解數(shù)學(xué)題也要與時(shí)俱進(jìn)

甘志國

(北京市豐臺(tái)二中 100071)

新中國的第三代領(lǐng)導(dǎo)人江澤民(1926-)同志曾明確提出：“過去有許多做法和經(jīng)驗(yàn)已經(jīng)不適用了，要根據(jù)新的實(shí)踐要求，重新學(xué)習(xí)，不斷創(chuàng)新，與時(shí)俱進(jìn).”為了幫助教育者理解“與時(shí)俱進(jìn)”的涵義，下面先介紹教育狂人陳忠聯(lián)(1958-)在《陳忠聯(lián)英豪教育報(bào)告會(huì)——將成功傳給下一代》中講述的故事《貓抓老鼠》：

有一天，一只貓?jiān)谧芬恢焕鲜?，老鼠跑得很快，跑回老鼠洞去了，沒有被貓抓住.其他的老鼠就很羨慕它：“哎呀！你到底是經(jīng)過鍛煉了的，連貓都抓不住你.”結(jié)果這只老鼠很得意.這個(gè)時(shí)候，這只貓?jiān)谕饷鏆獾谩斑?、喵”直叫，……叫了半個(gè)小時(shí)以后它不叫了.老鼠又等了一個(gè)小時(shí)，外面一點(diǎn)聲音都沒有了，其他的老鼠就跟這只老鼠說：“誒，現(xiàn)在這只貓可能已經(jīng)走掉了，我們可以出去了.”這只老鼠說：“不能出去，現(xiàn)在貓的技能也提高了，不能上當(dāng)，得等一等！”又等了一個(gè)小時(shí)，狗在外面叫了.呃，這個(gè)時(shí)候，這只老鼠就跟其他老鼠說：“我們現(xiàn)在可以出去了！”那為什么說狗叫了就可以出去了呢？因?yàn)楣犯埵遣辉谝黄鹜娴?，“狗抓耗子多管閑事”.這個(gè)時(shí)候，這只老鼠就帶領(lǐng)其他老鼠出洞了.結(jié)果剛剛一出老鼠洞，這只老鼠就被那只貓抓住了.這只老鼠想：反正我是已經(jīng)死定了，已經(jīng)被你抓到了，可是我要問一問這只貓是用什么計(jì)謀抓到我的？你看這只貓對(duì)老鼠怎么說哇：都什么年代了！21世紀(jì)了，我不換兩招我哪有飯吃呀？我多學(xué)了一門外語，剛才這個(gè)狗叫是我學(xué)的！你看看，貓為了求生存，它都要轉(zhuǎn)觀念學(xué)狗叫，我們?nèi)说慕逃慌c時(shí)俱進(jìn)能行嗎？你還是用傳統(tǒng)的理念教現(xiàn)在的孩子顯然是不行的！

筆者對(duì)與時(shí)俱進(jìn)的理解是，與時(shí)俱進(jìn)不是趕時(shí)髦，要不斷學(xué)習(xí)(特別是新知識(shí))，對(duì)舊的東西(也包括大家都感到習(xí)以為常的固定思維)要進(jìn)行不斷完善，甚至是革新，已達(dá)到最完美的地步.

題1(筆者所在學(xué)校某學(xué)期期末考試試題)在(2x-3y)15的展開式中，系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)？

參考答案(2x-3y)15展開式的通項(xiàng)

所以，當(dāng)r=1,2,…,9時(shí)，trtr+2.得

t1t11>…>t16,

即(2x-3y)15的展開式中系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第10項(xiàng).

一位學(xué)生的解法(2x-3y)15展開式的通項(xiàng)

所以，當(dāng)r=1,2,…,9時(shí)，trtr+2.得

t1t11>…>t16.

即(2x-3y)15的展開式中系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第10項(xiàng).

評(píng)分情況因?yàn)槭菍W(xué)年期末統(tǒng)考，同校各班之間、同校與兄弟學(xué)校之間要比較成績(jī)，所以筆者所在學(xué)校的高一、高二年級(jí)交叉閱卷，而這位閱卷老師只給了這位學(xué)生很少的分?jǐn)?shù)，理由是“答案正確，理由不充分”.

實(shí)際上，“參考答案”的解法常規(guī)、流行(參見核心期刊發(fā)表的文章；當(dāng)然，筆者在文獻(xiàn)[2]中也給出了該類問題的完整結(jié)果)，但常規(guī)、流行的東西不一定是最完美的，有時(shí)也需要革新、完善，即與時(shí)俱進(jìn).

并且“參考答案”的解法還容易出錯(cuò)，這里順便指出普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)·選修2-3·A版》(人民教育出版社，2009年第3版) (下簡(jiǎn)稱《選修2-3》)第58頁探究與發(fā)現(xiàn)《服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量取何值時(shí)概率最大》中的錯(cuò)誤：

如果某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率為0.8，每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立，那么他在10次射擊中，最有可能擊中目標(biāo)幾次？

設(shè)他在10次射擊中，擊中的次數(shù)為X.由于射擊中每次射擊的結(jié)果是相互獨(dú)立的，因此X～B(10,0.8).于是恰好k次擊中目標(biāo)的概率為

從而

①

于是，有

當(dāng)k<8.8時(shí)，P(X=k-1)8.8時(shí)，P(X=k-1)>P(X=k) .

②

由以上分析可知，他在10次射擊中，最有可能8次擊中目標(biāo).

以上敘述欠嚴(yán)謹(jǐn)，有兩處應(yīng)作改動(dòng)：

下面再用上面“一位學(xué)生的解法”解答四道題(這四道題均出自文獻(xiàn)[1])：

所以t1t5>…>t11.

tr

所以可得t1t8>t9.

下面再給出幾個(gè)解數(shù)學(xué)題需要與時(shí)俱進(jìn)的例子.

所以Sn=2n+1-3.

是不是這種類型的求和問題最后都可以統(tǒng)一成一個(gè)表達(dá)式，或者說這種問題毋須分類討論！

證明以下證明也給出了此種題型毋須分類討論的方法：

Sn=a1+a2+…+an=a1-f(1)+[f(1)+f(2)+…+f(n)]=a1-f(1)+Tn(n∈N*).

還可給出與定理1類似的結(jié)論：

題8已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1-an=n，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

常規(guī)解法當(dāng)n≥2時(shí)(因?yàn)橄率街谐霈F(xiàn)了an-1)，得

an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)

=1+[1+2+…+(n-1)]

巧妙解法約定a0=0，得

an=(a1-a0)+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)

=1+[1+2+…+(n-1)]

常規(guī)解法當(dāng)n≥2時(shí)(因?yàn)橄率街谐霈F(xiàn)了an-1，所以需要這樣分類討論)，得

再由a1=2，可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n.

數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n.

數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n(n+1).

題11 求數(shù)列{(2n-1)·3n}的前n項(xiàng)和Sn.

解(錯(cuò)位相減法)

Sn=1·3+3·32+5·33+…+(2n-1)·3n,

③

3Sn=1·32+3·33+…+(2n-3)·3n+(2n-1)·3n+1.

④

③-④，得

-2Sn=3+2·32+2·33+…+2·3n-(2n-1)·3n+1,

⑤

-2Sn=3n+1-3-(2n-1)·3n+1-3,

Sn=(n-1)3n+1+3.

在該解答的④式中一定要列出(2n-3)·3n(否則③-④無法進(jìn)行)，所以在④中n≥2；在⑤式中出現(xiàn)了2·32+2·33+…+2·3n，所以這里也需要n≥2的限制條件.也就是說，以上解答只適合n≥2的情形，即用錯(cuò)位相減法求數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)一般來說需要分類討論.

本題若作如下改進(jìn)，就不需要分類討論了：

另解(錯(cuò)位相減法)Sn=1·3+3·32+5·33+…+(2n-1)·3n(n∈N*) ,

⑥

3Sn=1·32+3·33+…+(2n-3)·3n+(2n-1)·3n+1(n≥2,n∈N)

3Sn=-1·3+1·32+3·33+…+(2n-3)·3n+(2n-1)·3n+1+3(n∈N*) .

⑦

⑥-⑦，得-2Sn=2·3+2·32+2·33+…+2·3n-(2n-1)·3n+1-3,

-2Sn=3n+1-3-(2n-1)·3n+1-3,

Sn=(n-1)3n+1+3.

注普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)5·必修·A版》(人民教育出版社，2007年第3版)第55頁對(duì)等比數(shù)列(首項(xiàng)為a1公比為q)前n項(xiàng)和Sn公式的推導(dǎo)是正確的(無須分類討論)：

Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,

⑧

qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn⑨.

⑧-⑨，得(1-q)Sn=a1-a1qn.

在此推導(dǎo)的⑨式中，雖然出現(xiàn)了a1qn-1(n≥2)，但我們這樣理解⑧-⑨就可以無須限定條件“n≥2”了：

(1-q)Sn=(a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1)-(a1+a1q+a1q2+…+a1qn)+a1=a1-a1qn.