立圓和直線方程組，借助韋達(dá)定理，構(gòu)建關(guān)于m的方程求解，過(guò)程運(yùn)算繁雜，可以考慮用直線和圓相交的曲線系方程.

例5求過(guò)點(diǎn)A(2，1)和直線x-2y-3=0與2x-3y-2=0的交點(diǎn)的直線方程.

解所求直線過(guò)直線x-2y-3=0與2x-3y-2=0的交點(diǎn)，可設(shè)過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線系方程為x-2y-3+λ(2x-3y-2)=0.又因?yàn)檫^(guò)A(2，1)，所以代入得λ=-3.則所求方程為5x-7y-3=0.

點(diǎn)評(píng)在解析幾何中我們常常會(huì)涉及到兩圓錐曲線相交的相關(guān)問(wèn)題，往往在處理這類問(wèn)題時(shí)如按常規(guī)思路去解則運(yùn)算量相對(duì)較大且不易算出來(lái)，相反如果利用好“曲線系”相關(guān)知識(shí)則可以大大簡(jiǎn)化解題過(guò)程中的運(yùn)算量，事實(shí)上當(dāng)兩條曲線方程C1:f1(x,y)=0，C2:f2(x,y)=0，則過(guò)兩條曲線交點(diǎn)的曲線系方程為f1(x,y)+λ[f2(x,y)]=0.

四、巧設(shè)特征曲線系方程

例6已知雙曲線的一條漸近線方程為2x-3y=0且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.

例7(2018·深圳一模)過(guò)點(diǎn)(3,2)且與橢圓3x2+8y2=24有相同焦點(diǎn)的橢圓方程為( ).

五、巧用極坐標(biāo)方程

分析用直角坐標(biāo)方程求定值，需要設(shè)A、B的坐標(biāo)，對(duì)應(yīng)的變量較多，化簡(jiǎn)繁雜，而且容易出錯(cuò).認(rèn)真分析題目信息，待證結(jié)論是與線段有關(guān)系的問(wèn)題，選擇極坐標(biāo)更加直觀、方便.

點(diǎn)評(píng)極坐標(biāo)法是解決平面解析幾何常用的方法，在解決過(guò)程中，遇到從一點(diǎn)出發(fā)的幾條線段長(zhǎng)度問(wèn)題和角度問(wèn)題?？梢越柚鷺O坐標(biāo)解決，利用極坐標(biāo)的幾何意義，結(jié)合三角函數(shù)可以使問(wèn)題更加簡(jiǎn)潔、明晰.

教學(xué)實(shí)踐表明，選擇一個(gè)恰到好處的曲線方程就是成功的一半，一個(gè)好的方程不僅能簡(jiǎn)化運(yùn)算，優(yōu)化解題過(guò)程，同時(shí)也能深化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、拓展學(xué)生的思維能力，有效地提升課堂教學(xué)效率.因此，在平時(shí)教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn)，做好方法技能儲(chǔ)備，解題前，多層次、多角度分析和思考，解題后進(jìn)行全方位、多維度反思和評(píng)價(jià)，不斷優(yōu)化解題方法、深刻體驗(yàn)解題過(guò)程，促進(jìn)知識(shí)融會(huì)貫通，不斷提升學(xué)生解題能力和思維能力，形成完善的解題方法和策略.