借助函數(shù)對稱的特性 實現(xiàn)問題簡單化

吳大良

(江蘇省射陽縣陳洋中學(xué) 224361)

函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)是高中數(shù)學(xué)經(jīng)?？疾榈膬?nèi)容，也是高考考查的重點對象.對稱性作為函數(shù)的基本性質(zhì)之一，廣泛存在數(shù)學(xué)問題當(dāng)中.利用函數(shù)的對稱特性，可以使得某些問題簡單化，使得問題更加簡潔高效地解決，充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)的美.下面通過例題，介紹函數(shù)對稱性在解題中的具體應(yīng)用.

一、二次函數(shù)對稱性問題

二次函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中極其普通常見的函數(shù)，是非常重要的函數(shù)，其存在廣泛的應(yīng)用空間.借助二次函數(shù)的對稱性，可以提高解決關(guān)于對稱方程根的問題的效率，尤其是在選擇題中，借助對稱的特性進行相互轉(zhuǎn)化，方便找到解決問題的入口，如：

A.{1,2} B.{1,4}

C.{1,2,3,4} D.{1,4,16,64}

反思二次函數(shù)關(guān)于某條直線對稱實際就是告知二次函數(shù)的對稱軸是什么，要善于將問題中的信息進行等價轉(zhuǎn)化.

二、三角函數(shù)對稱性問題

除二次函數(shù)以外，三角函數(shù)也是數(shù)學(xué)中十分重要的函數(shù)之一.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)不僅僅是周期函數(shù)，更是對稱性的函數(shù).因此，在利用正余弦函數(shù)的對稱性時，有時還要考慮周期性，如：

反思：正弦函數(shù)與余弦函數(shù)在利用對稱性解決問題時，一定要考慮定義域和函數(shù)的周期性，避免出現(xiàn)錯解.

三、奇偶函數(shù)對稱性問題

奇偶函數(shù)是函數(shù)中的一種特殊的函數(shù)，一旦問題中提及到函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)，相當(dāng)于告訴我們函數(shù)的定義域滿足的條件和奇偶函數(shù)的性質(zhì).無論奇函數(shù)還是偶函數(shù)的定義域都是關(guān)于原點對稱，不同的在于奇函數(shù)的圖象是關(guān)于原點成中心對稱，而偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸成軸對稱.因此，把握最經(jīng)典也是最簡單的奇偶函數(shù)的對稱性質(zhì)，可以實現(xiàn)快速解題，如：

A.3 B.4 C.5 D.6

g(x)是奇函數(shù)，且函數(shù)關(guān)于原點對稱，因此函數(shù)g(x)的最大值與最小值是互為相反數(shù).所以f(x)max+f(x)min=[2+g(x)max]+[2+g(x)min]=4+g(x)max+g(x)min=4+0=4，故選擇B.

反思此題借助函數(shù)奇偶性判斷出函數(shù)具有的相關(guān)性質(zhì)，奇函數(shù)的最大值與最小值的和是為0的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)上設(shè)而不求的思想，搭建到達問題彼岸的橋梁.此外，此題也對奇函數(shù)的圖象的對稱性和分離常數(shù)等知識進行綜合的考查與研究.

簡而言之，函數(shù)的對稱性非常多，無法一一詳述，也不可能將所有的對稱性問題全部舉例.因此，在日常學(xué)習(xí)中，可以關(guān)注常見的利用對稱性解決問題的題型，通過不斷積累，找到解決問題的快捷高效的方法.